Anderson-et-al-1 (1185923), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Модифицированное уравнение для схем третьего порядка точности проанализировано в п. 4.1.11. Если мы хотим минимизировать дисперсионную ошибку, то в соответствии с (4.68) должны задать параметр от", по формуле л (4ч/ е Пе+ 1) (4 — ч/ е Ие) /д //е 5 (4.150) 1 о/ ч/+1/а = — (Л/ье+ Л/ь/+ Л/+ Л/ /) — (4.!51) и аналогично 1 а/ и/ иа = — (Л/+, + Л/ + Л/ 1+ Л/ е)— где Л вЂ” локальное собственное значение. Для уравнения Бюргерса Л просто совпадает с неизвестной и.
Результаты расчетов с переменным а/ (расчетов по самонастраивающейся схеме) приведены на рис. 4.34. Из рисунка видно, что оба метода третьего порядка точности позволяют получить удовлетворительные результаты, если разностная схема строится из соображений минимальной дисперсии. Слева от разрыва наблюдается иеболь- Теперь осталось лишь разумно определить эффективное число Куранта ч/е//х. Уорминг и др. !вагш!пд е1 а1., 1973) предложили при определении коэффициентов от/е //а полагать эффективное число Куранта равным среднему значению чисел Куранта в узлах сетки, используемых для разностной аппроксимации соответствующего члена. Так как член с то/+их содержит значение неизвестной в узлах /+ 2, /+ 1, / и /' — 1, то можно записать й 4.4. Уравнение Бюргерса (невязкое течение) 188 шос превышение точного решения, справа жс рсшенне почти совпадает с точным. Мы не советуем определять параметр ю; иа нз соображений минимума днсснпацнн.
Член, содержащий параметр ш, добавлен в уравнения для стабилизации решения, поэтому прн уменьшении днсснпацнн могут возникнуть проблемы с устойчивостью разностной схемы. Сильные осцнлляцнн могут появляться даже в устойчивом решении. Отметим, что параметр н=! — Точное решение Русанова укл н=о Рис, 4.34, Решение уравнения Бюргерса, полученное самонастраивающимся методом (методом с переменным ы). агапа может быть вычислен различными способами, но он должен быть выбран так, чтобы не изменилось условие устойчивости разностной схемы. Очевидно, прн разных методах определения этого параметра будут получаться различные численные решения.
4.4Л Неявные методы Центрированный по времени неявный методопнсан в и.4.1.10. Его основу составляют соотношения (4.57). Подставляя в (4.58) производные по времени нз рассматриваемого нами модельного уравнения, получаем и" +' = ин — — ~( — ) + ( д ) 1. (4.152) Задача оказывается нелинейной, н для ее решения необходимо применить лннеарнзацню нлн итерационный метод. Бнм н Уормннг (Веаш, %агап!пд, 1975] предложили воспользоваться следующим приближенным соотношением: Г"е = Р" + ( — ) (и"~' — и") =го" + А" (и"+' — и").
!86 Гл. 4. Метод конечных разностей длн модельных уранненнй Тогда и/"=ио 2 )3(,ах) + х ~А(ио+ и/)11 Используя центральные разности для аппроксимации производных по х со вторым порядком точности, получаем — — и"е'+по+'+ и" ь!= —— а/А/ ! /а!А/+~ а! Р/+! — е/ 4 Ьх / †! / 4 Ьх /+' Дх 2 о/А/ а/ ~о по+ ие 4ах / — ' / 46х /+г (4.153) не изменив формального порядка аппроксимации разиостной схемы.
Согласно Биму и Уормингу, неявная разностная схема (4.153) с явным демпфирующим членом устойчива при (4.155) О < то((1. Гезультаты расчета движущегося вправо разрыва по центрированной по времени неявной разностной схеме показаны на рис. 4.35. Очевидно, что решение, полученное по схеме без демпфирования, неприемлемо. При введении в разностную схему демпфирующего члена по формуле (4.154) получаются существенно лучшие результаты. Кроме только что описанного метода, Бим и Уорминг [Веагп, вагш!пд, 1976] предложили еще два аналогичных метода— неявный метод с трехточечной аппроксимацией производных назад н неявный метод Эйлера. Вариант неявного метода Эйлера, предложенный Бимом и Уормингом, основан на методе Эйлера В случае уравнения Бюргерса матрица Якоби А состоит лишь из одного элемента, и поэтому правую часть можно упростить. Мы видим, что предложенная линеаризация Бима и Уорминга позволяет получить на новом временнбм слое систему линейных алгебраических уравнений.
Это система уравнений с трехдиагональной матрицей, которая легко может быть решена прогонкой. В п. 4.1.!О было показано, что рассматриваемый метод устойчив при любых шагах по времени. Следует заметить, что все корни характеристического уравнения лежат на единичной окружности, что согласуется с отсутствием в модифицированном уравнении членов с производными четного порядка.
Вследствие этого в схему приходится вводить искусственную диссипацию. Можно, например, к уравнению (4.153) добавить член, пропорциональный разностной производной четвертого порядка — ~~ (и" — 4и" + би" — 4и", + и",), (4,!54) 187 й 4.4. Уравнение Бюргерса (невизкое течение) с разностями назад л+ 1 цл+' = цл+ Д! ( О! ) Для рассматриваемого нами нелинейного уравнения последнее соотношение примет вид Применяя уже описанную линеаризацию, получаем д!я» Ь! вл д! Рл рл ц»+1 ( ц»+1 2Ьх ! — 1 ! ' 2Дх 7ег Ьх 2 д!А! двЛ» — — цл -(- цл+ ц» 2 Ьх 1-1 ! 2 Ьх !+1' (4. 156) Задача снова свелась к легко решаемой системе линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей. Полу- нное решение йемпогировонио емпгрированием и=1 О. 5 О.
5 итогов и=о Рис. 4.35. Рви!ение уравнении Бюргсрса, иолучеинос иситрироваиной ио вре клони иеишюй схемой Бима -- Уормиига. чившаяся разностная схема безусловно устойчива, но для получения приемлемых численных результатов в иее необходимо ввести дсмпфирующий член, например по формуле (4.154). Более простой вид описанных в этом разделе неявных разностных схем получается, если их записать в так называемой дсльта-форме, т. е. в тех случаях, когда разностные уравнения составляются для приращений величин и для потоков, входящих в законы сохранения. Преимуществом такой записи разиостиых схем при решении многомерных задач является то, что !88 Гл.
4. Метод конечных разностей для модельных уравнений стационарное решение, если оно существует, не зависит от шага по времени. Построим центрированную по времени неявную разностную схему, используя дельта-форму записи разностных уравнений. Пусть Ли = и",. +' — и,".. Тогда уравнение (4.152) / ! можно переписать в виде Проведя, как и раньше, локальную линеаризацию, получим Рт+' = Р! + А," Ли;. Окончательно разностное уравнение запишется в виде — 4д Ли!-!+Ли! ( 4д Ли!,! — — — йд (Р4+! — Р! 1).
(4.!57) Оно имеет более простой вид, чем уравнение (4.!53). Система линейных алгебраических уравнений осталась трехдиагональ- решение 4аиревания йзириванием ч=о Рнс. 4.36. Решение задачи о движущемся вправо разрыве, полученное центрированной по времени неявной схемой, записанной в дельта-форме. ной, ио число членов в правых частях уменьшилось. Связанное с этим сокращение объема вычислений может оказаться особенно существенным при решении систем уравнений, когда объем вычислений очень большой. Гсшив уравнение (4.157), найдем приращения неизвестных на одном шаге по времени, Как уже отмечалось, записанная в дельта-форме схема безусловно устойчива, но и к ней необходимо добавить демпфирующие члены более высокого порядка. На рис.
4.36 представлены результаты расчета движущегося вправо разрыва по схеме, использующей дельта-форму записи. Как и следовало ожидать, решения с демпфированием и без демпфирования идентичны ре- 4 4.5. Уравнеяне Бюргсрса (вязкое течение) $4.5. Уравнение Бюргерса (вязкое течение) Полное нелинейное уравнение Бюргерса ди ди деи — + и — = !з— д! дх дха (4.158) является параболическим уравнением в частных производных. Оно используется как модельное для уравнений пограничного слоя, «параболизованных» уравнений Навье — Стокса и полных уравнений Навье — Стокса. Для лучшего моделирования уравнений пограничного слоя и параболизованных уравнений Навье— Стокса независимые переменные ! и х можно заменить независимыми переменными х и у; тогда получим ди ди деи — + и — ==!х —,, дх др два ' (4.!59) где х — маршевая координата.
Как и в случае ранее рассмотренных модельных уравнений, для уравнения Бюргерса существуют точные аналитичсскис решения при некоторых начальных и граничных условиях. Эти решения полезно использовать для сравнения различных разностных схем. Точное стационарное решение (т. е. !пп и(х, г)) г.е уравнения (4.158) с граничными условиями и(0, г') =и„, (4.
160) и(Ь, !) =0 (4.161) шениям, полученным при развернутой записи разностных уравнений. При применении центрированной по времени схемы мы рекомендуем использовать дельта-форму, а не развернутую запись разностных уравнений. Если ищется асимптотическое по времени решение, то члены, содержащие Ли, стремятся к нулю н, кроме того, во всех случаях необходимо вычислять меньше матричных произведений. Рассчитанные по неявным разностным схемам решения не- вязкого уравнения Бюргерса обычно хуже рассчитанных по явным схемам; при этом на каждом шаге приходится производить больший объем вычислений. Кроме того, часто надо знать промежуточные результаты, поэтому возможность использовать больший шаг по времени в случае неявной схемы обычно особой роли не играет. При расчете разрывных решений явные схемы позволяют получить лучшие результаты, чем неявные схемы, использующие центральные разности; поэтому мы рекомендуем для решения уравнения Бюргерса для невязкого течения применять явные методы, например метод Мак-Кормака.
!90 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравненнй имеет внд [ 1 — екр [й !(е (л!Ь вЂ” 1!] ! еи ~ 1 + ехр [й ((е (х(Ь вЂ” 1 )] 1 ' (4.162) где КЕс = пот /(4, (4.163) а й — решение уравнения (й — 1)/(й+ 1) = ехр ( — й Кес). (4.164) Для простоты вместо уравнения (4.158) часто рассматривают линейное уравнение Бюргерса дм ди дан — +с — =(х— д! дх дка ' (4.165) Отметим, что прн (4 = 0 из него получается волновое уравнение, а при с = 0 — уравнение теплопроводности.
Точное стационарное решение уравнения (4.165) с граничными условиями (4.160) и (4.16!) имеет вид 1 — ехр [Рс (х/Ь вЂ” 1!] ~ ' — 'хр ( — йс) где )(ь = с/./(х. Точное нестационарное решение уравнения (4.165) с начальным условием и(х, О)= з!п(йх) и периодическим граничным условием имеет вид и (х, !) = ехр ( — йе(4!) з (п й (х — с(). (4,167) Это решение полезно для анализа точности расчета по времени. Уравнения (4.!58) и (4.165) можно скомбинировать в обобщенное уравнение [КаЫс(з, 1978] и, + (с + Ьи) и, = ри„„, (4.!68) (4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
