Anderson-et-al-1 (1185923), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Следовательно, если мед„ больше 2, то этот дополнительный член приводит к большей диссипации (диффузии), чем вязкий член в исходном уравнении Бюргерса. Для уменьшения дисперсионных ошибок Леонард [(.еопагд, 1979а; 1979Ь1, не вводя слишком большую искусственную вязкость, предложил аппроксимировать конвективный член разностями против потока с третьим порядком точности. При с ) О в этом случае получается разностная схема л+! л н л л л л л л и! — иг иге! — и! ! и!+! — Зи!+Зиг ! — и! ) Ы + 2ах 66х и~!+! — 2и~т+ и! =Р (л )н э (4,188) а при с ( Π— схема л+! л Н л л иг — иг и!+ ! — и! 6! + 2 ох и!л„н — Зил!+ ! + Зи! — иГл ! ) Зла л2л1л (Ьх!н (4.189) сильнее (т. е. возрастать).
Следствием такого нефизического поведения решения и является возникновение осцилляций решения. При использовании метода ВВЦП можно избавиться от осцилляций, если при аппроксимации конвективного члена си, заменить центральные разности, обеспечивающие второй порядок точности по пространству, на разности против потока, имеющис первый порядок точности.
Тогда при с ) О получим разностную схему л+! л л л л л л иà — из иà — и! ! и!4! — Зиу + и! — ь "' . н.юв! Г97 % 4.5. Уравнение Бюргерса (низкое течение) 4.6.2. Схема <чекарда» Дю!Аорта — Франкена Мы уже отметили, что линеаризованное уравнение Бюргерса является комбинацией волнового уравнения первого порядка и уравнения теплопроводности. Поэтому мы можем попытаться скомбинировать некоторые алгоритмы, использовавшиеся раньше для решения волнового уравнения и уравнения теплопроводности.
Одной из таких схем и является схема «чехарда» Дюфорта — Франкела. Для уравнения (4.174) она имеет вид л+ ! и и л л+1 и-! и иг — и( и)+! — и( ! и „! — и — ит + и) ви! + А! Адх (в (их) ' . (4.190) Это одношаговая явная разностная схема первого порядка точности с погрешностью аппроксимации 0((И/Лх)т, (М)в, (гзх]в).
Для линейного случая (А=с) модифицированное уравнение имеет вид Г Артс (аГ)» ив+ си, = )в (1 — тт) или+ ) (дх)т — — с (Г!х) + В линейном случае можно провести анализ устойчивости методом Неймана (анализ устойчивости Фурье) и показать, что схема устойчива при т < 1. Отметим, что условие устойчивости схемы не зависит от величины коэффициента вязкости р; это связано с тем, что для аппроксимации вязкого члена использована схема Дюфорта — Франкела. Однако из условия согласованности следует, что величина (Лг/Лх)т должна стремиться к нулю при Л1 и Лх, стремящихся к нулю, что накладывает на шаг по времени куда более жесткое ограничение, чем условие т ( 1.
Поэтому .с точки зрения Пейрета и Вивьяна [Реуге1, '!г'(ч(апб 1976) схема «чехарда» Дюфорта — Франкела больше подходит для расчета стационарного решения (в этом случае точность расчета по времени несущественна), чем для решения нестационарных задач. В нелинейном случае рассматриваемая схема неустойчива, если и = О. 4.5.3. Метод Бранловскоя И. Ю. Браиловская 11965) предложила следующую явную .двухшаговую схему для решения уравнения (4.172): Предиктор и(+! = и" — —, (К+! — г7 !) + г(иго! — 2и! + и( !).
(4.192) 198 Гл. 4. Метод конечных разностей длн модельных уравнений Корректор а+! а Ы т иН а+м т а а а и! =и! — — (Р~+1 — Ру ~)+г(и!+1 — 2и!+и>,). Формально эта схема имеет первый порядок точности с погрешностью аппроксимации 0(Л1,(Лх)'). Если мы хотим найти лишь стационарное решение, то первый порядок точности по времени несуществен. Для линейного уравнения Бюргерса необходимое условие Неймана устойчивости разностной схемы имеет вид ] 6 ]' = 1 — (т' 81п' 8 (1 — тх з!п' ~) + 4г (1 — 'соз 8) )~ Х]1 — г(1 — совр)(1+т'з1пвб)])(1.
(4.193) Если пренебречь вязкостью (т. е. положить г = О), то условие устойчивости примет вид т ( 1, а если пренебречь конвекцией, т. е. положить т = О, то получим, что схема устойчива при г ( 1/2. На основе этих результатов Картер [Саг!ег, 1971] предложил следующее условие устойчивости схемы Браиловской: Привлекательной особенностью этой схемы является то, что на шагах предиктор и корректор вязкий член один и тот же, поэтому его можно вычислить только один раз.
4.5.4. Метод Аллена — Чена Аллен и Чен (А!1еп, С)тепд, 1970] предложили модификацию схемы Браиловской, позволяющую исключить из условия устойчивости ограничение на г. Эта схема имеет вид Предиктор =и! — 2ь (Р!+1 — Р1 ~)+г(и!,.1 — 2иГ +и! ~). (4.195) Корректор и!4 = и1 — — (Р~+] — Р~+])+ г(и!+,' — 2и1+'+ и!+,). Необычная конечно-разностная аппроксимация вязкого члена позволяет избежать ограничений на г, связанных с условием устойчивости, поэтому рассматриваемая схема в случае линейного уравнения Бюргерса устойчива при т ( 1. Благодаря этому при больших !х этот метод позволяет использовать существенно больший шаг по времени, чем метод Браиловской.
Метод Аллена — Чена формально имеет первый порядок точности с погрешностью аппроксимации 0(ЛА (Лх)х). 199 4 45. Уравнение Бюргерса (визкое течение) 4.5.5. Метод Лакса — Вендроффа Мы'уже применяли двухшаговый метод Лакса — Вендроффа для решения волнового уравнения. Среди нескольких различных вариантов использования этого метода для решения полного уравнения Бюргерса есть и такой: Шаг 1 л+«т 1Гл и т а!! л иг = 9 (и!+«а и1-«з), '!Р!+«в Р1 — «2) + + г[(й1 зм — 2и! «,+ и!+«т)+ (и1,и ) — 2и!+«я+ и! «зЯ. (4.196) Шаг 2 л+! л д! Г л+«2 л+«зт Г л л л и! =и! — — (Р!+«з — Р! «з1+ г(и!+! — 2и! + и! !). Этот вариант схемы Лакса — Вендроффа был использован Томменом [ТЬопппеп, 1966] для решения уравнений Навье — Стокса. Другой вариант предложен Палумбо и Рубином [Ра1шпЬо, КпЬ(п, 1972).
Он отличается тем, что предварительные значения вычисляются на слое с номером и+ 1, а не л+ 1/2. Описанная в этом разделе разностная схема имеет первый порядок точности с погрешностью аппроксимации 0(Л1, (/зх)а). Точное условие устойчивости этой схемы, полученное в результате линейного анализа устойчивости, имеет внд (ал), (Атб(+ 2Р)(1.
(4.197) 4.5.5. Метод Мак-Кармана Применяя метод Мак-Кормака к полному уравнению Бюргерса (4.172), получаем разностную схему Предиктор и!+'=и! — — (Р!+! — Р!)+ г(и!+! — 2и! + и! !). (4.198) Корректор Эта схема имеет второй порядок точности как по пространству, так и по времени. Эта разностная схема получена при аппроксимации производной дР/дх на шаге предиктор разностями вперед, а на шаге корректор — разностями назад. Возможен н другой вариант схемы Мак-Кормака, использующий на шаге предиктор разности назад, а на шаге корректор — разности вперед. 200 Гл, 4.
Метод конечных разностей для модельных уравнений Оба варианта схемы Мак-Кормака имеют второй порядок точности. Найти точное условие устойчивости метода Мак-Кормака при решении уравнения Бюргерса не удается, однако можно использовать либо условие (4.194), либо эмпирическую формулу (Таппе)4111 е1 а1., 19751 - тхпт ' з (Ьх)з (4.199) причем в обоих случаях с некоторым коэффициентом запаса. Последняя формула при 1А~, равном нулю, переходит в обычное для вязкого члена условие г ( 1/2, а при 1х, равном нулю, она переходит в обычное невязкое условие устойчивости ~А ~гзГ/Лх ( 1. Метод Мак-Кормака широко применялся не только для решения уравнений Эйлера, но и для решения уравнений Навье — Стокса в случае ламинарного течения.
Для многомерных задач разработан метод Мак-Кормака с ращеплеиием по времени, который будет описан в п. 4.5.8. Для решения задач с большими числами Рейнольдса Мак-Кормак разработал метод быстрого решения уравнений (МасСоппасК 1976) и неявный метод [МасСоппасК 19811, который будеть описан в гл. 9. Интересный вариант обычного метода Мак-Кормака получается при применении верхней релаксации на обоих шагах предиктор и корректор (ьгезЫег1, Таппе)4111, 1977а): Предиктор я+~ л ~~(Рл Рл) 1 (и 2в+ л ) йг+' = иг + а (ог+' — иг ).
Корректор ог =иг — — „(Рг — Рг г)+ г(йг+1 — 2йг + иг 1), дг (4.201) йг = иг + а (ог — иг). В приведенных соотношениях о — промежуточные значения неизвестных, а и — их конечные значения, а и а — релаксационные параметры, а и" — значение ир полученное на предыдущем временнбм слое. Обйчная схема Мак-Кормака получается, если положить а = 1, а = 1/2. В общем случае метод Мак-Кормака с верхней релаксацией имеет первый порядок точности с погрешностью аппроксимации 0(ЛГ, (Лх)Я).
Однако можно показать (ОезЫеп, ТаппеЬ1П, 1977Ь], что если ай =1а — оз 1, (4.202) то при решении линейного уравнения Бюргерса этот метод смеет второй порядок точности. Применение верхней релаксации $4.5. Уравнение Бюртерса (вязкое течение) ускоряет сходимость численного метода по сравнению с обычным методом Мак-Кормака примерно в й раз, где И= 1 — (е — 1)(ю — 1) ' (4.203) Анализ устойчивости Фурье в случае линейного уравнения. Бюргерса не позволяет найти необходимые и достаточные условия устойчивости рассматриваемой разностной схемы в виде алгебраического соотношения между параметрами т, г, е и кь Однако необходимое условие устойчивости имеет вид ! (в — 1моз — 1) )( 1.
В общем случае условие устойчивости схемы приходится находить численно, и оно оказывается обычно более жестким, чем условия в < 2 и о! ( 2. 4.6.7. Метод Брела — Макдональда Неявный метод Брили — Макдональда (Вг(1еу, Меропа!д, 1973) основан на следующей конечно-разностной аппроксимации по времени уравнения (4.172) (фактически применяется неявный метод Эйлера): (4.205) Член (дР/дх)1'+' разлагается в ряд Тейлора (ах)~ =( дк)(+ 4 Л1 (Зх)11+0((Ж) ), (4.206) при этом появляется производная д/др(дР/дх), которая преоб- разуется следующим образом: И наконец, комбинируя соотношения (4.205) — (4.207) и аппроксимируя производные по времени разностями вперед, а производные по пространству центральными разностями, получаем схему Брили — Макдональда и!"н-и) Р1+1 — Р! ! й! + 2 ах з е+1 я 1е в+1 е А)+! (и)+! — и)+!) — А) ! (и) ! — и) !) я „+ 202 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
