Anderson-et-al-1 (1185923), страница 32
Текст из файла (страница 32)
е. Ат+!!а = А( "!'!+') Если решается уравнение Бюргерса, то Р = иг/2 и А = и. В этом случае Ат+!!г=(и!+и!+!)/2, А! иг=(и!+и! !)/2. Коэффициент перехода для рассматриваемого метода вычисляется по формуле 0=1 — 2 ( — А) (1 — соэй) — '21 — „А э(п и, (4.143) а условие устойчивости имеет вид ( (И/Лх)иа»»~(1. 5 4.4. Уравнение Бюргерса (невязкое течение) 179 На рис.
4.28 показаны результаты расчета методом Лакса— Вендроффа той же модельной задачи, что и в предыдущем разделе. Положение движущегося вправо разрыва определяется достаточно точно, а сам разрыв описывается довольно крутой линией. Осцилляции решения вблизи разрыва подчеркивают преимущественно дисперсионные свойства разностной схемы. Хотя для аппроксимации производных используются центральные разности, решение асимметрично, так как разрыв движется. При и=! — Точнее решение ЬС/Ьх = 0.6 ат7ах = !.о в " О Рис. 4.2В. Решение невязкого уравнения Бюргерса, полученное схемой Лаков — Веидроффа. числе Куранта, равном 0.6, наблюдаются более сильные осцилляции решения, чем при числе Куранта, равном 1.
Обычно при уменьшении числа Куранта ухудшается качество численного решения (см. п. 4.1.6). 4.4.3. Метод Мак-Кормика В п. 4.1.8 было показано, что метод Мак-Кормака является модификацией метода Лакса — Вендроффа на основе схемы предиктор-корректор. Этот метод намного проще метода Лакса— Вендроффа, так как в разностные уравнения не входит матрица Якоби. Для уравнения Бюргерса невязкого течения схема Мак-Кормака имеет вид я+! я Ы г я ях и! =иг — — (Рг+! — Рг~, (4.144) Коэффициент перехода и условие устойчивости в этом случае такие же, как в схеме Лакса — Вендроффа.
Результаты расчета движущегося вправо разрыва методом Мак-Кормака показаны на рис. 4.29. Положение разрыва определяется довольно точно. !80 Гл. 4. Метод конечных разностей длн модельных уравнений Результаты расчета отличаются от полученных методом Лакса— Вендроффа при тех же числах Кураита. Это является следствием как изменения направления численного дифференцирования на шагах предиктор и корректор, так и следствием нелинейности рассматриваемого уравнения в частных производных. Нет ничего удивительного в том, что разные результаты получаются методами, которые для линейных задач эквивалентны. с=! — Точное решение -о- лс/ьх = 0.6 «»- ДС!Лх - !.0 н=й Рис.
4.29. Решение уравнения Бюргерса, полученное схемой Мак-кормака, Обычно схема Мак-Кормака очень хорошо описывает разрывы. Отметим, между прочим, что изменение направления численного дифференцирования на шагах предиктор и корректор приведет к изменению результатов расчета. Лучше всего рассчитываются разрывы, если на шаге предиктор разности берутся в направлении движения разрыва. Мы предложим читателю проверить это в задачах, которые помещены в конце главы. 4.4 4. Метод Русанова или Берстейна — Мирина Имеющий третий порядок точности метод Русанова или Берстейна — Мирина рассмотрен в п.
4.1.11. В этом методе для аппроксимации производных используются центральные разности. Применяя его к уравнению (4.130), получаем разностную схему и!+их 2 (и!+! + и!) 3 ь (Рт~! Р!) й! =и"; — — — (Р!!+от — Р) !м), 3 Ьх л+! и 1 о! и о и, и и! = и! — — — ( — 2Р44х+ 7Р!.ь! — 7Р!-!+ 2Рт-т)— 24 Ьх — — — (Р„,— 6 )— и! т! 8 Ьх 4 (и з, — 4и,"+, + би," — 4и,", + ии т) (4.145) й 4А.
Уравнение Бюргерса (иевязкое течение) Р31 Последний член в соотношении, описывающем третИй шаг, является конечно-разностной аппроксимацией члена с четвертой производной (Лх)ядяи/дх4, дополнительно вводимого в уравнение для обеспечения устойчивости схемы. Введение этого члена не снижает третий порядок точности схемы, так как он имеет порядок 0((Лх)4).
Из анализа устойчивости рассматриваемого ное решение Ьх = О.б: и = 2.0 ах = 1.1; = З О и=О Рис. 4.30. Решение уравнения Бюргерса, полученное схемой Русанова. !+от,и+1 3 ~™ 2 3 Рис. 4.31. Пирамида узлов сетки для схемы Русанова. метода следует, что коэффициент перехода выражается формулой г аг хз мп'р ю . аг сг = 1 — 1х — и ) — — — (1 — соз 6) + 1 — и з(п 6 Х 'хая ) 2 6 Ьх Х ~1 + — (1 — сои 6) [1 — ( — и) ~). (4,146) В случае уравнения Бюргерса эта схема устойчива, если (т~(1 или ~ — и,„~(! и 4тз — ч4 (ш ( 3. (4. 147) На рис.
4.30 показаны результаты расчета пе этой схеме решения уравнения Бюргерса с движущимся вправо разрывом. 182 Гл. 4. Метод конечных разностей длв н<оделы<ых уравненнй Положение разрыва и его интенсивность описываются корректно,однако перед и за разрывом наблюдается превышениеточных значений.
На рис. 4.31 схематически показано, как при использовании метода Русанова происходит движение по точкам шаблона при переходе с одного слоя на другой. 4.4.5. Метод Уормннга — катаева — Ломанса Уорминг и др. [Юаг<п(пд е1 а!., 1973) предложили метод построения разностной схемы третьего порядка точности без использования центральных разностей. Первые два шага этого метода совпадают с методом Мак-Кормака при шаге (2/3)М. Основное преимущество такого метода перед методом Русанова состоит в том, что он использует значения всех величин лишь в узловых точках.
Применяя метод Уормннга — Катлера — Ломакса, получаем разностную схему и5 = и< — — — (Р<+< — г"<) <) л 2 Ь< е л 3 Ьх М) 1Гл <П 2 а<) <И <Н)1 И< = — <сИ< + И) — — — (т"< 21 3 ах 1 ° л+< л 1 <1< ( и 24 Ь» <~г+ <~ < + л л и 3 а< <г) <г) х ~ <+' 8 Ьх — 4 (иг+г — 4и;+<+ би< — 4и< <+ и<-г). (4.143) Третий шаг метода Уорминга — Катлера — Ломакса совпадает с третьим шагом метода Русанова. Отметим, что на первых двух шагах можно использовать и другой метод второго порядка точности.
Берстейн и Мирин показали, что для вычисления и<г) мож! но использовать любой метод второго порядка точности. Линейный анализ устойчивости рассматриваемой разностной схемы показывает, что она устойчива при тех же условиях (4.147), при которых устойчива схема Русанова. На рис. 4.32 схематически показано, как при использовании метода Уорминга — Катлера— Ломакса происходит переход с одного слоя на другой. Отметим, что на этой диаграмме направление численного дифференцирования на первых двух шагах различно. Направление дифференцирования можно изменить, а можно и циклически менять это направление при проведении нескольких последовательных шагов по времени. 183 й 4.4.
Уравнение Бюргерса (иевязкос течение) На рис. 4.33 показаны результаты расчета решения уравнения Бюргерса с движущимся вправо разрывом по схеме Уорминга — Катлера — Ломакса. Эти результаты почти не отличаются от полученных в предыдущем разделе. На основе полученных !+а!, и+1 Рис. 4.32. Пирамида узлов сетки для метода Уормннга -- Катлсра — Ломакса. н - "1 е решение = 0,6~ м 2.0 = ~,0; . = З.о н -" 0 Рис. 4.33.
Рещение уравнения Бюргерса, полученное схемой Уорминга — Катлера — Ломакса. результатов можно прийти к заключению, что все методы третьего порядка приводят к примерно одинаковой точности. 4.4.6. Самонастраивающийся метод третьего порядка точности Параметр щ, появляющийся на третьем шаге в двух только что рассмотренных методах, может быть выбран относительно произвольно. Его величина ограничена лишь условиями устойчивости разностной схемы. Выбранное в начале расчета значение параметра щ остается во всех узлах сетки одним и тем же. Однако если вводимый на третьем шаге демпфирующий член записать в дивергентном виде 184 Гл.
4. Метод конечных разностеп для модельных уравненнй то при проведении расчета параметр н может меняться от точки к точке, а законы сохранения на разностной сетке будут выполняться. При таком подходе член, содержащий от в соотношениях для последнего шага схем Русанова и Уормиига— Катлера — Ломакса, запишется в виде о от/+ Их — 24 (и,„— зй„, + зи, — и,,)+ я + 4 (и,"+, — Зи, "+ Зи,", — и,",). (4.149) Величины от",//, зависят теперь от эффективного сеточного числа Куранта. Уорминг и др. [вагш!пд е1 а!., 1973) предложили в каждом узле выбирать эти параметры так, чтобы свести к минимуму либо дисперсионную, либо диссипативную ошибку.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
