Anderson-et-al-1 (1185923), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Ясно, что в этом случае — + л )и(х, 1)с(хЖ=О, в (4. 133) или ~ ~ (иш, + Еш„) г(х г11 = О. и (4.134) Если функции и и Р непрерывны и имеют непрерывные первые производные, то уравнения (4.133) и (4.134) эквивалентны. Входящий в уравнение (4.132) второй интеграл в последних двух уравнениях отсутствует, так как функция ш на границе равна нулю. Функция и(х, г), удовлетворяющая условию (4.134) для й 4.4. Уравнение Бюргерса (невазкое течение) 173 любой функции и, называется слабым решением невязкого уравнения Бюргерса. Отметим, что, для того чтобы удовлетворить условию (4.134), функция и не обязательно должна быть дифференцируемой. Рассмотрим случай, когда прямоугольная область О в плоскости (х,г) разделена кривой т(х,1) = О, на которой функция и имеет разрыв.
Предположим, что функция и непрерывна и имеет непрерывные первые производные в подобластях, лежа- рнс. 424. Схематическое изображение произвольной области с расположенным в ней разрывом. щих слева от т(О,) и справа от т(Оз). Используя формулы интегрирования по частям и учитывая, что функция и равна нулю на границе области О и вне О, из (4.134) получим ~~ (~~ ",— ~~) шс(хЖ+ ~~ (~~ +ар) ш,(х й+ В, В, + ~ ([и) соз а, + Я соз аз) с(з = О.
(4.!35) т Последний интеграл вычисляется вдоль кривой т(х,1) =О, разделяющей подобласти О1 и О,, Он появляется при интегрировании по частям вследствие того, что кривая т(х, г) =О является границей подобластей О1 и Оз. Квадратными скобками обозначена разность значений заключенной в них величины по разные стороны разрыва («скачок» этой величины при переходе через разрыв), се~ и аз — углы между направлением нормали к кривой т(х, т) = О и осями 1 и х соответственно. Рассматриваемая задача проиллюстрирована на рис.
4.24. Согласно (4.133), входящие в (4.135) интегралы по подобластям О, и О, равны нулю, поэтому и последний интеграл равен 174 Гл. 4. Метод конечных резкостей для модельных ураиисиий нулю для любой функции аи Следовательно, [и] сова, + [Р]совая=0. (4.136) Последнее соотношение и является условием, которому должно удовлетворять слабое решение и уравнения Бюргерса. Рассмотрим движущийся разрыв. Пусть начальное распределение и(х, 0) имеет вид, показанный на рис.
4.23, где и! и иг — значения и слева и справа от разрыва. В одномерном случае уравнение поверхности т(х,1) = 0 можно представить в виде 1 — 1!(х) = =О. Тогда входящие в (4.136) направляющие косинусы определяются соотношениями е 1 сова,= „,„... сова,= — „ (штрихом обозначено дифференцирование по х). Следовательно, — =0 [1.» 1'2]И2 [1» 1'2]!!2 или "г "! ~й 2 2 иг — И,= 2 йл' Окончательно ОЛ и2+ иг Дг 2 (4.137) (4.138) Вид характеристик в плоскости (х,1) показан на рнс. 4.26. В левой полуплоскости характеристики суть вертикальные прямые, а справа от характеристики, ограничивающей волны разрежения, они составляют с осью х угол 22/4 рад.
Рассматривае- т. е. скорость распространения разрыва равна полусумме скоростей слева и справа от него. Зная, что по обе стороны разрыва скорости постоянны и что сам он движется с постоянной скоростью (и! + иг)/2, легко провести сравнение решений по различным численным методам расчета течений с разрывами с точным решением. Волны разрежения встречаются в сверхзвуковых течениях не реже, чем ударные волны. Известно точное решение уравнения Бюргерса, описывающее волну разрежения. Пусть начальное распределение и(х, 0) имеет вид, изображенный на рис. 4.26. Характеристики уравнения Бюргерса описываются соотношением ог 1 ох и' 175 $ 4.4. Уравнение Бюргерса )невязкос течение) мая задача похожа на задачу о распространении центрированной волны разрежения в течении сжимаемой жидкости.
В случае уравнения Бюргерса волна разрежения ограничена слева линией х = О, а справа — проходящей через начало координат характеристикой, которая изображена на рисунке штриховой лип!х,о) и=1 и=о Рнс. 4.25. !!ачальные условия для волны разрсжсння. нисй. Математически решение задачи о распространении волны разрежения можно записать в виде и=О, х(0, и=х/1, 0 <х<1, и=1, х>!. Итак, заданное начальное распределение и приводит к образованию центрированной волны разрежения, ширина которой растет по времени линейно. с Мы изучили две задачи, часто встречающиеся в сверхзвуковых газодинамических течениях — ударные волны и волны разрежения, — которые можно моделировать при помощи уравнения Бюргерса. РеШЕНИЯ таКОГО т Па СУЩЕСТВУЮТ Рис 426. Характеристики дляслучая и для друГих нелинейных ги неитрированиой волны разрежения. перболических уравнений в частных производных.
Вооружившись простыми аналитическими решениями для двух этих важных случаев, перейдем к изучению различных разностных схем решения невязкого уравнения Бюргер са. 4.4.1. Метод Лакса Схемы первого порядка точности почти не используются для решения гиперболических уравнений в частных производных. Метод Лакса [).ах, 19б4) выбран как типичный метод первого 176 Гл. 4.
Метод конечных разностей для модельных уравнений порядка точности для того, чтобы показать, что такие методы позволяют решать нелинейные уравнения, но обладают сильными диссипативными свойствами. Для построения разностной схемы, как и при построении всех последующих примеров, воспользуемся днвергентной формой записи исходного уравнения ди дР— + — = О. ш дл Применим метод Лакса. Для этого выпишем первые два члена ряда Тейлора для функции и в точке (х, 1): ('1+Д1)= ('1)+Д1(д") + При помощи исходного уравнения заменим производную по вре- мени; тогда запишем и(х, 1+Ы)=и(х, 1) — Д1(~ ) + ..
Для уравнения Бюргерса г" = ие/2. Коэффициент в этом случае запишется в виде 6 = сов й — 1 — А з!и р, . а1 Ьл перехода (4.140) где якобиан А = т(г/с(и для уравнения Бюргерса равен просто и. Условие устойчивости схемы Лакса имеет вид (4.141) так как и,„— максимальное собственное значение матрицы А, состоящей лишь из одного элемента и. Результаты расчета методом Лакса движущегося вправо разрыва 1 — 0 приведены на рис. 4.2?. Положение движущегося разрыва определяется довольно точно, однако диссипативные свойства метода проявляются в размазывании разрыва на несколько шагов разностной сетки.
Как уже отмечалось раньше, это размазывание должно быть тем больше, чем меньше число Куранта. Интересно заметить, что при расчете разрывных ре- Следуя методу Лакса, для аппроксимации производной используем центральные разности, а первое слагаемое в правой части представим как среднее арифметическое значение в двух соседних узлах (см. п. 4.1.3). В результате получим ии +ил рл рл кле' (4.139) 1 2 Ьх 2 й 4.4. Уравнение Бюргерса (невязкое течение) !77 шений метод Лакса приводит к одинаковым значениям и в двух соседних узлах, как показано на рисунке.
Укажем еще на одно свойство метода Лакса — его монотонность, т. е. на отсутствие осцилляций решения. С. К. Годунов (1959] показал, что схемы с более высоким, чем первый, порядком точности не могут быть монотонными '1. Если расчет разрыва является лишь частью более общей задачи, то желательно проводить его, используя моение Нчб Рис. 4.27, Результаты численного решения уравнения Бюргерса по схеме Лакса.
потопную схему, однако диссипативные свойства методов первого порядка точности велики, поэтому вопрос о целесообразности использования монотонной схемы необходимо решать в каждом конкретном случае. 4.4.2. Метод Лакса — Веидроффа Метод Лакса — Веидроффа [Еах, Жепе(гоИ, 1960) — один из первых конечно-разностных методов второго порядка точности, созданных для решения гиперболических уравнений в частных производных.
Для нелинейных уравнений разностиую схему можно построить, исходя из разложения в ряд Тейлора: и(х, 1+Лг)=и(х, 1)+Л1( — ) + — ( —,, ),+ .. Первую производную по времени можно заменить при помощи исходного уравнения в частных производных. Сложнее обстоит дело со второй производной. Запишем исходное уравнение в виде ди дг" 1д11 дк ' " Все результаты были получены С. К.
Годуновым лишь для так называемых однородных разностных схем. В последние годы создан ряд неоднородных монотонных разностных схем высокого порядка точности для решения гиперболических уравнений. Они описаны, например, в работах 12, 3, 11, 15, 27, 31) в списке дополнительной литературы на стр. 712. — Прим. перев. !78 Гл. 4.
Меток конечных разностей длн модельных уравнений Дифференцируя его по времени, получаем д'и дгР дгР д Г дР ~ где порядок дифференцирования функции Р изменен. Так как Р = Р(и), то дн дР дР ди 1 ди д! дх ди дх дх ' дР дР ди ди — = — — = А —. д! ди д! д! ' Следовательно, производную дР/д! можно заменить по формуле дР дР— = — А —. д! дх' Тогда В случае уравнения Бюргерса матрица Якоби А состоит лишь из одного элемента. Если решается система уравнений, то и и Р— векторы, а А — матрица.
Подставляя найденные производные в разложение функции и в ряд Тейлора, получаем и(х, !+Л!) =и(х, !) — Ж вЂ” х+ — — „(А — „)+.... дР (а!)г д дР т Для построения схемы Лаков — Вендроффа теперь достаточно вместо производных подставить их центрально-разностные аппроксимации и»э! — и» + а! Р!+! - Р! ! ! ! Ьх 2 + 2 (ах) (А!+!!г(Р!+! — Р!) — А! иг(Р! — Р! !)1. (4.142) Матрица Якоби А вычисляется в середине между узлами раз- ностной сетки, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
