Anderson-et-al-1 (1185923), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Интересно также заметить, что в выражение 1.00 0.5 6 О.ОО -О. -1.00 .50 2.00 2.50 3.00 )з Рис. 4.12. Коэффициент перехода для простой явной схемы. — ч — простой явный метод; — точное решение. для погрешности аппроксимации не входят производные нечетного порядка. Поэтому для этого метода, так же как для большинства других методов решения уравнения теплопроводности, дисперсия на разностной сетке отсутствует.
Этот факт следует и из анализа выражения для коэффициента перехода рассматриваемой схемы: 6 = 1 + 2г (соз й — 1), (4.77) причем мнимая часть этого коэффициента перехода равна нулю и, следовательно, сдвиг по фазе отсутствует. На рис. 4.12 про- $4.2. Уравнение теплопроводности ведено сравнение коэффициента перехода (4.77) с его точным значением при двух различных г. Точное значение коэффи- циента перехода (затухания) определялось путем подстановки фундаментального решения -пав 1 га х и — е те ы в соотношение ц(г+ а!) в ц(!) Отсюда -аьв а! 6 =е в (4.78) или Г4 =Е-са' е где Р=й Ьх (4.79) Следовательно, амплитуда точного решения уравнения теплопроводности уменьшается на каждом шаге по времени в е — '"' раз (если не учитывать влияние граничных условий).
начальных донных Рис. 4ЛЗ. Зона зависимости для простой явной схемы. Из рис. 4.12 видно, что простой явный метод решения уравнения теплопроводности при г = 1/2 характеризуется сильной диссипацией при больших значениях параметра р, Как и следовало ожидать, при г = 1/6 наблюдается гораздо лучшее совпадение коэффициента перехода с его точным значением. При использовании простого явного метода уравнение теплопроводности решается последовательным продвижением (маршем) от линии, на которой заданы начальные данные, т.
е. так же, как решались явными методами гиперболические уравнения. Этот процесс проиллюстрирован на рис, 4.13. Из рисунка 134 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений видно, что решение в точке Р не зависит от граничных условий, заданных на линиях АВ и СР. Однако решение уравнения теплопроводности в точке Р должно зависеть от граничных условий на линиях АВ и СР, так как характеристики параболического уравнения теплопроводности имеют вид 1 = сопз!. Следовательно, простая явная схема (с конечным Л() неправильно моделирует физи.еские особенности уравнений в частных производных параболического типа. Представляется, что для решения уравнений в частных производных параболического типа лучше использовать неявные методы, так как они учитывают всю информацию, известную на характеристике (=сонэ( и под ней.
С другой стороны явные схемы лучше использовать для решения гиперболических уравнений, так как у них размер зоны зависимости ограничен. Пример 4.2. Применим простой явный метод для решения уравнения теплопроводности (а = 0.05) с начальным условием и(х, 0)=з!п(2пх), 0(х(1, и периодическими граничными условиями.
Определим погреш- ность в определении амплитуды после десяти шагов по времени при И = 0.1, Лх = О.! . Решение. Единственное значение р удается определить в рас- сматриваемой задаче на основе тех же соображений, которые приведены в примере 4.1. Это значение параметра (1 равно р = я Лх =(2п)(0.1) = 0.2п. Вычисляя г по формуле а о( (0.05) (О.1) г = — =- —: — ~'— = 0.5, (ох)а (О.1) находим коэффициент перехода для простого явного метода: 0 = 1 + 2г (соз р — 1) = 0.809017.
Точное значение коэффициента перехода равно Ое=е 'Р =0.820869 поэтому погрешность в определении амплитуды равна А ~ 61о 61о~ (1)(О 1389 0 1201) 0 0188 В соответствии с (4.72) точное решение уравнения теплопроводности после выполнения десяти шагов по времени (1= 1.0) имеет вид и (х, 1) = е-"4"* яп (2пх) = 0.1389 яп (2пх). Его можно сравнить с численным решением, имеющим вид и (х, 1) = О.! 201 яп (2пх).
4 4.2. Уравнение теплонроводностн 135 4.2.2. Метод Ричардсона Ричардсон [Вс)тагдзоп, 1910[ предложил явную одношаговую трехслойную схему решения уравнения теплопроводности а+ л- а 2 л 1 л 2 л! (Ьх)а (4.80) Это схема второго порядка точности с погрешностью аппроксимации 0((А1)а, (!зх)а). К сожалению, метод Ричардсона абсолютно неустойчив и, следовательно, для решения уравнения теплопроводности непригоден. Он приведен в книге просто как пример из истории численных методов решения уравнений в частных производных. 4.2Л.
Простой неявный метод Простой неявный метод предложен Лаасоиеном [1аазопеп, 1949). Соответствующая разностная схема записывается в виде а+! л а+1 л+! л+! (4.81) Используя центральный разностный оператор бепл — пл 2пл [ па а ! 1+! 1 !! Коэффициент перехода 0 = [1 + 2г (! — соз [1)[ (4.84) приведен на рнс. 4.14 при г = 1/2 и сравнивается с его точным значением. уравнение (4.81) можно переписать более компактно: л+! а 32 лт! — «! а«! = а-д — ~. (4.82) Рассматриваемая разностная схема имеет первый порядок точности с погрешностью аппроксимации О(!а(, (!ах)а) и абсолютно устойчива. Как следует из уравнения (4.82), на (и+ 1)-м шаге по времени следует решать систему линейных уравнений с трех- диагональной матрицей. Модифицированное уравнение для рассматриваемой схемы имеет вид ~ 2 !2 1 """" ~ 3 ( ) 12 + зао а (Лх)'~ и,„„„„~ + ....
(4.83) 136 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений 4.2.4. Метод Кранка — Ннколсона Кранк и Николсон [СгапК И!со!зоп, 1947) предложили для решения уравнения теплопроводности неявную схему Я+1 Я йт Я+ бана+1 а 2 (ь~) (4.88) Это широко известная абсолютно устойчивая схема, которую обычно называют схемой Кринка — Николсона. Благодаря тому ьоо 0.50 -0.50 -1.ОО 0 Рнс. 4.14.
Коэффициент перехода для нескольких численных схем, г = 1/2; — простая неявная схема; — Ь вЂ” схема Кранка — Николсона; — П— схема Дюфорта — Франкела; — точное решение. что правая часть уравнения аппроксимируется полусуммой значений производных на двух последовательных шагах по времени, схема имеет второй порядок точности с погрешностью аппроксимации 0((051)х, (Лх)о). Как и в предыдущем случае, на (и+ 1)-м слое по времени приходится решать систему алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей. При применении метода Кранка — Николсона модифицированное уравнение имеет вид ио оихх Гв иххкк+ 1 12 05 ( ) + 391 ( ) ~ ххх"эх+ (4.88) Коэффициент перехода С= 1 — т (1 — сов()) 1+ г (1 — соз р) при г = 1/2 построен на рис.
4.14. (4.87) $ 4.2. Уравнение теплопроводностн 137 4.2.6. Комбиннроввнимй метод А Простой явный метод, простой неявный метод и метод Кранка — Николсона являются частными случаями более общего метода ил+1 ил баев»+! + (1 О) зги» / / »/ х/ — а (4.88) где О = сопи((0 < О < 1). При О = О получаем простой явный метод, при О = 1 — простой неявный метод, а при О = 1/2 в метод Кранка — Николсона.
Этот комбинированный метод имеет первый порядок точности с погрешностью аппроксимации 0(Ы, (Лх)г), за исключением трех частных случаев: (а) 8= 1/2. Схема Кранка — Николсона, погрешность аппроксимации О((/1/)г, (Лх)г). (Ь) 8= — —, погрешность аппроксимации 0((Ж)г, 1 (ах)г 2 12аа/ ' (Лх) е). 1 (Лх)г (/!х) г (с) О= —— 2 12аа/ аа/ н — = 1/20, погрешность аппроксимации 0((й/)г, (Лх)е). Погрешности аппроксимации в этих частных случаях определяются из модифицированного уравнения М/ — анлл=[(8 — 2) а /!/+ 12 ~нх»»» + ~(8 — О+3) ав(О/) + + а (Π— 2 ) а~И(Лх)'+ 3 о а(Лх)~) и„„„„„„+ .... (4.89) 4,2.3.
Комбннвроввивмй метод !В Рихтмайер и Мортон [ц(сЫгпуег, Мог(оп, !967) предложили общую трехслойную неявную схему решения уравнения теплопроводности л+! л (1+8) "' „' , » -! аг л+! а/ (зх)т (4.91) При произвольном О эта схема имеет первый порядок точности с погрешностью аппроксимации 0(И, (Лх)г), за исключением частных случаев: (а) О = 1/2, погрешность аппроксимации 0((Л/)г, (Лх)г).
Предложенный комбинированный метод абсолютно устойчив при 1/2 < О < 1. Однако, если О < О < 1/2, этот метод устойчив лишь при О < г < 1/(2 — 48). (4.90) 138 ' Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений (Ь) 8 =-+, погрешность аппроксимации 0 ((А() з, 1 (Дх)т (Ах)4), причем погрешности аппроксимации определяются из модифицированного уравнения и,— аи,х=~ — (Π— 2/а дг+ 12 а(дх) ~и„х„„+ .... (4.92) 4.2.7. Метод Дюфорта — Франкела Абсолютно неустойчивый метод Ричардсона (4.80) можно сделать устойчивым, заменив и" на среднее по времени значение (и"+'+и"-!)/2.
В результате получим явную трехслойную схему Л.4- Л- П и+ и- 1 и — а +, „, (4.93) впервые предложенную Дюфортом и Франкелом [РцРог(, Ргап)се), 1953[. Переписав уравнение (4.93) в виде ип+'(1+2г)=ип '+2г(ип — ип-'+и",), где г= — т, ад! (4.94) обнаружим, что в него входит лишь одна неизвестная величина ив+1, и, следовательно, схема явная. Схема Дюфорта— Франкела имеет погрешность аппроксимации 0 ((А() л, (Дх) з, (А(/Ах)т). Поэтому если она удовлетворяет условию согласованности, то (И/Ах)т должно стремиться к нулю при Д( и Ах, стремящихся к нулю.
В гл. 3 было показано, что если отношение И/Ах стремится не к нулю, а к некоторой константе у, то схема Дюфорта — Франкела согласована с гиперболическим Уравнением дл дт„д „ — + оу' —,- =о —. д! д( дхе ' Если при стремлении И и Ах к нулю г остается постоянным, то величина (А(/Ах)т формально имеет порядок 0(А(). Тогда модифицированное уравнение имеет вид г 1 (д!)т ч хх — [ !2 (дх)т [ (д!)4 Коэффициент перехода 2г сов р ж )/1 — 4гт в!вт () 1+ 2г й 4,2.
Ураппсппс теплсироподпостп 139 при г= 1/2 изображен на рис. 4.14. Схема Дюфорта — Фраи- кела обладает необычным для явных схем свойством — безуслов- ной устойчивостью. 4.2.9. Методы решения двумерного уравнения теплопроводностн т. е. при (Лх)2 =(Лу)2 схема устойчива, только если г (1/4. Это условие накладывает в два раза более жесткое ограничение на соотношение шагов по времени и пространству по сравнению с одномерным случаем (условием г ( 1/2) и, следовательно, делает применение явного метода на практике еще менее целесообразным. Применяя для решения двумерного уравнения теплопроводности метод Кранка — Николсона, получаем разностную схему и+! л (бт + д2) (!!и+! + ил ) (4.99) Для сокращения записи здесь введены двумерные центральноразностные операторы 62 и 62„, определяемые соотношениями и л л 2 л и! ! ! — 2и! !+и! ! ! Ьхи! ! х !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
