Anderson-et-al-1 (1185923), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Некоторые полезные для решения уравнений конечно-разностные методы не приведены, так как онн аналогичны описанным в этой главе методам, а ограниченный объем книги не позволяет описать в ней все пригодные для практического использования методы. $4Л. Волновое уравнение 107 порядка, свойства решений которого близки к свойствам реше- ния уравнения (4.1): — +с — =0 с) О. ди ди дт дк (4.2) Отметим, что уравнение (4.1) можно получить из уравнения (4.2). В этом параграфе в качестве модельного уравнения выберем уравнение (4.2), которое будем называть одномерным волновым уравнением первого порядка, или просто волновым уравнением, Одномерное волновое уравнение является линейным гиперболическим уравнением, описывающим распространение волны со скоростью с вдоль оси х. Оно в элементарной форме моделирует нелинейные уравнения, описывающие газодинамические течения.
Хотя в этой главе мы будем называть уравнение (4.2) волновым уравнением, обратим внимание читателя на то, что обычно волновым уравнением называют уравнение (4.1). Соответственно уравнение (4.2) часто называют одномерным линейным уравнением переноса. Точное аналитическое решение уравнения (4.2) с начальными данными и(х, 0) = Р(х), — оо < х < оо, (4.3) имеет вид и(х, 1)=Р(х — с1). (4.4) Перейдем теперь к изучению конечно-разностных схем решения одномерного волнового уравнения первого порядка. 4.1.1.
Явные методы Валера «1 — «1 «1+~ — «1 л+1 л л л +с + =0 (4.6) с погрешностью аппроксимации 0(Л1,Ьх) и 0(Аг, (Ьх)т) соответственно. Обе эти схемы имеют первый порядок аппроксимации, так как главный член в выражении для погрешности имеет первый порядок (Лт' или Ах для схемы (4.6) или Л1 для схемы (4.6)). Разностные схемы (4.5) и (4.6) явные, так как в каждое разностное уравнение входит лишь одно неизвестное и"+'. К сожалению, анализ устойчивости разностных схем (4.5) и (4.6) методом Неймана приводит к тому, что они обе абсолютно Этот метод приводит к двум простым явным одношаговым разностным схемам «л+1 ил ил ил 1+с 1+1 1 =О, Ы Ьк (4.5) 106 Гл. 4.
Метод конечных разностей для модельных уравнений неустойчивы и, следовательно, для численного решения волнового уравнения непригодны. Перейдем теперь к описанию более полезных разностных схем. 4.1.2. Метод непользования разностей против потока Простую ясную схему (4.6) (метод Эйлера) можно сделать устои !ивой, сслп при аппроксимации производной по пространству использовать пс разности вперед, а разности назад в тех случаях, когда скорость полны с положительна. Если скорость волны отрицательна, то устойчивость схемы обеспечивается при использовании разнос.!сй впсред.
Этот вопрос будет более подробно рассмотрен в гл. 6 при описании метода расщепления коэффициентов матриц. При использовании разностей назад разностные уравнения принимают вид н+! и (4.7) Эта разностная схема имест первый порядок точности с погрешностью а!шроксимации 0(Л(,Лх). Из условия устойчивости Неймана следует, что схема устойчива при (4.8) где т = сЛ(/Лх.
Подставим в (4,7) пмсс о и",.+ и и,", их выражения в виде ряда Тейлора. Тогда получим ! л1 — )(и. +Ли + — '; '- .,; (- —,. и!!!+...: — и!! + с < и ! н !Ь Д (Лхй + — (и( — и( — Лхи, ,— -лт, — — —.их„,+...Я=О. (4,9) Лх 1 После несложных преобразований уравнение (4.9) приводится к виду Л! сЛх (Л!)т . (Лх)а и!+ си„= — —, и„р — и .. — — и„т — с' и„„, +.... 2 " 2 -' 6 - 6 (4. 10) В левой части последнего равенства записано исходное волновое уравнение, а в правой — погрешность аппроксимации, которая обычно отлична от пуля. Значение членов, входящих в погрешность аппроксимацш, мгзкцо лучи!с понять, если заменить производные по времени производными по пространству. Для этого выразим производную и; чсрсз производную по х.
Дифферен- 5 4П, Волновое уравнение а дифференцируя (4.10) по х и умножая на — с, находим саь' с»Ьх с (ЬГ)» сиь» с и»» 2 ии» 2 и»»» + б иен» + (4.12) Складывая (4.11) и (4.12), получаем иы — — с'и„„+Ю( 2" + 2 им»+0(ьг))+ + Лх ( — 'и»», — — ' и„»» + 0 (Ьх)) . (4.13) Аналогично можно получить следующие выражения для произ- водных инн ин», и»н иен —— — с'и»»»+ 0 (Ж, Ьх), иггх = с'и»»» + 0 (Ы, Лх), и„»г = — си„»» + 0 (Ьг, Лх). Из уравнений (4.10), (4.13) и (4.14) следует, что ит + си, = — (1 — и) и»» — (2те — Зн + 1) и»»» + сЬх -с (Ьх)».
-[- 0 ((Лх)а, (Ьх)е Ь! Ьх (Ьт)е (Ь()а) (4.15) Уравнение, аналогичное (4.15), называют модифицированным уравнением и [Жагт!пд, Нуе(1, 1974). При использовании ме- тода конечных разностей решается на самом деле модифициро- ванное уравнение, а не исходное уравнение в частных производ- ных. Подчеркнем, что для исключения производных по времени высших порядков необходимо использовать именно уравнение, получающееся после подстановки разложения в ряд Тейлора в разностное уравнение, т. е. уравнение (4.10), а не исходное уравнение в частных производных (4.2).
Это связано с тем, что решение исходного уравнения обычно не является решением (4.14) Н В отечественной литературе модифицированное уравнение обычно навываеьт дифференциальным приближением равно«гаса схемы (см., например, работу [401 в списке дополнительной литературы на стр. 712). В первой части книги сохранен термин «модифицированное уравнение», а во второй части книги использован термин «дифференциальное приближение рааностной схемы». — Прим. ред. цируя (4.10) по времени, получаем ЬГ сЬ» (М)~ с (Ьх)» иы + Си»Ф 2 иси + 2 и»»Г а иеыг б их»»М + (4.11) 4 3 '3 "! ; «1» «= о Ъ~. «а "ъ~" а а 3 о 3.1 'Ы Ъ!» -!» а .„! 3 а а! 3 о « 3«! ! 4! ! «( «~„ а1« ! 3 »! « ъ!« .! т .14 Ж !« а 9. ф а! 33П х О О х О 33 О р о о О 3 О О О О О в О о х й ф о 3 О х х .О .О О О х О О х О О.
О О О О » й! и о О И О «! ! о Х 4 К 14 3 ~Я $4.!. Волновое уравнение разностного уравнения, и так как модифицированное уравнение следует из разностного уравнения, то очевидно, что исходное уравнение в частных производных не должно использоваться для исключения производных по времени. Производные по времени проще всего исключить, используя табл. 4.1. В первой строке таблицы выписываются коэффициенты перед каждым членом уравнения (4.10) (предварительно все члены уравнения переносятся в левую часть). Член уравнения (4.10), содержащий производную ип, можно исключить, умножив (4.10) на дифференциальный оператор — (И/2) (д/д1) и прибавив результат к первой строке таблицы, т.
е. к уоавнению '(4.10). При этом в уравнении появляется новый член — (сЛ1/2)ш„ который исключается умножением (4.10) на дифференциальный оператор (сЛ(/2) (д/дх) и сложением результата с первыми двумя строками таблицы. Так поступают до тех пор, пока не будет исключено требудмое число производных по времени. После этого каждый коэффициент модифицированного уравнеяня получается простым суммированием коэффициентов, расположенных в соответствующих столбцах таблицы. Необходимые алгебраические вычисления можно провести на ЭВМ, используя, например, язык РОРМАС 1Р(ке, 19701.
Правая часть модифицированного уравнения (4.15) является погрешностью аппроксимации, так как она равна разности решений исходного уравнения в частных производных и его конечно-разностного аналога. Следовательно, член наименьшего порядка в правой части модифицированного уравнения определяет порядок точности метода. В рассматриваемом случае метод имеет первый порядок точности, так как член наименьшего порядка имеет порядок 0(Л(, Лх).
Если т = 1, то правая часть (4.!5) равна нулю и решение разностного уравнения является точным решением исходного дифференпиального уравнения. В этом случае разностная схема с разностями против потока имеет вид па+! = Ил ! =! и Такая запись разностной схемы эквивалентна точному решению уравнения (4.2) методом характеристик.
О конечно-разностной схеме, позволяющей получить точное решение исходного уравнения в частных производных, говорят, что она удовлетворяет «условию сдвига» [Кп((ег, Еогпах, 19711. Заметим, что погрешность аппроксимации равна разности точных решений модифицированного и волнового уравнений (при периодических граничных условиях).
Главный член в выражении для погрешности аппроксимации в рассматриваемом случае пропорционален производной и,„, т.е. 112 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений он аналогичен диссипативному вязкому члену в одномерном уравнении движения жидкости. Например, если коэффициент вязкости )а постоянен, то вязкий член в одномерном уравнении Навье — Стокса (см. гл. 5) можно записать в виде д 4 лх( )= З )аи (4.!6) Следовательно, при ч Ф ! схема с разностями против потока неявно вводит в уравнение искусственную вязкость, которую часто называют неявной (схемной) искусственной вязкостью в отличие от явной искусственной вязкости, которая преднамеренно (а! (Ь) (е) Рис. 4.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
