Anderson-et-al-1 (1185923), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Эти два коэффициента вязкости связаны с коэффициентом объемной вязкости к выражением и=в//1а+ р'. (5.13) Обычно коэффициент объемной вязкости полагают пренебрежимо малым, за исключением тех случаев, когда изучается структура ударных волн, а также поглощение и затухание акустических волн. Поэтому в дальнейшем мы будем им пренебрегать.
При и=О второй коэффициент вязкости станет равным н = /зр (5.14) а тензор напряжений можно записать как (5.15) Тензор напряжений разделяют часто на две части: Пц — — — рбц+ тц, (5.16) $ зп. Основные уравнения где т» — тензор вязких напряжений, задаваемый выражением Г/ди дну~ 2 ди 1 тц=р~~ — + — ) — — Ỡ— ~, ю', /, Й=1, 2, 8. (5.17) ~ 1 дх дх ) 3 ~ дх Подставляя (5.15) в (5.10), получаем известное уравнение Навье †Сток ОЧ д Г /ди диуд 2 дни 1 р — =- Р1 — Чр + — ~р ~ — '+ — ~) — — Ь»р — «1. (5.18) ОГ дх ~ 1, дх дх ) 3 » дх« ~ ' В декартовой системе. координат имеем три скалярных уравнения Навье — Стокса: Имея в виду (5.8), эти уравнения можно переписать в дивергентной форме дГ + дх (Р" +Р— т )+ д (Ра" тхи)+ дх (Рам — т *)=Рух~ дрн д д д дГ + дх (Р хи) + др (Р + Р ие) + дх (Р их) Ргиг (5.20) дрв д дГ + д (Р~~ тхх)+ д (Р~~ ~ех)+ д (Р +Р ххх)=РГх д д где компоненты тензора вязких напряжений задаются выраже- ниями 222 Гл.
Э. Основные уравнения механики жидкости и тенлооомен Уравнения Навье — Стокса образуют ту базу, на основе которой была развита полная теория вязких течений. Строго говоря, термин уравнения Навье — Стокса относится к проекциям уравнений движения (5.18) на осн координат. Однако в систему уравнений Навье — Стокса включают еще и уравнения неразрывности и энергии. Течение несжимаемой жидкости с постоянным коэффициентом вязкости 1х описывается упрощенной формой уравнения (5.18), а именно р ~ =р~ — Чр+мЧЧ. гхч 2 (5.21) Необходимо помнить, что уравнение (5.21) получено в предположении постоянной вязкости, которое может оказаться неоправданным для неизотермических течений, когда вязкость сильно зависит от температуры.
С другой стороны, вязкость газов обнаруживает умеренную зависимость от температуры и уравнение (5.21) хорошо описывает течение несжимаемого газа. где Е~ — полная энергия единицы объема, задаваемая выражением ~/3 Ех — — р(е+ — + потенциальная энергия+ ...), (5.28) и е — внутренняя энергия единицы массы. Первый член в левой части уравнения (5.22) есть изменение полной энергии единицы контрольного объема в единицу времени, тогда как второй— изменение полной энергии за счет конвекции через контрольную поверхность (в единицу времени и отнесенная кединнцеобъема). Первый член в правой части уравнения (5.22) есть скорость тепловыделения внешних источников, отнесенная к единице объема, а второй член (7 ц) — тепловые потери за счет теплопроводности через контрольную поверхность в единицу времени (отнесенные к единице объема).
Закон Фурье для переноса энергии за счет теплопроводности гласит, что поток тепла. выражается через градиент температуры следующим образом: ц — — йут, (5,24) бд.а. уравнение' ввергая Применение первого закона термодинамики к жидкости, протекающей через бесконечно малый фиксированный объем, приводит к уравнению энергии такого вида и ~ + 7 ° 'Е,Ч = — — 7 ° ц + р1 ° Ч + Ч ° (Пп ° Ч), (5.22) э 5,1, Основные уравнения С использованием уравнения неразрывности левую часть уравнения (5.22) можно заменить выражением Р п1 (Е11Р) = д1 + Ч Е1Ч, которое тождественно следующему: Р п (Е~(Р) =Р п + Р и (У (2) (5.27) если в качестве основных переменных в (5.23) рассматривать внутреннюю и кинетическую энергии.
Образуя скалярное произведение из векторного уравнения (5.10) и вектора У, получим р п 'Ч р$'Ч Чр Ч+(7 тц) Ч. (5.28) пч Комбинируя (5.26) — (5.28), получим еще одну полезную форму записи уравнения энергии Р п1 + Р(7 ° Ч) = д1 — Ч ° ч+ 7 ° (тц ° Ч) — (7 ° тц) ° Ч. (5.29) Пе дП Последние два члена этого уравнения могут быть объединены в один, так как дн, тц =7'(тц ' Ч) (7 тс1) ' Ч. (5.30) д» где Й вЂ” коэффициент теплопроводности и Т вЂ” температура. Третий член в правой части (5.22) есть отнесенная к единице объема работа массовых сил, совершаемая над контрольным объемом. Четвертый — отнесенная к единичному объему работа поверхностных сил, совершаемая над контрольным объемом.
Очевидно, что уравнение (5.22) есть просто первый закон термодинамики, записанный для контрольного объема, т. е. изменение энергии системы равно подводимому к системе теплу плюс совершаемая над системой работа массовых и поверхностных сил. В декартовой системе координат уравнение (5.22) запишется в дивергентном виде Р(1 +1 +1 )+ дЕс дЯ д' + — (Е,и+ ри — ит„— от,„— сот„а+ д„)+ д + — (Е,о + ро — ит„н — от„„— вт„, + д„) + + д (Ееш+ Рш — ит„, — от„— от + Ч,) = О. (5.25) д 224 Гл.
б. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен Его обычно называют диссипатиеной функцией Ф, которая есть тепловой эквивалент механической мощности, затрачиваемой в процессе деформации жидкости вследствие вязкости. После введения диссипативной функции уравнение (5.29) принимает вид р — +р(У Ч) — — У й+бз. Ре дЯ (5.31) Вводя энтальпию Ь=е+ р/р (5.32) и используя уравнение неразрывности, перепишем (5.31) ввиде р — = — + — — р.п+бу. Рр дЯ Ш Ш дФ (5.33) В декартовой системе координат диссипативная функция, которая всегда положительна, если 1х' = — (2/Зр, задается следующим выражением: Если жидкость несжимаемая и коэффициент тенлопроводности постоянный, то (5.31) сводится к уравнению р — = —, + атухТ+ Ф. Ре дР ° Р$ д~ (5.35) бя.4. Уравнение состояния Для замыкания системы уравнений динамики жидкости необходимо установить связь между термодинамическнми переменными р, р, Т, е, й, а также соотношение между коэффициентами переноса р, а и термодинамическими переменными р, р, Т, е, й.
Для примера рассмотрим течение сжимаемой жидкости без подвода тепла извне в отсутствие массовых сил. Воспользуемся уравнением неразрывности (5.4), тремя уравнениями движения (5.19) и уравнением энергии (5.25). Эти пять скалярных уравнений содержат семь неизвестных р, р, е, Т, и, о, и при условии, что коэффициенты переноса 1х, й можно связать с термодинамическимн величинами из числа неизвестных. Очевидно, что для замыкания системы нам необходимы еще два уравнения. Их можно получить, устанавливая существующие соотношения между термодинамическими переменными.
Соотношения такого рода известны как уравнения состояния. Как известно, локаль- 225 2 5.!. Основные уравнений ное термодинамическое состояние системы определяется любыми двумя независимыми термодинамическими переменными при условии, что химический состав жидкости не меняется из-за диффузии или химических реакций. Так, если в примере за независимые переменные мы примем е и р, то нам потребуются уравнения состояния типа р = р (е, р), Т = Т (е, р). (5.36) Примером уравнения состояния является уравнение совершенного газа р=рЯТ, (5.37) где Я вЂ” газовая постоянная.
Для совершенного газа имеются также следующие соотношения: с уЯ е=с Т, Ь=с Т, у= — Р, с„=, с = —, (538) где с„— ' удельная теплоемкость при постоянном объеме, с,— удельная теплоемкость при постоянном давлении и у = с /с,— отношение удельных теплоемкостей. Для воздуха в обычных условиях Я = 287 мв/сй.К и у =!.4. Если в нашем примере жидкость есть совершенный газ, то соотношения (5,36) примут вид р = (у — 1) ре, Т = У (5.39) Для жидкостей, которые нельзя считать совершенным газом, требуемые соотношения состояния могут быть заданы в виде таблиц, карт или графи!еских зависимостей.
Зависимость коэффициентов вязкости и теплопроводности от термодинамических величин устанавливается при помощи кинетической теории. Формула Сазерленда есть пример такого соотношения Та!2 й С ! ~ + с (5.40) где С1 и Са — постоянные для данного газа. Для воздуха при умеренных ' температурах С, = 1.458 10 в кг/(м с ~/К ) и Св = 1!0.4 К. Для определения коэффициента теплопроводности й по известному !д часто используется число Прандтля: Рг=с р/й.
(5.41) В д. Андерсон н Ар. том 226 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости н теплообмеп Это возможно, так как отношение су/Рг, возникающее в выражении й=(с /Рг) и, (5.42) приблизительно постоянно для большинства газов. Для воздуха при обычных условиях Рг = 0.72. — + — + — + — =О, дн ди дР дб дх ду да (5.43) где векторы х), Е, Г и хз задаются следующим образом: ри Ри'+ Р— т- Рис — тху Ризи — тле (Е, + Р) и — ит,„— от„, — сит, + д, Рис — т,у Ро +Р туу Рсш туе (Ес+ р) о — ит,у — ступ — сстуа+ ду Ри (5.44) Рию — тхв Рош туе РИ'+ р — тва (Е, + р) ш — ит„— стул — свт„+ д, Первая строка векторного уравнения (5.43) соответствует уравнению неразрывности в форме (5.4), вторая, третья и четвертая — уравнению движения (5.20), а пятая — уравнению энергии (5.25). С записанными в такой форме уравнениями Навье— Стокса зачастую легче работать при составлении конечно-раз- ВЛ.З.
Векторная форма записи уравнений Перед составлением конечно-разностных схем часто бывает удобно записать уравнения динамики жидкости в компактной векторной форме. Например, уравнения Навье — Стокса для сжимаемого газа в случае отсутствия массовых сил и подвода тепла извне в декартовых координатах можно записать так: з 5.1. Основные уравнения ностных схем, Другие уравнения динамики жидкости, записан- ные в дивергентной форме, также могут быть представлены в векторной форме.
5.1.а. Беаравмерный вид уравнений я х = —, Ь ' ° 2 г = —. Ь ' и и р ° м Ф й' Т Т' = —, Т р = р Р„ я Е е = —, 2 р Р = Р р ри где безразмерные переменные обозначены звездочкой, параметры невозмущенного потока — значком оо и Ь вЂ” характерная длина, входящая в безразмерный комплекс числа Рей- нольдса р р„г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
