Anderson-et-al-1 (1185923), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Вероятно, что еще до конца нынешнего столетия наиболее развитый подход будет включать в себя решение зависящих от времени уравнений Навье — Стокса для больших вихрей, ответственных за ббльшую часть переноса импульса, и моделирование самых малых вихрей 1субсеточный масштаб). Этот подход называют обычномоделированиемкрупных вихрей. В работе Чепмена [Сйартап, !979) имеются инте- 236 Гл. 5. Основные уравнении механики жидкости н теплообмен ресные соображения о перспективах численного моделирования в задачах аэродинамики. В настоящее время основное направление численных методов расчета турбулентных течений состоит в решении осредненных уравнений Навье — Стокса.
Эти уравнения называют также уравнениями Рейнольдса. При осреднении по времени в уравнениях возникают новые члены, которые можно интерпретировать как градиенты «кажущихся» (добавочных) напряжений и тепловых потоков, связанных с турбулентным движением. Эти новые величины должны быть связаны с характеристиками осредненного течения посредством моделей турбулентности, что приводит к новым гипотезам и аппроксимациям. Таким образом, уравнения Гейнольдса не вытекают полностью из основополагающих принципов, так как для замыкания системы уравнений привлекаются дополнительные гипотезы. Уравнения Гейнольдса получают разложением независимых переменных в уравнениях сохранения на осредненные по времени величины, полученные на соответствующем интервале времени, и пульсационныс компоненты и последующим осреднением по времени всего уравнения. В настоящее время используются два способа осреднения — классическое осреднение по Рейнольдсу и предложенное Фавром (Рачге, 1965] осреднение с использованием плотности в качестве весовой функции.
Для течений, в которых флуктуациями плотности можно пренебречь, оба способа эквивалентны. 5.2.2. Процедуры осредиения В обычной процедуре осреднения, следуя Рейнольдсу, определим осредненную по времени величину Г в виде (5.60) ' Потребуем, чтобы Ж было велико по сравнению с периодом турбулентных пульсаций, но мало по сравнению с постоянной времени для любого медленного изменения поля течения, обусловленного обычной нестационарностью течения. Иногда говорят, что Л~ должно стремиться к бесконечности, но это следует интерпретировать только в сравнении с периодом пульсаций, характерных для турбулентности. В реальных измерениях М должно быть конечно. В процедуре осреднения по Гейнольдсу случайно изменяющиеся величины заменяются на осредненные по времени плюс 4 5.2.
Уравнения Рсйнольдса для турбулентных течений 237 пульсации вокруг этих средних значений (рис. 5.4). Для декартовой системы координат можно записать и=й+й, о=6+ о', та=в+в', р= р+ р', )т =й+ й', Т=т+ у', р=(+р', Н Н+Н где полная энтальпия Н определена как Н = й+ и;и;/2. Пуль- сации таких величин, как вязкость, теплопроводность и удель- ная теплоемкость, обычно малы, и здесь ими будем пренебре- гать. (Ь) Ф (а) Рис. бл.
связь между и, д и и'. (а) стационарное течение; (ь) нестационар- ное течение, По определению осреднение пульсационной составляющей дает нуль: и+ай = — ( )'((— = О. ат 3 н (5.62) Ы = О, '(а = 1а, (+ а = ~+ ц. (5.63) Также ясно, что если )' = О, то осреднение произведения двух флуктуирующих величин дает обычно отличную от нуля величину, т. е. Ц' чь О. И на самом деле среднеквадратичная' величина пульсаций скорости известна как интенсивность турбулентности. При рассмотрении течений сжимаемого газа или смесей газов принято пользоваться процедурой осреднения с весовой функцией (плотностью). При этом осредненные величины Ясно, что при осреднении величин ) и ат имеют место следую- щие соотношения: 233 Гл. 3. Основные уравнения механики жидкости и теплообмеи определяются как г = р~/р, т.
е. ри ро роз " ра - рг - РЫ й==, й= —, ш==, й==, Т==, Й== р ' р р р р р (5.64) Отметим, что так осредняются только компоненты скорости и тепловые переменные. Плотность и давление осредняются прежним образом. Перед подстановкой в уравнения определим новые изменяющиеся величины и=й+и", о=5+о", са=й+ш', (5.65) Ь=Б+й", Т=Т+Т", Н=Й+Н". 3.2.3. Уравнение неразрывности в форме Рейиольдса Начнем с уравнения неразрывности, записанного в декартовой системе координат. Сначала представим все переменные в виде суммы осредненных по времени величин и пульсаций [уравнение (5.61)).
После осреднения по времени всего уравнения с учетом соглашения о суммировании имеем о а о а (5.67) Три члена равны нулю в соответствии с тождеством (5.62). Итак, уравнение неразрывности в форме Гейнольдса при осреднении переменных обычным способом имеет вид лс + л (Рйу + р пу1= О. др д Производя в уравнении (5.4) замену переменных на осредненныс с весами переменные плзос пульсации с двумя штри- (5.68) Заметим, что осреднснные по времени пульсации с двумя штрихами (и", о" и т. д.) в общем случае отличным от нуля, если только р'Ф О. В самом деле, можно показать, что по= — р'и'/р, о" = — р'о'/р и т.
д. Зато среднее по времени от произведения пульсации с двумя штрихами и плотности равно нулю: р~", — = О. (5.66) Это можно легко показать, раскладывая р( =р() +)и) и используя определение 7. й 5.2, Уравнения Рсйнольдса для турбулентных течений 239 хами в соответствии с уравнением (5.65) и осредняя по времени полученное уравнение, получим о о (5.69) Два члена этого уравнения тождественно обращаются в нуль. Кроме этого, два последних члена можно объединить в один, который будет равен нулю в соответствии с равенством (5.66): Это позволяет записать уравнение неразрывности для осредненных с весами переменных в виде ф+ —,' (рй,)=0. (5.70) Эта запись более компактна, чем уравнение (5.68).
В случае несжимаемой жидкости р'=0 и различие между переменными, осредненными обычным способом н с весами, пропадает, тогда дйу(дхт — — О. (5.71) 5.2хн Уравнения двянтеняя в форне Рейнольдса Уравнения движения в форме Рейнольдса получаются наиболее просто, если исходить из уравнений Навье — Стокса, записанных в дивергентной форме (5.20). Заменим в (5.20) зависимые переменные на осредненные по времени значения плюс пульсации в соответствии с (5.61).
Рассмотрим, например, проекцию уравнения (5.20) на направление х, пренебрегая массовыми силами: — г((Р+ р') (й+ и')1+ —,„!(р+ р')(й+ ')(й+ и')+ +(р+р') — ~,)+ ~ ((р+р')(й+й)(5+о') — ~~.)+ + а. М+ р')(й+ и')(,Ь+ ю') —.т.„) =О. Затем все уравнение осредняется, Линейные относительно пульсаций члены при осреднении по времени обращаются в нуль, как и в случае уравнения неразрывности. Таким путем мы избавляемся от нескольких членов, некоторые другие группируются и обращаются в нуль с учетом уравнения неразрывности, 240 Гл. о Осиовныс уравнения механики жидкости и теилооомен В результате проекцию уравнения движения в форме Рейнольд- са иа направление х можно записать д —,, д —,, д д, (Рй+Р'н')+ д (Рйй+йр'н')+ д (Рйо+йр'и')+ + — (рйгв + йр'м~') = = — — + — Рь ( 2 — — — — ) — ир'и' — Ри'и' — Р'и'и1 + дх дх ) (, дх 3 дха) + —,' ~Р ~ — '," + —',", ) — пр' — Р.'~>' — Р ц '1+ +да~~ (дг+ дх) Р Р Р 1' (5.72) Полностью (все три компонснты) уравнения движения в форме Рейнольдсв могут быть записаны как дг (Рй ° +Рн)+ д хРйй/+ЦР Ц) (5.73) где (5.74) Затем уравнение осредняется по времени с использованием тождества (5.66), что приводит к уменьшению количества членов в нем.
Уравнения движения в форме Рейнольдса. для всех трех проекций будут выглядеть так: дс (рРйс)+ дл (рйА) д" + ( П вЂ” РН,"Нм), (5.76) Чтобы получить уравнение движения в форме Рейнольдса для осредненных с плотностью в качестве весовой функции переменных, воспользуемся разложением (5.64) для представления мгновенных значений переменных. Для примера рассмотрим х-проекцию уравнения (5.20): д, [(Р+ р') (й+ им)) + — „((Р+ Р') (й+ нм) (й+ им) ь +(Р+Р) т )+ д е(Р+Р)(й+и )(6+о ) ти )+ + дх НР+ Р')(й+ ам) (Ф+ сам) — т„) = О.
(5.75) й 5.2. Уравнения Рейнольлса для турбулентных течений 241 Пренебрегая пульсациями вязкости, для тп получим (5.77) Вид уравнения движения при осреднении с весами проще, чем при обычном осреднении. Заметим, однако, что, даже если пренебрегать пульсациями вязкости, выражение для то (5.74) проще в случае обычного осреднения (5.77). На практике вязкие члены, включающие помеченные двумя штрихами пульсации, считаются малыми, и ими можно пренебречь при оценке порядков величин. Для несжимаемой жидкости уравнение движения можно записать в более простой форме; дг (Рп;) + дх (РйФ!) дх + дх (Фп — РЦ'и~), (5.78) где тп вычисляется по упрощенной формуле: (5.79) Как и в случае уравнения неразрывности, здесь уже нет различия между способами осреднения переменных (обычное осреднение и осреднение с весовой функцией).
5.2эй Уравнения энергии в форме Рейнольдса Тепловые параметры Н, И, Т связаны друг с другом, и уравнение энергии принимает различный вид в зависимости от того, какой из них считается независимой величиной. Чтобы получить общее выражение, начнем с уравнения энергии в виде (5.22). Членом дЯ/д(, связанным с тепловыделением внешних источников, будем пренебрегать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
