Anderson-et-al-1 (1185923), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Мы ограничимся рассмотрением жидкости с постоянными свойствами только из-за удобства, поскольку собираемся изложить основные принципы, которые часто можно применять для получения упрощенной системы приближенных уравнений для рассматриваемого течения. Уравнения пограничного слоя для сжимаемой жидкостно учетом переменных свойств жидкости будут представлены в п. 5.3.3.
Прежде чем завершить обсуждение вопроса оценки порядков величин для ламинарных течений, следует поднять вопрос о том, какие члены, опущенные в приближении пограничного слоя, становятся доминирующими, по мере того как отношение б/(. растет. Ответ очЕвиден — сначала члены порядка е, затем члсны порядка еа. Заметим, что член со второй производной, которым мы пренебрегали в уравнении движения в продольном направлении, имеет порядок за, тогда как большинство членов уравнения движения в поперечном направлении имеют порядок е. Это означает, что вклад уравнения движения в поперечном направлении 'ожидается более существенным, нежели учет дополнительных членов в уравнении движения в продольном направлении.
Система уравнений, которая получается в результате вится равным е или мсньше, то этими членами следует пре- небречь. Чтобы завершить математическую формулировку задачи, надо указать начальные и граничные условия. Стационарные уравнения пограничного слоя относятся к параболическому типу, когда за маршевое направление принимают направление основного потока. Необходимо задать начальные распределения и и Т. Граничные условия задают следующим образом: и(х, 0)=о(х, 0)=0, Т(х, 0)=Т (х) или Зт ) п(х) аи )и-о 1пп и(х, у)=ма(х), 11т Т(х, у)=Т,(х), а.+ о х+ где нижний индекс е относится к условиям на внешней границе пограничного слоя. Градиент давления в уравнениях (5.105) и (5.106) рассчитывают по известному на внешней границе тече- нию.
Если распределение иа(х) задано, то Ир/Их можно рассчи- тать по уравнению движения для внешнего течения невязкого газа (уравнению Эйлера) ггР дие (х) — „= — ри и'х ' йх 252 Гл, 5. Основные уравнения механики ~килкости и теплообмен сохранения как членов порядка 1, так и членов порядка е, но пренебрежения членами порядка еа и выше, оказалась полезной в вычислительной гидромеханике. Такие стационарные уравнения движения жидкости, в которых пренебрегают всеми членами со второй производной в продольном направлении, известны как параболизованные уравнения Навье — Стокса в случае сверхзвуковых течений и как частично параболизованные в случае дозвуковых течений. Эти два примера относятся к категории уравнений, называемых параболизованными уравнениями Навье — Стокса.
Они занимают промежуточное положение между уравнениями Навье — Стокса и уравнениями пограничного слоя в иерархии уравнений динамики жидкости и будут обсуждаться в гл. 8. Теперь займемся получением приближения пограничного слоя для двумерного турбулентного течения несжимаемой жидкости с постоянными свойствами.
В предположении несжимаемости жидкости (р' = О) уравнения Рейнольдса значительно упрощаются. Обезразмерим уравнения Рейнольдса для несжимаемой жидкости во многом сходным путем, как это мы делали в случае уравнений Навье — Стокса, положив Р'= —, ° д рв ° е ° х и е= —, х= —, у'= —, м Л Е ° Й и = —, в„ е (и')' = —, (а')' =- —, и и (5.108) Т вЂ” Т Т вЂ” Т Н вЂ” Н Нм — Н„' 8' = Т~ — Т„ Отнесенная к скобкам звездочка, ( )', указывает на то, что все величины в скобках безразмерные, т.
е. вместо и"а" будем пользоваться более удобной записью (и'о')'. Как и ранее, предположим, что 6/Е « 1, 6~/Е << 1 и е = = 6/Е = 6,/Е. При установлении порядков величин рейнольдсовых напряжений и тепловых потоков мы исходим из экспериментальных наблюдений, которые свидетельствуют, что рейнольдсовы напряжения могут быть так же велики, как соответствующие величины в ламинарном потоке. Это требует, чтобы (и'о')' е.
Измерения подтверждают, что (и'Я)", (и'в')', (в'Я)' при некотором их различии в величинах и распределении имеют в пограничном слое одинаковый порядок величин. Иными словами, мы не можем сказать, что величина любого из этих членов отличается на множитель 10 или более от величины других членов. Аналогичное замечание может быть сделано в отношении уравнения энергии, что приводит к заключению о том, что $ 3.3. Уравнения пограннчного слоя 233 (О'и')' и (6'и')" имеют порядок величины е. Тройные корреляции, как, например, (и'йй)', считаются малыми по сравнению с двойными и имеют порядок еа (ЗсЬпЬапег, ТсЬеп, 1959]. Целесообразно привести уравнение энергии в приближении пограничного слоя, записанное относительно полной энтальпии (5.89). Заменим Н' по формуле е Ниже выписаны уравнения Рейнольдса, в которых под каждым членом приведена его оценка по порядку величины.
Уравнение неразрывности ди" до' —, + —. = О. дх' ду' ! ! (5.109) Уравнение движения ло оси х * дн', ди' и —,+и —,= дх' ду' е ! /е == — —. + — ( —. + —.) — — „(и'и')' — —. (и")'. (5. ! !0) дх* Ке (, дх'е ду*е,/ ду* дх* Уравнение движения ио оси у , до", до* дх' ду" е е = — — + др" ду' (5.!11) Уравнение энергии е' е/е е'/е е' , дН" и' — „ дх" ! ! ! + Ке е* д ду* ! е' ! !/е' е/е е е' е !/е е ! ду* Тш — Ге 1 дх' ду* е !/е ! е е/е дей деа рг 1, дхэ-+ д .е ) + Ес ~ — д, (ии'и')* — д „(ии'и')" — ' ! пе' ! е е' (ии'и')' — —, (пи'и')' — — —, (и'и'и')" — — — „( и'и'и')'— ду* 2 дх' 2 дх* 254 Гл.
б. Основные уравнения механики жидкости и теплообмеи — — — „(и и о ) — — —. (о о о )')+ — !ь2 — „(и' —.) + 1 д) е,, 1 д,, ~,Ч Бс Г д т,ди'Х 2 ду" 2 ду' ! Йес1 дх* !. дх ) еуе еуе е~ 1 е/е е2 е/е' иее еуе' е е!е е + —,(и' — ) + —. (и' — ) + 2 — „(о' — ) ~. (5.112) е/е е/е* е!е' Мы вновь будем считать, что Рг и Ес близки к единице.
Двумерные уравнения пограничного слоя получают, сохраняя только члены первого порядка. Их можно записать в размерных переменных: Уравнение неразрывности дй де — + — — О. дх ду Уравнение движения дй дй дд дей д ри — + рб — =.— — — + !х — — р — (и.'о'). (5.113) дх ду дх дуе ду Уравнение энергии дН дН дег д е рй — + рд — = А — — рс — (о'Т')— дх ду дуе и ду д —,, д т дйх — р — (йо'и') + !е — ( й — ) . ду ду (.
ду)' (5.114) Следует заметить, что в уравнении движения по оси у остаются члены первого порядка, а именно 1 др д — — = — — (о") р ду = ду Они не включаются в систему уравнений пограничного слоя,так 'как не содержат информацию об осредненных скоростях. Изменение давления поперек пограничного слоя имеет порядок е (малб по сравнению с изменением давления вдоль пограничного слоя). Погранслойное уравнение энергии легко переписать через статическую температуру, заменяя Н в уравнении (5.114) на сяТ+ йа/2. При этом мы пренебрегаем ба по сравнению с й' в выражении для кинетической энергии осредненного дви- 255 $ 5.3.
Уравпвпня пограпп мого слоя жения. Рассмотрение того, как возникает Н в (5.114), показывает, что это допустимо в приближении пограничного слоя. Исключая члены с кинетической энергией при помощи (5.113), перепишем погранслойное уравнение энергии в виде дТ дТ двТ д рйс — + рдс — = А —" — рс — (о'Т') + пдх яду дух яду + й д + (!х д Ро'и') д . (5.115) В некоторых задачах последними двумя членами правой части (5.115) можно пренебречь. Но так поступать неправомерно в случае несжимаемой жидкости. Напримср, последний член в правой части дает вязкую диссипацию энергии, играющую важную роль в задачах смазки, в которых основная проблема состоит в отводе тепла, порождаемого вязкой диссипацией. Иногда можно пренебречь одним или даже обоими последними членами в правой части уравнения (5.!14).
Уравнения (5.114) и (5.115) легко записать в конечно-разностном виде, поэтому дальнейшее их упрощение нецелесообразно, кроме того случая, когда упомянутыми членами этих уравнений действительно можно пренебречь. Для турбулентных 'течений граничные условия сохраняются неизменными. Завершая раздел, посвященный рассмотрению приближения тонкого слоя, следует заметить, что для турбулентных течений наибольший член, опущенный в уравнении движения в продольном направлении, т. е. нормальное рейнольдсово напряжение, имеет порядок больше е, т. е. превосходит наибольший из опущенных членов в случае ламинарного течения.
Заметим также, что только один член с рейнольдсовым напряжением и один член с рейнольдсовым тепловым потоком сохраняются в уравнениях пограничного слоя. В любой задаче, в которой стационарные уравнения тонкого слоя используются для расчета внутренних течений, можно получить расход жидкости через канал. Это позволяет рассчитать градиент давления, тогда как в случае рассмотрения внешних течений его необходимо задавать. Об этом будет еще разговор в гл. 7. 5.3.3. Уравнения погравачпеге слеп даа сжимаемой мадкеоти Упрощение уравнений Рейнольдса при использовании приближения пограничного слоя в случае сжимаемой жидкости является более громоздкой процедурой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
