Anderson-et-al-1 (1185923), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Для тензора рейнольдсовых напряжений общего вида это дает — Рп';и!= рА, ь + о ) зб АРт й' +Ря), (5.129) где рт — коэффициент турбулентной вязкости и й — кинетическая энергия турбулентности, й = и',и',/2. Следуя принятому в п. 5.3.2 соглашению, опускаем черту над средними по времени переменными. По аналогии с кинетической теорией газов можно ожидать, что турбулентную вязкость можно с достаточной точностью представить в виде !ат = рпт1 (5. 130) где ог и ! — характерные масштабы скорости и длины турбулентности соответственно. Проблема состоит в том, как оценить иг и!. Модели турбулентности для замыкания уравнений Рейнольдса могут быть разделены на две большие группы в соответствии с тем, используется или нет гипотеза Буссинеска.
Модели, в которых испзльзуется гипотеза Буссинеска, будем относить к группе 1 и называть их моделями турбулентной вязкости. Большинство моделей, используемых в настоящее время в инженерных расчетах, относятся именно к этой группе. Экспериментальные наблюдения свидетельствуют, что гипотеза турбулентной вязкости пригодна для многих течений.
Существуют, однако, исключения, и нет физического обоснования ее справедливости. Модели, осуществляющие замыкание уравнений Рейнольдса без гипотезы Буссинеска, будем относить к группе П. Она включает в себя модели, называемые моделями рейнольдсовых напряжений илн моделями с уравнениями для напряжений. Другой способ классификации моделей состоит в классификации согласно числу дополнительных дифференциальных уравнений в частных производных, которые необходимо решить для получения параметров модели.
Это число может изменяться от 0 в случае простейших алгебраических моделей до 12 в случае наиболее сложных моделей рейнольдсовых напряжений ]Попа!йзоп, йозепЬацш, 1968]. Иногда говорят о порядке замыкания. Согласно этой терминологии, в модели замыкания первого 4 бен Введение в моделирование турбулентности 26З Для трехмерных сдвиговых слоев формула Прандтля записывается обычно в виде рт Р1[( ) +( )~ (5. 13'1 а) В этой формуле турбулентная вязкость рассматривается как скаляр и дает качественно правильные результаты, особенно для пристенных течений.
Однако имеются экспериментальные доказательства того, что во внешнем слое турбулентную вязкость следует рассматривать как тензор (т. е. величину, зависящую от направления деформации) для обеспечения лучшего согласования с результатами эксперимента. Для течений в углах или других конфигурациях, в которых нет явно выраженного поперечного направления, формула Прандтля должна быть модифицирована (см., например, [Ра1апкаг е1 а1., 1979)). Вычисление 1 в модели длины путем смешения зависит от типа рассматриваемого течения: пограничный слой, струя, след и т.
п. Для пристенных течений (внутренних или внешних) хорошие результаты дает оценка согласно формуле у(1 — — ) (5.132) для внутренней области, расположенной в непосредственной близости от стенки, и формуле 1а = С!б, (5.133) когда рассчитываемая по формуле (5.132) величина 1! впервые превосходит 1о.
Постоянная С! в (5.133) обычно принимается близкой к 0.089, а б — толщина пограничного слоя. В выражении (5.132) я есть постоянная Кармана, обычное значение которой принимается равным 0.41, и А' — демпфирующая константа, равная 26. Выражение в скобках есть демпфирующая функция ван Дриста [чап Рг(ез1, 1956), которая используется для того, чтобы перекинуть мост между полностью развитым пограничным слоем, где 1=ну, и вязким подслоем, где 1-+.О. Параметр у+ определяется в виде е! ! те! Для учета влияния переменных свойств жидкости, градиентов давления, вдува, шероховатости поверхности сделаны многочисленные поправки к экспоненциальной функции.
В работе [СеЬес1, Вш((Ь, 1974[ дано обсуждение модификаций для учета некоторых из этих эффектов. Однако, как ясно из сравнений, опубликованных в литературе материалов, для модели внутреннего слоя [см. (5.132)[ не требуется модификации для точного 264 !'л. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен учета переменных свойств газов при умеренных давлениях на гладких поверхностях. Выражение (5.132) для 1! обусловливает внутреннюю область закона стенки турбулентного течения, а выражение (5.133) для 1о — внешнюю область «следа». На рис. 5.7 показано их + 1 2 5 !О 20 50 100 с00 500 1000 2000 5000 !0000 У + Рис. 5.7, Структура турбулентного пограничного слоя для типичного течения несжимаемой жидкости на гладкой плоской пластине. типичный профиль скорости, Ке 5000; — - — и+ (110.41) 1п у+ + 5.15; — — и+ = у+.
а расположение для типичного распределения скорости в турбулентном пограничном слое несжимаемой жидкости на гладкой непроницаемой пластине в координатах «закона стенки» (у+, и+). Число Рейнольдса Рхее = р,и,О/1х, подсчитано по толщине потеРи импульса, которая определяется в виде.
Безразмерная скорость и+ определяется как и+=и/()т )/р )не. Взаимное расположение внутренней и внешней областей показано на рисунке. В обычных условиях внутренняя область закона стенки включает примерно 20 о/о толщины пограничного $ 5.4. Введение в моделирование турбулентности 265 слоя. Область логарифмического закона является характерной чертой пристенного турбулентного пограничного слоя, хотя закон стенки меняет свой вид в зависимости от чисел Рейнольдса и Маха.
Стоит отметить, что при малых числах Рейнольдса, подсчитанных по толщине потери импульса, т. е. при зарождении турбулентного пограничного слоя, размеры как внутренней, так и внешней областей стремятся к нулю и следует ожидать неприятностей при применении модели турбулентности, использующей выражения (5.132) и (5.133). Трудности возникают от того, что малые 6, имеющие место при зарождении турбулентного пограничного слоя, вызывают переключение на модель внешней части, прежде чем демпфирующий эффект позволит развиться полностью турбулентной области закона стенки. Это приводит к тому, что разностные схемы, использующие эту модель, дают уменьшенные значения для касательного напряжения на стенке.
Это отличие мало для течений несжимаемой жидкости и гораздо больше для сжимаемых жидкостей, причем становится все более заметным при увеличении числа Рейнольдса, так как число Маха растет из-за утолщения вязкого.подслоя вследствие тепловых эффектов ]Р!е!сйег, 1976]. Естественно, на этот эффект влияет интенсивность охлаждения стенки в случае сжимаемых течений. Можно добиться хорошего соответствия результатов расчета с экспериментальными данными при малых числах Рейнольдса путем простого запаздывания переключения с модели внутренней части слоя (5.132) на модель внешней части (5.133) до тех пор, пока у+ > 50. Если при у+= 50 1/6 (0.089, то в модификации нет необходимости. Если, с другой стороны, соотношение (5.132) дает 1/6 ) 0.089, то длина пути смешения становится постоянной во внешней части, рассчитываемой по (5.132) при у+ = 50.
Такая простая модификация дает линейно-логарифмический закон скорости, что согласуется с измерениями. Для внутренней и внешней частей пограничного слоя с успехом используются и другие модели. Некоторые исследователи ]Ра1ап)саг, Бра!6!пд, 1970] в непосредственной близости от стенки пользуются пристенными функциями, применение которых основано на допущении о характере течения Куэтта вблизи стенки.
Этот подход, вероятно, не так хорош для течений жидкости с перемеинымн свойствами, для течений с проницаемыми стенками и другими пристенными эффектами, как подход с использованием функции ван Дриста. Для расчета турбулентной вязкости во внешней части слоя как альтернативу расчету по соотношению (5.133) часто используют другой подход [СеЬес1, Ят!!Ь, 1974]. Клаузер предложил 266 Гл.
6. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен пользоваться формулой !»Г«оо«ес) ««р е!»!' (5.134) где а учитывает эффекты при малых числах Рейнольдса. Це- беци и Смит !СеЬес1, Вш!!Ь, 1974) рекомендуют пользоваться для а следующим выражением: а = 0.0168— 1.66 !+и' (5.135) где и = 0.55[1 — ехр( — 0.243гпа — 0.298г)) и г = Кео/425 — 1. Для !хео, большего 5000, а — 0.0168. Параметр 5» есть толщина вытеснения, определяемая в виде (5.136) Вычисление рейнольдсового теплового потока рс и'Т' обычно производится при помощи алгебраических моделей в виде аналогии Рейнольдса, которая основана на подобии между переносом тепла и импульса. В применении к кажущимся турбулентным тепловым потокам она заключается в том, что постулируется гипотеза Буссинеска дг рс и'Т'= — Й вЂ”.
.г дя ° В турбулентном потоке дополнительный перенос тепла обусловлен турбулентным движением. Экспериментальные данные подтверждают, что отношение турбулентной теплопроводности к турбулентной вязкости, называемое турбулентным числом Прандтля, Ргт = !»тср/мт, является функцией с «хорошим» поведением. Большинство алгебраических моделей турбулейтности хорошо работают, когда турбулентное число Прандтля полагают близкой к единице константой. Обычно считают, что Ргт = 0.9. Данные эксперимента свидетельствут, что для пристенных течений Ргт изменяется от 0.6 — 0.7 во внешней части пограничного слоя до 1.5 вблизи стенки, хотя теоретических обоснований этого не имеется.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
