Anderson-et-al-1 (1185923), страница 46
Текст из файла (страница 46)
По этой причине ниже будут приведены лишь результаты. Подробности можно найти в цитируемых работах [БсЬпЬаиег, ТсЬеп, 1959], !чап Рг!ез1, 1951) 256 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и тенлообмен д + д (~ Ра)+ д ( Рб)=0. др д д м (5.1! 6) Уравнение движения ди ди ди Ыр ! д Г ыг ди —,,~1 р — + ри — + рб — = — — + — — ~г 1 р — — рйо' ц. да дх ду дх тж ду ! (, ду (5.117) и [СеЬес1, .8гп1(Ь, 1974).
Как я для несжимаемой жидкости, оценка порядков величин производится на основе экспериментальных данных. Для сжимаемой жидкости должна быть оценена величина р'/р. Измерения, выполненные в газах при числах Маха около 5, показывают, что для адиабатических течений пульсации температуры происходят почти изобарически. Это означает, что Т'/Т вЂ” — р'/р. Однако имеются свидетельства того, что существуют заметные пульсации давления (порядка 8 — 10$ среднего статического давления на стенке) при М, = 5, и предполагаетси, что р'/р растет с увеличением числа Маха. При отсутствии наблюдений, подтверждающих противное, оценка порядков пульсационных величин основывается обычно на допущении о том, что пульсации давления малы.
Это, видимо, вполнеоправданно для М, (5. Кроме того, были отмечены факты хорошего совпадения экспериментальных наблюдений и расчетов, основанных на этом допущении, даже при числах Маха, равных 7.5. Мы примем гипотезу об изобарическом характере пульсаций. При увеличении числа Маха в первую очередь могут расти корреляционные члены, в которые входят пульсации плотности. Мы обнаружили, что различие между й и й в приближении пограничного слоя пропадает. Это следует из того, что р'и' считается величиной, малой по сравнению с рй, и ею можно пренебречь в уравнении движения.
Мы находим также, что Т= Т и Й= Н, чтобы не противоречить допущениям пограничного слоя. С другой стороны, р'в' и рб — величины одного порядка в тонком сдвиговом слое, поэтому 6Ф6. Ниже неустановившиеся уравнения пограничного слоя для сжимаемой жидкости записаны в виде, пригодном как для двумерных, так и для осесимметричных турбулентных течений. Для удобства будем опускать черту над осредненными по времени величинами и вяедем обозначение 6=(рб+р н')/р.
Эти уравнения справедливы и для ламинарных течений, если в них положить равными нулю члены с пульсациями. Системы координат показаны на рис. 5.6. Уравнение неразрывности й 5.3. Уравнения пограничного слоя 257 Уравнение энергии дН дН дН 1 д /,„Г р дН вЂ”,г р — + ри — + рб — = — —.( г 1 — — — рс о'Т'+ д( дх дх г~ ду \. (Рг ду + ~( — — ') У- "'И) Уравнение состояния р=р(р, У), (5.!18) (5.119) В этих уравнениях показатель степени, равный 1, соответствует осесимметричным течениям (г'" = и), а равный 0 — дву- (а) - -Ф х (с) Рис.
5.6. Система координат для осесимметричнык уравнений тонкого сдвигового слоя, (а) Пограничный слой при внешнем обтекании; (Ь) осесимметричное свободное сдвиговое течение; (с) осесимметричное течение в трубе. мерным течениям (г =1). Другие формы уравнения энергии будут рассмотрены ниже. 9 д. Андерсон н Хр. том ! 288 Гл. З Основные уравнения механики жидкости и теплообмен Уравнения пограничного слоя для сжимаемой жидкости выглядят немного более сложно, чем для несжимаемой. Только один член с рейнольдсовыми напряжениями и один член с рейнольдсовым тепловым потоком фигурируют в уравнении как для сжимаемой жидкости, так и для несжимаемой.
Для ламинарных течений основное отличие заключается в изменениях свойств 1х, й и р, когда в случае сжимаемой жидкости требуется решать 'уравнение энергии. Когда же свойства жидкости считаются постоянными (как это бывает для многих течений несжимаемой жидкости), уравнения движения и энергии не зависят друг от друга, поэтому во многих задачах в решении уравнения энергии просто нет необходимости. Приближение пограничного слоя остается справедливым и для трехмерного течения, возникающего в результате поворота основного потока, если только производные скоростей в одном выделенном направлении велики.
Иными словами, трехмерный пограничный слой есть поток, который остается «тонким» по отношению к одному координатному направлению. Ниже приведены нестационарные уравнения трехмерного пограничного слоя для сжимаемой жидкости в декартовых координатах.
Направление у совпадает,с нормалью к стенке. Уравнение неразрывности Р + дри + дРо + дРсв О. (5.120) дт дх ду дх Уравнение движения по оси х ди ди ди ди др д Г ди — + ри — + рб — + ри — = — — + — р — — ри'о') . д1 дх ду дх дх ду ~ ду (5.121) Уравнение движения по оси а дсв дсе дхе дсв др д С дсе — + ри — + ро — + рсв — = — — + — (1» — — рш'о').
д~ дх ду дх дх ду (, ду (5.122) Уравнение энергии дН дН дН дН д Г Р дН вЂ” + ри — + рб — + рсв — = — 1 — — — Рс и'Т'+ д~ дх ду дх ду 1 Рг ду Р + м( Рг) (и д +ш д ) Рио и Ршо ш 1. (5.123) Для трехмерного течения в приближении пограничного слоя можно выписать следующее выражение для Н: их хвх Н=сРТ+ 2 + 2 й 5.3. Уравнения пограничного слоя 259 Трехмерные уравнения пограничного слоя использовались сначала для задач внешней аэродинамики, в которых члены с градиентами давления находились из решения уравнений невязкого течения (уравнений Эйлера). Трехмерные внутренние течения обычно рассчитываются по несколько иным уравнениям, которые будут обсуждаться в гл.
8. При расчетах пограничного слоя на крыльях или других конфигурациях, представляющих практический интерес, обычно используются связанные с телом криволинейные координаты. Часто эти координаты неортогональные. Пример этого можно найти в книге Цебеци и др. [СеЬес1 е1 а1., 1977[. Однако применение ортогональных координат более распространено (см,, например, [В!о((пег, Е1Из, 1973]). Одна из координат, хг, обычно направлена почти по нормали к стенке. Этого соглашения мы и будем придерживаться.
Ниже выпишем уравнения трехмерного пограничного слоя в криволинейных ортогональных координатах, описанных в п. 5.1.7. Обычно х, есть направление основного потока, а х, — поперечное к нему направление. Метрические коэффициенты Ьь Ь,, Ь, определены так же как в п. 5.1.7; однако Ьг в приближении пограничного слоя принимается равным сдинице. Кроме них мы будем использовать геодезические кривизны лив ний координатных поверхностей (5.124) д, (Рйвив) + д (Ьвйврйг) + дх, (рйвиа) = О. (5.125) д д д Уравнение движения по оси хв р — — +рй — +р — — + ри и К вЂ” ри К = ив див див ив див г Ьв дхв г дхв Ьв дхв В в ' в (5.126) Уравнение движения ао оси хв р — — +рй — +р — — +ри и К вЂ” ри К = ив див див ив див г Ьв дхв г дхв Ьв дхв в а в 1 др д / див = — — — + — г гв — — ригй ).
Ьв дхв дхв ~ дхв в г)' (5.127) 9в В этих обозначениях уравнения турбулентного пограничного слоя сжимаемой жидкости можно записать следующим образом.' Уравнение неразрывности 260 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен Уравнение энергии о~ дН дН иа дН д Г м дН р — ' — + рйа — + р — ' — = — ~ — — — рс и,'Т'+ Ь! дх~ а дха йа дха дха 1 Рг дха а + 1х(1 — Р ) (и,— '+ иа — ') — ри,и,'и', — риаииа1.
(5.128) Как всегда, для замыкания системы уравнений в нее необходимо включить уравнение состояния р =р(р, Т). Приведенные выше уравнения остаются справедливыми и для ламинарного течения, если пульсационные величины положить равными нулю. $5.4. Введение в моделирование турбулентности 5ЛЛ. Некоторые обване соображения О насущной необходимости моделирования турбулентности уже шла речь в $5.2.
Чтобы рассчитать турбулентные течения путем решения уравнений Рейнольдса, необходимо принять гипотезу замыкания для кажущихся турбулентных напряжений и тепловых потоков. Все существующие модели турбулентности имеют недостатки. Окончательная модель турбулентности еще не создана. Некоторые авторы философски рассуждают, что уравнения Навье — Стокса — это система уравнений для описания турбулентных течений, являющаяся одновременно и точной, и общей, поэтому надеяться на то, что нам удастся получить при помощи моделирования турбулентности некую альтернативную систему с сохранением прежней точности и общности, но проще решаемую, было бы чересчур оптимистично. Если принять эту точку зрения, то наши ожидания умерятся и от поисков окончательного решения этой проблемы мы перейдем к поиску моделей, которые имеют приемлемую точность в ограниченном диапазоне условий течения. Важно помнить, что модели турбулентности должны проверяться сравнением расчетов, выполненных на их основе, с экспериментальными данными.
Следует быть особенно внимательным при интерпретации расчетов, когда модель используется вне диапазона условий,'в которых она была проверена сравнением с данными эксперимента. Цель данного раздела — введение в общепринятые методики моделирования турбулентности. При этом мы не имеем намерения дать подробные описания этих моделей, что невозможно без ознакомления с оригинальными работами, а хотим выявить рациональную сторону выбора стратегии моделирования. Простейшие модели будут описаны достаточно подробно, чтобы читатель сам был в состоянии сформулировать основную модель, пригодную для простейших тонких сдвиговых слоев. 6 5.4.
Введение в моделирование турбулентности 261 5.4.2. Терминологов моделирования Более чем 100 лет тому назад Буссинеск ]Воза!пезс(, 1877] выдвинул предположение, что кажущиеся турбулентные сдвиговые напряжения могли бы быть связаны со скоростью средней деформации через кажущуюся (эффектнвную) скалярную турбулентную (или «вихревую») вязкость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
