Anderson-et-al-1 (1185923), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Полагая, что полная энергия состоит из внутренней и кинетической энергий, и заменяя Е~ на РН вЂ” р, можно переписать (5.22) с учетом суммирования по повторяющимся индексам: д11 +дх (1 1 +т1 'и) д1' др (5.80) Чтобы получить уравнение Рейнольдса для энергии при обычном осреднении величин, заменим мгновенные значения величин 242 Гл. 5. Основные уравнении мехвннкн жидкости и тснлообмен в уравнении (5.80) на суммы (5.61). После осреднения по вре- мени имеем д, (РН+ р'Н')+ — (Рй,Н+ Ри,'.Н'+ Р'и,'Й+ р'и,Н'+ — дт к + й~р'Н' — Й вЂ” ) = дхт ) др д ( У 2 дйй'т / дйу дй~ 'т = — + — (й,( — — Мби — )+ Рй,( — + — )— дт дху 1. Х.
3 ' дхд) (,дх~ для) е е 2,, днн /, диу, дн~ т — — 1»б и' — + р ( й — + и' — ) ~ . 3 П ~д»Х ~ а д»С ад»у) (5.81) Часто желательно иметь в уравнении энергии в качестве независимой величины статическую температуру. Положим й = =с„Т и запишем уравнение (5.33) в дивергентной форме — (рс Т)+ — (рс итТ вЂ” й — ) = — +ит — + Ф. (5.82) д д дТ т др др дт Р дх! 'к дх~ ) д1 дх~ Диссипативную функцию Ф можно выразить через компоненты скоростей: Ф = ти дх.
= 1» ~ з (х дх ) + 2 (т д + дх ) ~. (5.83) дт (с РТ+ с Р'Т')+ дх (Рс Тйт) = дт +й~ д +и~ д + + д (й д — Рс Т'и',— с Р'Т'и~)+Ф, (5.84) где т дн дй~, дн~ Ф= т — =т — '+ т' —. И дхт и дху ° и д»1 ' (5.85) В уравнении (5.85) то следует рассчитывать по формуле (5.74). Чтобы получить уравнение энергии в форме Рейнольдса при осреднении с весами, заменим переменные в уравнении (5.80) разложением (5.64), а затем произведем осредненне по времени. Переменные в уравнении (5.82) представляются в виде суммы (5.61)' и получаемое уравнение осрсдняется, С учетом обраще- ния в нуль некоторых членов уравнение энергии в форме Рей- нольдса принимает вид $ 5,2.
Уравнения Рейнольдса для турбулентных течений 243 где — ди, дй ди! Ф= т — (=т — (+т"— '! дх! '( дх( Ц дх! (5.88) В нссжимасмой жидкостц уравнение энергии для полной энтальпии имеет вид — + — ~ри.Й+ ри'Н' — (г — х( = дрН д ! — —,, дТ л д! дх( 'л ! ( дх(х ! ! др д ( Г дй( ди! 'л (', ди(, ди! л д( дх( 1 ((,дх; дх(,( ~ ! дх! ! дх(( и для статической температуры — внд д( 'Рс Т) + д (Рс„ТЙ!) = д( + Й( д + и( д + + дх. (и д РсвТи!) + Ф, (5.90) где диссипативная функция Ф упрощается вследствие обраще- ния в нуль члена, явлгющсгося объел(ныл! расширением жид- кости, в выражении для тц. 5.2.6.
Замечания а уравнениям Рейнольдса На первый взгляд уравнения Рейнольдса выглядят довольно сложно, и мы вправе задаться вопросом, продвинулись ли мы вперед по пути решения практических задач расчета турбулентных течений. Главная трудность в задачах механики жидкости состоит в том, что мы имеем большее число уравнений, чем можно решить.
К счастью, для многих практически важных течений уравнения Рейнольдса можно упростить. Прежде чем заняться Результат можно записать как д( (РЙ) + д (Ой(Й + РЦ" Н" — Й дх ) = — Р+ — (Й,т„+ й~т((), (5.86) где т„задается формулой (5.77). Уравнение ' ейнольдса (5.86) можно переписать для статической температуры — (Рс Т) + — (Рс ТЙ.) =- — + Й вЂ” + и д;„л д -, др др „др д! р дх( р !' д( ( дх( ( дх( + — (й — + й — — с РТ"и") + Ф, (5.87) 244 Гл. 5.
Основные уравнении механики жидкости и теплообмен упрощением, продолжим дальнейшее рассмотрение уравнений Рейнольдса. Обратимся к рассмотрению турбулентного течения несжимаемой жидкости и дадим интерпретацию членов уравнения движения в форме Рейнольдса (5.78). Это уравнение описывает осредненное по времени течение жидкости и наряду с обычными членами, описывающими перенос импульса и ламинарноподобные напряжения, имеет ряд новых членов с пульсациями величин, которые и представляют кажущиеся турбулентные напряжения. Эти кажущиеся турбулентные напряжения возникают в уравнениях Навье — Стокса в членах, которые дают перенос импульса.
Другими словами, уравнение осредненного движения связывает ускорение жидкой частицы с градиентами напряжений. Так как известно выражение для ускорения частицы в осредненном движении, то все новое в этом уравнении должно возникать в градиентах напряжений, обусловленных турбулентным движением.
Чтобы показать это, воспользуемся уравнением неразрывности для преобразования уравнения (5.78) к виду Ойа др д (тау)~ааа д (тм)мав Вт дх; + дх( дх~ (5.91) где член слева описывает ускорение частицы в осредненном движении, первый справа — средний градиент давления, второй — ламинарноподобные градиенты напряжений для осредненного движения, третий — градиенты кажущихся напряжений, обусловленные переносом импульса турбулентными пульсациями; (тп)м то же, что и в:уравнении (5.79), и имеет в переменных осредневных скоростей тот же вид, что и тензор напряжений для ламинарного течения несжимаемой жидкости.
Кажущиеся турбулентные напряжения можно записать как (т,,)„,„= — ри~и'. (5.92) Часто их называют напряжениями Реймольдса. Для турбулентного течения сжимаемой жидкости согласование членов, соответствующих ускорению осредненного движения, с кажущимися напряжениями превращается в трудную задачу. При использовании обычной процедуры осреднения наличие членов, подобных р'и,', может давать поток через поверхность, образованную линиями тока осредненного течения, что не позволяет отнести члены уравнения к той или иной категории. Осреднение с <весами» обращает в нуль члены р'и', и дает компактное выражение для ускорения частицы, но затрудняет разделение. напряжений на чисто ламинарные и кажущиеся турбулентные. $ 5.2, Уравнення Рейнольдса дла турбулентных теченнй 246 При обычном осреднении пульсационные компоненты йп пропадают.
Этого не происходит при осреднении, «взвешенном» по плотности. Чтобы показать это, преобразуем (5.76) с использованием уравнения неразрывности к виду с полной производной в левой части и указанием происхождения членов уравнения: — + " + '"' (5.93а) И дх; дх~ дху (5.94а) где интерпретацию членов слева и первого и второго справа см. в тексте за уравнсннсм (5.91), а третий член справа описывает градиенты кажущихся напряжений, обусловленные турбулентными пульсациями и деформациями вследствие этих пульсаций. Уравнение (5.93а) полностью идентично уравнению (5.91) с той лишь разницей, что вместо и; в нем фигурирует йь Если предположить, что (тм)„имеет тот же вид, что и для ламннарного течения, то вторая половина выражения для тп в (5.77) должна быть отнссена к турбулентному переносу, что в результате дает ы Ф л — Ге да~ да~ 1 2 диа 1 (т ) = — ри".и" + 14 ~ ~ — + — ! — — б — ~.
(5.93с) П ЫеЬ ю ! ~.~для дХ~ / 3 П дХа Л Как и прежде, при выводе (5.93а) мы пренебрегали пульсациями вязкости. Второй член в выражении для (Тп)ы,ь, связанный с молекулярной вязкостью, обычно полагают малым по сравнению с членом — ри,"и,".. Подобный анализ мы можем выполнить для уравнения энергии в форме Рейнольдса и идентифицировать некоторые члены, куда входят пульсации температуры или энтальпии как кажущиеся тепловые потоки. Например, в уравнении (5.84) молекулярный ламинарноподобный тепловой поток есть — (р и) = — '(» — дТ) и кажущийся турбулентный тепловой поток есть — (у п),„„ь = — ( — рс Т'и' — с р'Т'и') (5.94Ь) Другие примеры рейнольдсовых напряжений и тепловых потоков будут приведены в разделах, в которых будут.
рассмотрены более простые формы уравнений Рейнольдса. Уравнения Рейнольдса не могут быть решены в том виде, в каком они приведены выше,так как кажущиеся турбулентные 246 Га. 6. Основные уравненнв мекаанкн жидкости н тспаообмен напряжения и тепловые потоки следует считать новыми неизвестными. Необходимо установить дополнительные уравнения для этих новых неизвестных или принять какие-то допущения о связи между кажущимися турбулентными величинами и параметрами осредненного потока. Эта процедура известна как задача замыкания, которая будет рассматриваться в моделях турбулентности, обсуждаемых в ~ 5.4. я 5.3.
Уравнения пограничного слоя 6.3Л. Некоторые предварительные соображения Понятие пограничного слоя ввел в 1904 г. Людвиг Прандтль 4Ргапй11, 1926]. Он исходил из экспериментального наблюдения, что в достаточно большом диапазоне чисел Рейнольдса вблизи твердой стенки имеется тонкий слой, в котором вязкие эффекты столь же существенны, как и инерционные, какой бы малой ни была вязкость. Прандтль пришел к выводу, что можно использовать упрощенные уравнения при соблюдении двух условий: вязкий слой размером 5 должен быть тонким по сравнению с характерным размером Л тела вдоль по потоку (б/Ь « 1) и главный вязкий член должен иметь тот же порядок величины, что и любой из инерционных членов.
Он воспользовался оценкой по порядку величины для уменьшения числа основных уравнений. Главные выводы заключаются в том, что вторыми производными скоростей в продольном направлении можно пренебречь по сравнению с соответствующими производными в поперечном направлении и можно вообще не рассматривать уравнение движения в поперечном направлении. Аналогичное упрощение может быть произведено и для других течений, в которых можно выделить преимущественное направление. Это — струи, следы, слои смешения, развивающиеся течения в трубах и других каналах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
