Anderson-et-al-1 (1185923), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Этот подход обсуждается Лаундером и Сполдингом [Еаипбег, Бра!д!пд, 1974). Одной из наиболее употребительных моделей с двумя уравнениями является (й — е)-модель, впервые предложенная Харлоу и Накаямой [Наг!ото, На!тауаша, 1968[. В своем описании этой модели следуем работам [)опез, 1аипбег, 1972[ и [Еаппдег, Яра!б(пд, 1974). Параметр в есть скорость диссипации турбулентности; предполагается, что он связан с другими модельными параметрами формулой е = С(й)втв/1„где 1,— масштаб диссипации и С вЂ” постоянная.
Тогда турбулентная вязкость выражается через в следующим образом: с р(й)' (5.149) Накоплен большой опыт работы с этой моделью, в основном для течений, в которых свойства жидкости изменялись мало, 270 Гл. б. Осиоиные уравнения механики жидкости и теплообмен Те, кто собирается пользоваться этой моделью, должны прежде всего тщательно изучить литературу по этому вопросу. В нашем же описании модели с двумя уравнениями речь пойдет об основных идеях, лежащих в ее основе, что необходимо для работы с ней. Турбулентная вязкость рассчитывается по формуле (5.149).
Для кинетической энергии турбулентности используется уравнение в форме (5.147), в котором последний член интерпретируется как плотность, умноженная на скорость диссипации ре. Чтобы замкнуть систему, добавляется параболическое уравнение переноса для е (здесь оно записано для несжимаемой жидкости): гта д [' рг да '] стига (ди '] сара 2 2 р — = — [ — — 1+ =1 — 1 — =. (5.150) 771 09 1,рт 097 й ~адг й Члены в правой части уравнения (5.150) (слева направо) можно интерпретировать как дуффузию, скорость генерации и диссипацин а.
Типичные значения констант модели приведены в табл. 5.4. Таблица 0.4. Кристанты для (Д вЂ” е)-модели С С С Рт Рг Рг 0.09 1.44 1.92 1.0 1.3 0.9 Было предложено много других моделей с двумя уравнениями, из них часто используются модели Нга — Сполдинга [Ь!д, Бра!б!пп, 1972] и Уилкокса — Трейси ["тЧ!!сох, Тгас1, 1976], причем последняя является модификацией более ранней модели Сэффмена — Уилкокса [БаЛшап, Ж!!сох, 1974]. Рубезин [КпЬез!и, 1977] составил сводку основных различий между моде. лями, а Чэмберз и Уилкокс [СЬагпЬегз, %!!сох, 1976] провели более подробное сравнение моделей.
Всюду в них используется модельная форма уравнения для кинетической энергии турбулентности, но представление в них диффузионного члена различно. Но самое удивительное различие состоит в выборе зависимой переменной для второго модельного уравнения переноса, согласно которому определяется масштаб длины. Рубезин [КпЬез!п, 1977] сравнил нес1солько моделей для несжимаемой жидкости, и все они работают достаточно хорошо; трудно даже выделить лучшую из них. $ 5.4. Введение в иоделирование турбулентности Приведенное выше уравнение переноса для в непригодно вблизи стенки, т. е.
внутри вязкого подслоя. Ситуация обстоит точно так же, как и в случае уравнения для кинетической энергии турбулентности (5.147). Граничное условие для е на внутренней границе может быть поставлено в той же самой точке у„ что и для 4т (см. (5.148)). Считают, что в этой точке справедлива гипотеза длины пути смешения Прандтля и С йзп г ~й(„)]зЛ ну Величина й(у,) может быть найдена из выражения (5.148).
В большинстве практических приложений (й — в)-модели для изучения пристенной области используются функции стенки (см. [1аипбег, Бра!б)пп, 1974). В качестве альтернативы в уравнения (й — е)-модели вводятся дополнительные члены, чтобы распространить область применимости модели на вязкий подслой [)опез, Еаипс(ег, 1972; %о!Ые(п, 1969] и др. В связи с этим вязкий подслой часто называют областью малых турбулентных чисел Рейнольдса [(й) пЧ,Я. Такой способ моделирования является решающим для сложных турбулентных течений, как, например, для течений с зонами отрыва или сильными изменениями свойств жидкости. Недостаточная точность расчетов в случае сложных турбулентных течений во внутренней части слоя, по-видимому, ограннчивает в настоящее время применимость (Й вЂ” в)-модели (и почти всех других моделей).
Были предложены модификации (й — и)-модели для учета эффектов плавучести и кривизны линий тока в турбулентном течении. Общепринятый способ замыкания для членов с рейнольдсовыми тепловыми потоками при помощи (й — и)-модели использует ту же самую формулировку турбулентного числа Прандтля, которая применялась в алгебраических моделях (5.137) . Несмотря на энтузиазм, который возникал время от времени в отношении моделей с двумя уравнениями, стоит, наверное, еще раз упомянуть два основных недостатка этого типа моделей.
Первый заключается в том, что обсужденные здесь модели с двумя уравнениями являются моделями турбулентной вязкости, основанными на гипотезе Буссинеска (5.129). Только в них 1зт есть функция более сложного вида, тогда как в алгебраической модели 1зт †локальн функция. Если гипотеза Бус. синеока оказывается несправедливой, то даже применение моделей с двумя уравнениями обречено на неудачу. Несомненно, однако, что для инженерных расчетов многих течений гипотеза Буссинеска соответствует реальности с достаточной точностью.
278 Гл. б. Основные уравнения механики жидкости н теплообмен Второй недостаток заключается в необходимости' моделирования разных членов модельных уравнений переноса, особенно членов с тройными корреляциями. Впрочем, этот недостаток присущ всем моделям замыкания более высокого порядка. Эти модели ие обладают никакими чудесными свойствами, они только являются отражением большого проникновения в суть дела и интуиции специалистов, нх предложивших. Будем, однако, оптимистами: эти модели могут быть усовершенствованы за счет более изощренного моделирования входящих в уравнения членов. 5.4.7. Модели рейиольдсовых напряжений Модели рейнольдсовых напряжений мы относим к группе моделей 11 (иногда их называют моделями с уравмением для напряжекий), в которых не предполагают, что турбулентные напряжения пропорциональны средней скорости деформации. Например, в случае несжимаемой жидкости это означает, что — / ди до 1 Рп о чь Рт ~ др + дх ! В настоящее время эти модели широко используются скорее как инструмент или предмет в исследованиях турбулентности, нежели как средство решения инженерных задач.
Для рейнольд- совых напряжений могут быть получены точные уравнения (за- дача 5.17). Естественно, в этих уравнениях, имеются члены, ко- торые необходимо моделировать; причем следует помнить, что для турбулентных течений можно вывести уравнение для лю- бой величины, но ни одно из них нельзя решить точно. Такое моделирование, начало которому положили пионерские работы Ротты [Ко[1а, 1951), требует по меньшей мере трех уравнений, а для течений, в коТорых нормальные напряжения велики, даже пяти. В одной из последних моделей рейнольдсовых напряжений [1)а!у, Наг1очг, 1970) вводится скорость диссипации а и решают- ся пять уравнений: Ро'и' Ри'а 2.
р — = ..., Рт Ро'а 3. р— Рт Рта'а 4.р — =..., И Ра 5.р — =... РГ 279 $5.5. Уравнении Эйлера помимо решения обычных уравнений сохранения массы, импульса и энергии. Моделирование членов в правых частях приведенных уравнений требует многочисленных предположений. Упомянем некоторые модели рейнольдсовых напряжений 1Нап)аИс, 1аппдег, 1972; Ра!у, Наг!оъч, 1970; Попа!бзоп, 1972), получившие наибольшее распространение к настоящему времени.
В работе Лаундера [1.аипбег, 1979] описано состояние дел и перспективы проблемы замыкания для моделей рейнольдсовых напряжений. В моделях рейнольдсовых напряжений отсутствует ограничение, накладываемое принятием гипотезы Буссинеска о связи турбулентных напряжений со средней скоростью деформации, зато они содержат наибольшее количество уравнений и констант. Поэтому, по-видимому, эти модели имеют больше шансов стать «окончательными» моделями турбулентности, если будет достигнут успех в решении осреднеиных по времени уравнений Навье — Стокса. Тем не менее в этих моделях все еще необходимо делать допущения при моделировании входящих в состав уравнений членов, которые в настоящее время никак нельзя измерить.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
