Очерки по истории математики в России. Гнеденко (1946) (1185898), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Оказалось, что законы движения тел могут быть записаны в виде дифференциальных уравнений, т. е. соотношений, связыва<ощнх искомые функции и их производные. Механика, физика н другие науки предъявляли огромные требования к математике в отношении разыскания прижимов интегрирования дифференциальных уравнений, т. е.
определения функций, удовлетворяющих этим уравнениям. Эйлер, как сын своего века, не мог стоять в стороне от этой основной задачи математики и сделал очень многое для развития теории дифференциальных уравнений. Приемы и методы решения уравнений, предложенные Эйлером, до сих пор излагаются во всех учебниках математического анализа. Я укажу еще только на одно достижение в области анализа, именно — на фактическое создание им так назы- 80 нарчнля вдвотл в россии в хтп> и х>х гдклх ваемого вариационного исчисления. Постара>ось в нескольких словах охарактеризовать те задачи, которые стоят и решаются в этой науке. Предположим, что некоторая величина изменяется в зависимости от выбора функции, или, как часто говорят иначе, является функцией от линии.
Так, например, время, затраченное на гередви кение мем<ду двумя точками, является функцией от выбора пути, или же площадь, заключенная внутри замкнутой плоской линии данной длины, зависит от выбора атой линии. Мы не увеличиваем числа иллюстрирующих примеров, так как читатель сам без труда может придумать нх. Вопрос, который заинтересовал математиков, состоял в том, чтобы определить, при каком выборе функции (линии) величины такого рода достигают своего наибольшего или наименьшего значения. Так, скажем, во втором приведенном нами примере спрашивается: какая линия данной длины ограничивает наибольшую площадь? *). Первая задача указанного рода была поставлена швейцарским математиком Иоганном Бернулли и решена одновременно тремя математиками того времени: Ньютоном, Яковом Бернулли и Лопиталем.
Это — так называемая задача о брахистохроне; вот как она ставится: среди всех кривых, соединяющих две данные точки А и В, найти ту, по которой тяжелая точка, двигаясь из точки А под действием силы тяжести с начальной скоростью, равной нулю, попадает в В в кратчайший срок. Решение дается особой кривой— циклоидой, являющейся следом какой-либо точки окружности круга, катящегося по прямой линии. Эйлер уловил всю важность и интерес такого рода задач и, создав общий метод их решения, собственно, создал нову>о науку — вариационное исчисление. Мы не будем останавливаться на других весьма важных исследованиях Эйлера в области математического анализа, а перейдем к другой области математики, в которой он много работал и добился серьезных успехов,— к теории чисел.
Работы в области теории чисел. Интерес к задачам теории чисел был пробуя<ден у Эйлера его общением с одним *) В Дополнении 2 мы приводим элементарное решение этой эадачи, правда, не име>ощее отношения к общим методам Эйлера. вйлвР 81 из первых русских академиков — Христианом Гольд- бахом. Переписка между этими учеными, посвященная вопросам интересующей их науки, продолжалась досмерти Гольдбаха.
Две задачи, сформулированные в одном из писем Гольдбаха к Эйлеру, приобрели особенную известность; о ннх мы будем иметь повод сказать впоследствии. Научная продукция Эйлера по теории чисел чрезвычайно велика: известно свыше 100 его работ, посвященных различным ее задачам. Значение этих работ не исчерпывается только тем, что в них были даны решения изолированных задач; они важны и тем, что в них были разработаны методы, использование которых помогло и помогает в исследованиях другим ученым.
Приступающий к изучению теории чисел на первых >ке порах знакомится с понятиями, введбннымн Эйлером, и с доказанными им теоремами. Мы приведем только два результата Эйлера по теории чисел. Первый интересен своей простотой и доступностью гонимання и проверки для каждого, кто знаком с арифметикой, второй — своими глубокими научными последствиями. Вопрос о расположении простых чисел среди всех натуральных (т. е. целых положительных чисел) с давних врембн волновал математиков; в частности, в ХЧ!!в ХН11 веках ученые пытались найти формулы, которые давали бы исключительно простые числа.
Эйлер дал большое количество формул в виде многочленов, значения которых представляют целые числа при подстановке в пнх довольно большого числа первых целых чисел. Так, например, многочлены 2х'+29, х*+х+41, х' — 79х-1-!' 01 дают: пеовый 29, второй 41 и третий 80 простых чисел при подстановке в них вместо х в первый — чисел О, 1, 2 ..., 28; во второй — чисел О, 1, 2,..., 40; в третий — чисел О, 1,2,...,79. В то же время Эйлер доказал, что ни один многочлен относительно х с целыми коэффициентами а,х" + а,х" '+... + а„ не может для всех без исключения целых значений х при- нимать значения, равные простым числам.
82 ИАучнАя РАБОТА Б России В хчи! и х!х БИНАХ В качестве второго результата прнведйм знаменитое числовое тождество, найденное Эйлером. Пусть з — какое- нибудь число, большее 1,. 2, 3, 5,... — последовательность всех простых чисел; тогда бесконечное произведение равно единице, деланной на бесконечну!о сумму 1 1 1 з1 3' 4' распространенную на все целые положительные числа. Неьтрогость доказательств.
Масса свежих и важных идей, методов, фактов находится в научном наследстве Эйлера. Еще многие годы изучение его трудов будет вызывать полезные ассоциации, наводить на интересные мысли исследователей. Нам нужно отметить еще другое обстоятельство, свойственное произведениям Эйлера,— недостаточную строгость, с точки зрения современной математики, его рассуждений. По атому поводу нам следует, однако, сказать, что неясное и, если угодно, таинственное представление о природе бесконечно малых является уделом почти всех математиков ХЧ!11 века.
Новый метод давал блестящие результаты как в самой математике, так и в своих приложениях к исследованиям явлений природы н техники; жизнь требовала новых фактов — метод их давал. Логическая природа вопроса, конечно, интересовала как математиков, так и философов, и последние обвиняли первых в их абсолютной нестрогости. Но нельзя было требовать с первых же шагов новой науки ее безупречной логической чистоты.
Обоснования науки н очищение понятий от ненужного, путаного и неясного возникают не на первой стадии еб развития, а после, когда она уже приобретет достаточно большой запас фактов, когда ее дальнейшее развитие начинает тормозиться неопределенностью понятий. Приходится поражаться той интуиции, с которой схватывались верные положительные результаты в науке, несмотря на тот непрочный фундамент, на котором зта наука строилась.
Источники творчества. Практика, безусловно, толкала Эйлера на многие исследования, и ей он обязан тем, что ОРГАнизвция униввеситвтов он начал создавать механику сплошной среды, что он получил существеннейшие результаты и в механике точки, и в механике системы точек, и в механике твердого тела. Требованием практики в широком смысле слова объясняется и то, что он занялся вариационными задачами и создал вариационное исчисление как науку; этим же объясняется его работа в области интегрирования дифференциальных уравнений и пр. й 7 ОРГАНИЗАЦИЯ УНИВЕРСИТЕТОВ Академия наук после Эйлера.
Со смертью Эйлера Академия наук в области математики надолго потеряла свое научное значение. После себя Эйлер не оставил ни одного ученика, способного заменить его хотя бы в малой степени. Восемь его учеников †Голов, Иноходцев, Крафт, .Вексель, Котельников, Румовский, Н. Фусс, А. Эйлер— все ставшие впоследствии академиками, были учеными далеко не первой величины. Некоторое время они еще продолжали научные исследования, выражавшиеся, главным образом, в доделке мелочей, оставшихся незавершенными от их великого предшественника, но постепенно и такие работы сошли на-нет.
Основная их деятельность проходила в области преподавания; и здесь их заслуги весьма велики. Написанные ими учебники долгое время пользовались успехом; по ним знакомились с наукой наши гениальные математики, да и до сих пор эти учебники не потеряли своей свежести. Одного этого достаточно для того, чтобы мы с благодарностью вспомнили имена их авторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
