Очерки по истории математики в России. Гнеденко (1946) (1185898), страница 17
Текст из файла (страница 17)
3. Изл>обой точки, как центра, можно описать окружность любым радиусом. 4, Все пря>иые углы равны. н и еолАЙ ВВАнОьич лОБАчеВский 89 5. Если в данной плоскости находятся прямая и точка, не лежащая на этой прямой, то через данную точку можно провести единственную прямую, не пересекающую данной прямой (т. е. параллельную прямую). Повидимому, психологические причины, состоящие в том, что все аксиомы и постулаты, кроме пятого, имеют дело с конечнымн объектами, а пятый один — со всей бесконечной прямой, вызывали непрерывные попытки доказательства пятого постулата из предыдущих аксиом и постулатов в качестве следствия.
Эти попытки продолжались в течение более двух тысяч лет. Крупнейшие учбные всех народов потратили на это много сил, изобретательности н труда; многие отдали этому увлечению всю свою жизнь, но безрезультатно. Во всех предложенных доказательствах оказывались логические дефекты, сводившие нанет хитроумные построения. Врожденность идеи пространства по Канту. Ученые были уверены в логической необходимости пятого постулата, были уверены, что возможна только одна геометрия— геометрия Эвклида. Возмом<ность совместного существования иной, столь же логически безупречной геометрической системы, в которой с такой л:е неизбежностью одни предложения вытекали бы из предычущих, а эти последние из им предшествующих, не приходила даже в голову.
Все мысли были сосредоточены на доказательстве пятого постулата. Эта уверенность в единственности геометрии Эвклида нашла отражение в философских системах и наиболее полно и последовательно — в известной философии Канта. Согласно Канту, пространство абсолютно, и его идея вложена в наше сознание до всякого опыта. Аксиомы геометрии Эвклида необходимо верны, и нет иного пространства, которое обладало бы свойствами, не выраженными аксиомами эвклидовой геометрии. По Канту, пространство есть априорная трансцендентная категория, врожденная форма воззрения.
Попытки доказательства Лобачевским пятого посту- гата. Лобачевский, подобно многочисленным предшественникам, также начал с попыток доказательства пятого постулата. Он сам впоследствии увидел ошибочность своих рассумсдений и нигде их не опубликовал. 90 нАучнАя РАБОТА В России В хчн1 и х1х ВВИАх Интерес к элементам геометрии был пробуждбн у Лобачевского поручениями от факультета по чтению курса элементарной геометрии, который он читал сначала(в!812 г ) на курсах для чиновников (для подготовки к экзаменам на производство в чин), а затем студентам университета. Интерес, возникший по такому, чисто внешнему, поводу, сделался для Лобачевского делом всей его жизни.
Попытки, так сказать, с налета доказать пятый постулат окончились для него неудачей. Тогда он предпринял другой, более сложный путь — начал развивать систему геометрии, исходящую из противоположного постулату Эвклида утверждения. К !826 г. построение такой своеобразной системы было далеко продвинуто, и 11 (23) февраля указанного года он выступил с докладом на тему «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных линиях«. Рукопись этого доклада утеряна. Его содержание нам в полной мере не известно, поэтому остается неясным, что было в нем: построение ли новой геометрии и тем самым доказательство невозможности вывести пятый постулат из остальных первичных предложений Эвклида, или же ещй одна попытка его доказательства. Впрочем, как указывает сам Лобачевский в работе «О началах геометрии», опубликованной в 1829 г.
в университетском журнале «Казанский вестнике, в первой еб трети приведены извлечения из этого доклада. Извлечение, сделанное Лобачевским, содержит построение геометрической системы, исходящей из предположения, что прямых, параллельных данной прямой, через не лежащую на ней точку можно провести не одну. а бесконечное множество.
Неизвестным осталось только то, какое применение сделал в 1826 г. и своего построения автор. Возможно, что он усмотрел в какой-либо издоказанных им теорем противоречие и тем самым — доказательство постулата Эвклида. Возможно, впрочем, что у>хе тогда Лобачевский видел логическую непротиворечивость создаваемой им науки. Идея новой геометрической системы. Так или иначе, но к 1829 г. Лобачевский уже пришел к убеждени>о в том, что геометрия Эвклида является не единственной мыслимой, что столь же логически совершенной является иная НИКОЛАЙ ИВАНОВИЧ ЛОБАЧВВСКИЙ 91 геометрия, названная им «воображаемой», а теперь называемая неэвклидовой геометрией Лобачевского или просто геометрией Лобачевского.
Как я уже говорил, Лобачевский положил в основу своего построения все аксиомы и постулаты Эвклида, помимо пятого; этот же последний он заменил следующим: Если в данной плоскости находится прямая и не лежащая на ней точка, то через эту точку можно провести бесконечно много прямых, не пересекающих данную прямую. Все прямые, проходящие через данную точку и не пересекающие данну>о прямую, заполняют яекоторый угол. Стороны этого угла Лобачевский назвал прямыми, параллельными данной прямой. Из своей системы аксиом Лобачевский начал выводить следствия, выделив сначала те предложения, которые не опираются на аксиому о параллельных.
Понятно, что этн предложения одинаковы для обеих геометрий — и геометрии Лобачевского, и геометрии Эвклида. Совокупность таких предложений называют иногда чабсолютной> геометрией. В качестве примеров теорем абсолютной геометрии приведбм хотя бы следующие: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, во всякий треугольник можно вписать окружность, и др. Однако геометрия Лобачевского не исчерпывается предложениями абсолютной геометрии.
Все теоремы, опирающиеся на аксиому Лобачевского о параллельных, с точки зрения геометрии Эвклида представляются парадоксальными. Примерами таких предложений могут быть, ока>кем, следующие: !. Сумма углов треугольника всегда меньше двух прямых и, вообще говоря, меняется от треугольника к треугольнику.
2. Описать окружность можно не около всякого треугольника. 3. Подобных фигур нет (в частности, отсюда следует, что в геометрии Лобачевского треугольники равны, если три угла одного равны соответственно трем углам другого). Мы не станем указывать дальнейших сведений, так как геометрия Лобачевского вызвала обширную литературу и читатель может познакомиться с его системой, 92 НАУЧНАЯ РАБОТА В РОССИИ В ХЧП1 И Х1Х ВЕКАХ а также с дальнейшим развитем его идей по целому ряду прекрасных книг. В 1943 г. страна отмечала 180-летний юбилей со дня рождения великого геометра. К этому юбилею были изданы три книги, каждую из которых можно рекомендовать для ознакомления в). Отношение современников к геометрии Лобачевского.
Идеи Лобачевского настолько опередили свой век, что не могли дойти до сознания да>хе самых крупных математиков того времени. Современники не поняли, что они являлись свидетелями революции в науке, и встретили эти новые идеи одни — полным молчанием, другие — оскорбительной критикой.
В 1834 г. в «Сыне Отечества» появился отзыв, точнее пасквиль, на работу «О началах геометриик Авторы этого отзыва не стеснялись в выражениях и обвиняли Лобачевского в невежестве, наглости, отсутствии здравого смысла и пр. Лобачевский тяжело переживал такую критику, тем более, что его ответ, посланный в редакцию «Сына Отечества», так и не увидел света. Лобачевского не поняли, усомнились в его умственных способностях.
Он счел, что это произошло потому, что первая работа была написана слишком сжато, недостаточно ясно и почти без доказательств. Он не думал, что причиной этого, в первую очередь, явилась новизна и неожиданность его идей, не думал о том, что людям, даже очень талантливым, трудно бывает отказаться от истин, освященных тысячелетней давностью, хотя бы и не доказанных. Для того, чтобы порвать с привычным, с освященными временем традициямн, нужен не талант, а гений, нужна огромная сила воли. Лобачевский этим обладал в полной мере. Резкие отзывы не остановили его; он стремился сделать свои мысли достоянием человечества и с этой целью публиковал один мемуар за другим кака Казани, таки заграницей.
Все напрасно,— его попытки остались непонятыми, он наталкивался на непреодолимую стену непонимания и прямого недоброжелательства. а> Книги Александрова и Колмогорова, Кагана и, наконец, Лаптева, Широкова и Чеботарева. См. указатель литературы в конце книги. НИКОЛАИ ИВАНОВИЧ ЛОВАЧВВСИИЙ 9З Какая же сила характера, какая же убежденность были нужны, чтобы продолжать отстаивать свои идеи и развивать их, находясь в атмосфере полного научного одиночества, недоброжелательства и насмешек! Только Гаусс* ) в частной переписке (опубликованной лишь после его смерти) одобрительно отозвался о работах Лобачевского. При жизни >ке он ограничился тем, что по его предложению Лобачевский был избран членом- корреспондентом университета в Геттингене, сам же Гаусс принялся за изучение русского языка с целью изучения работ Лобачевского в оригинале.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
