Очерки по истории математики в России. Гнеденко (1946) (1185898), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Начнем теперь нумеровать корни в том порядке, в каком выписаны уравнения, нумеруя при этом только те корни, которые не встречались ранее. Очевидно, что каждое алгебраическое число рано или поздно встретится и получит свой номер. Этим наше утверждение доказано. Мы уже свыклись с тем парадоксальным явлением, характерным для всех бесконечных множеств, что целое эквивалентно своей правильной части. Само это явление настолько парадоксально, что немедленно возникает вопрос о законности введения в математику понятий, противоречащих всем привычным нашим представлениям. Ведь для конечных множеств никогда не нарушается известное правило: целое больше своей части.
Но при этом не следует забывать, что бесконечные множества представляют собой совершенно новый объект, наделенный своими особыми свойствами, к которому нельзя подходить с при- дополнение $ вычной нам арифметической меркой. Изгнание же из математики понятия бесконечного множества приведЕт к исключительному обеднению ее содержания: ведь при этом потеряет смысл говорить о натуральном ряде чисел, говорить о том, что прямая линия составлена из точек, и пр. Такое фундаментальное для современной математики понятие, как понятие функции, при этом также должно быть изгнано из математики, так как при определении функции приходится обычно устанавливать ее значения при бесконечном множестве значений аргумента.
Я уже не буду говорить о том, что бесконечные множества представляют собой огромный мир, наделенный многими замечательными свойствами, позволивший вскрыть новые факты и лучше осмыслить старые, принадлежащие классической математике. Мы остановились на совершенно поразительном факте: если собрать все числа, с которыми обычно имеют дело в школе, т. е. все рациональные числа, все корни из них, все конечные комбинации рациональных чисел и этих корней, все корни из этих комбинаций и т. д., то окажется, что их все можно пронумеровать, т. е. что в некотором смысле их имеется столько же, сколько имеется целых положительных чисел. В курсе средней школы, правда, встречается одно число, не входящее в семейство алгебраических, а именно число ч.
Все неалгебраические числа называются трансцендентными. Интересно знать, сколько же существует таких особенных чисел. Оказывается, что их — подавляющее большинство, н собственно, следовало бы алгебраические, а не трансцендентные числа рассматривать как исключительное явление. Что мощность множества всех чисел больше, чем мощность счбтного множества, доказать нетрудно. Мы это сделаем с помощью часто употребляющегося приема, называемого диагональным процессом. Для простоты рассуждений ограничимся рассмотрением только чисел, больших 0 и меньших 1. Предположим, что множество всех чисел, находящихся в промежутке от 0 до 1, счетно, т.
е. что его можно пронумеровать. Выпишем их в виде бесконечных десятичных дробей, приписывая справа, в случае необходимости 244 ДОПОЛНЕНИЯ (если число записывается конечной десятичной дробью), нули. Пусть О,л'"к">... и',"... (л) Π— эти дроби. Буквы ао>> (у=1, 2, 3,...; П=1, 2, 3...) в нашей записи могут принимать значения О, 1, 2, 3,..., 9. В этой последовательности каждое число должно найти свое место; при некотором 1, например, в ней встретится число 0,5. Для этого числа а1>>=5, а(»=ао>=... =О. Покажем, что существуют, однако, числа, не вошедшие в нашу последовательность.
Для этого рассмотрим число в котором р,Фас'>, ~„Ф>6„'>,..., р„Фаг>,... ясно, что этого числа (вернее, всех этих чисел) нет в нашей последовательности, так как оно не может быть ни первым ф,ФЫ,'>), ни вторым(р,Фа<',>), ни любым другим (р„ФЫ,",>) ее элементом. Полученное противоречие и доказывает наше утвер. ждение.
Для того, чтобы оценить, как много неалгебраических, т. е. трансцендентных чисел имеется в интервале 0 ~х < 1, мы поступим следующим способом. Известно, что все вещественные числа могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие с точками прямой линии (в этом состоит идея координатного метода!). Числам х, заключбнным от 0 до 1, соответствуют точки интервала от 0 до 1 оси Ох.
Окружим первую алгебраическую точку (число) х, интервалом очень малой длины т, вторую алгебраи. ческую точку х,— интервалом длины —, третью — интер- Т валом длины -, четвертую — интервалом длины —, и т. д. Т Т (фиг. 18). Таким путбм все алгебраические точки будут покрыты маленькими интервальчиками, часть которых будет налегать друг на друга. а порой и целиком содер- ДОПОЛНВНИВ 4 жаться в интервалах с меньшими номерами.
Общая протяженность всех интервалов равна Т+ — т — + — +... =2Т. Т ~ Т Т 2 4 8 Таким образом, они закрывают лишь часть отрезка О < х < 1 длины, не большей чем 2Т. В остальной же части интервала О-(х 1, имеющей меру, большую, чем 1 — 2т, не будет ни одной алгебраической точки. Так как Т произ- х> «з Фиг. !8. вольно, то мы заключаем, что протяженность 1мера) множества всех алгебраических чисел равна нулю, а прося>кенность (мера) всех трансцендентных чисел равна единице. Заметим, кстати, что подобным же способом легко доказать, что мера любого счетного множества точек, расположенных на прямой линии, равна нулю.
Мы не станем продолжать изложение теорем о бесконечных множествах. Читатель хотя бы на примере последней теоремы имел возможность убедиться в том, что изучение свойств множеств даЕт возможность глубоко проникать в сокровенные тайны строения множества всех чисел.
С дальнейшими более глубокими результатами теори>и множеств читатель может познакомиться хотя бы по книге Александрова и Колмогорова «Введение в теорию функций действительного переменного». Научно-исследовательский институт методов обучения Академии недагогическик наук РСФСР ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Александров П. С..
Гнеденко Б. В., Степа. н о в В. В. Математика в Московском университете за последние десятилетия. Учш«ые записки МГУ, т. 5!. 2. АлександровП. С и КолмогоровА. Н. Николай Иванович Ло5ачевский. Гостехиздат, !943. 3. Б о б ы н и н В. В. Очерки по истории развитил физико-математических знаний в России в ХЧП в., ч. 1 и П. Москва, 1888 — 1893. 4. Б о б ы н и н В. В. Состояние математических знаний в России до ХЧ! в., Журн.
Мин. нар. просе. 5. Бог ом о л он А. А. Основания геометрии. Петроград, 1922. 6. В ас и л ь е в А. В. Математика. Петроград, 19'1. 7. В а с и л ь е в А. В. Н. И. Лобачевский. Казань, 1894. 8. В е н г е р о в С. А. Биографический словарь.
9. В н п п е р Р. Ю. Иван Грозный. Изд. Ак. наук СССР, 1944. 1О. Г а л а н н н Д. Д. Магницкий и его арифметика. Москва, 1915. 11. Д е р >к а в и н Н. С, Происхо>кдение русского народа. Изд. Ак. наук СССР, 1944. 12. Журнал «Физико-математические науки в их настоящем и прошлом», тт. 1 — Х, 1881 — 1891. !З.Журнал «Математический сборни><».
14.Журнал «Известия Академии наук. Серия м а т е м а т и ч е с к а я». 15. К а г а н В. Ф. Н. И. Лобачевский. Изд. Ак. наук СССР, 1944. !б. К и р и к. Учение им же ведати человеку числа всех лет. Чтения в Об-ве истории и древностей российских, 1847, кн. № б. Прило>кение к статье Ханского. 17.
К л >оч « во к и й В. Курс русской истории, тт. 1 — П1. 18. Книга сошного письма. Врел>евнин Илшераторского общества истории и древностей российских, кн. 17, 1853. 19. К р ы л о в А. Н. Леонард Эйлер. Изд. Ак. наук СССР, 1933. 20. Л о б а ч е во к и й Н. И. Алгебра или вычисление конечных. Казань, 1834. 21.
Л о б а ч е в с к и й Н. И. Способ уверяться в исчезании бесконечных строк и приближаться к значениям функдии от весьма больших чисел. Уч. зап. Казанского университета, 1835. 22. Л о б ач е в с к и й Н. И. Собрание сочинений йо геометрии. Казань, 1883. ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 247 23. «Н.
И. Лобачевскийэ. Статьи Б. Л. Л а п т е в а, П. А. Ш и р о. кона, Н. Г. Чеботарова. Изд. Ак. наук СССР, 1943, 24. М а г и и ц к и й Л. Ф. Арифметика. !703. 25. М еды н с к и й В. Н. История русской педагогики. М. Л,, 1938. 26. М и л ю к о в П. Н. Очерки по истории русской культуры, тт. 1 — П1. 27. Математические рукописи ХНП в. Отдел рукописей Всесоюзной публичной библиотеки им.
В. И. Ленина. 28. П е к а р с к и й. Наука и литература в России при Петре 1, Спб., 18бйа 29. П е к а р с к и й П. П. История император«ной Академии наук, Спб. 1870. 30. Р а й н о в Т. И. Наука в России Х1 — ХЧП1 веков. Изд. Ак. паук СССР, 1940. 31. Стеклов В. А. Ь!атеметина и ее значение для человечества, Петроград, 1921. 32. Труды Ин-та истории науки и техники. Серия 1, вып.
1, «Л. Эйлер«. 1935. 33. Х и н ч и н А. Я. Цепные дроби. М.— Л., 1935. 34. Ч е б ы ш е в П. Л. Полное соорание сочинений, тт. 1 — !1. 35. Ш т р а й х С. Ю. С. В. Ковалевская. Зб. Ю ш к е в и ч А. П. Математика в Московском университете за первые сто лет его существования. Уч. зап. МГУ, т. 57.
37.Журнал «Успехи математических науке. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
