Очерки по истории математики в России. Гнеденко (1946) (1185898), страница 47

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 47)

Пусть М= шах 1) (х) ). †!<! Строим полипом /, (х) = /, (х) — )з) (х), т,-т' О и —. М хн<х<ха+1, где ) — любое число, заключенное между Ясно, что всюду, за исключением интервала ( у, (х) ) ( т„ в интервале же х, <х(ха+, !/,(х) ( <)),(х))+),) о(х)) < т'+ М= т,. а) Если х( ха, то и х — ха и х — ха+, отрипатсльнья если же х > ха„, то обс разности х — ха и х — хаа, положительны; н обоих случаях произведение (х-ха) (х — ха„) положительно. 236 цополнвния Таким образом, полинам 1,(х) уклоняется от нуля меньше, чем полипом /(х).

Это противоречит нашему предполои'ению. Свойство доказано. П р и м е ч а н и е. Если бы максимум, отличный от т„ достигался на одном нз концов интервала — 1 <х< 1, т. е. прн х = — 1 или при х = 1, то вместо полинома ф(х), употребленного нами в доказательстве, следовало бы рассмотреть либо полинам (х — х,)(х — х,)... (х — х„), либо, соответственно, полинам (х — х,)(х — ха)...(х — х„ ,), С в о й с т в о 3. Существует единственный полипом Чебышева и-го порядка.

Доказательство. Предположим, что зто не так. Пусть /,(х) и /,(х) — два оазличных наименее уклоняющихся от нуля полинома. Полинам 1(х) = 2 (/о(х) +11 (л)1 уклоняется от нуля не более, чем каждый из полнномов /,(х) и /, (х) и, значит, таьпь.е является полиномом, наименее уклоняющимся от нуля. Но так как, в силу предыдущего свойства, все максимальные уклонения такого полннома должны быть равны между собой, то все максимальные уклонения полнномов /,(х) и /,(х) должны достигаться при общих значениях аргумента"). Но таких значений существует и+1: и — 1 максимальное уклонение достигается между корнями полинома н два † конце интервала †1 - х < 1.

Таким образом. два поли- нома и-го порядка совпадают при и+1 значении аргумента и, следовательно, совпадают при всех значениях х ев). С в о й с т в о 4. Если полинам /,(х) обладает свойствами 1 и 2, то он является полиномом, наименее уклоняющимся от нуля. *) Иначе хотя бы одно из максимальных уклонений /(х) будет меиыпе ш, и, «почит, в силу свсй теа 2, мои<ив будет построить полинам, уклоняющий я ьт нуля меньше, чем 1о(х). ьь) Для опр.делеиия коэффипиеитов а„а,...., а„полииома /е(х) и а,', а'„..., а,', полииома 1,(х) получаются уравиеийя типа 1,(хь) = =1,(хе). где х„— значения х, при которых 11,(х)1 имеет максималь.

ную всличииу. дополивиив з До ка за тельство. Предположим, что некоторый полипом /(х) уклоняется от нуля еще меньше, чем /,(х). Так как !(х) можно записать в виде / (х) = 1, (х) + в (х), где р(х) — полином не более чем (и — 1)-го порядка, то ясно, что !(х) может уклонятся от нуля меньше, чем 1,(х), только в том случае, если значения е(х) при всех х, где !1,(х) ! достигает максимума, имеют знак, противоположный знаку /,(х). Но ~,(х) меняет знак при переходе через каждый корень, т. е.

и+1 раз. Функция >ке е (х) не может менять свой знак более чем и раз. Следовательно, ~(х) не может быть полино>лом, наименее уклоняющимся от нуля, если только ч>(х)4еО. Остается найти полином, обладающий указанными двумя свойствами. Покажем, что функция 1е (х) 2" соэ (л агссоз х 1 является искомым полиномом. При изменении х от — 1 до +1 агссозх изменяется от — я до О, и, следовательно, аргумент косинуса меняется от — лч до О. В этом интервале косинус обращается в нуль «„+л ровно л раз (при агссоэх= — — *, !с=1, 2,..., и).

Максио мальные уклонения от нуля эта функция имеет при тех значениях х, при которых косинус обращается в плюс или минус единицу. В интервале — 1 (х < 1 максимальные вч значения достигаются л+1 раз (при агссозх= — — ", Й=О, л ' 1, 2,..., и); все они равны между собой по абсолютной величине: 1 т ==. 6 й 1' 2 Остабтся обнаружить, что 1, (х) — полипом и-го порядка с коэффициентом 1 при х". В силу известной формулы Эйлера, созв = — (е'т+е->ч), 1 239 пополНВНИВ 4 Отсюда мы видим, что ~,(х) в самом деле является многочленом степени л.

Остается подсчитать коэффициент при х". Он равен, как легко сообразить, ,-'а (!+ С„+ С'„+...). Но нетрудно заметить, что 2(!+С'„+С'„+...) =(1+!)" +(! — 1)"=2", и, значит, искомый коэффициент равен единице. В качестве примера приведем графики нескольких полиномов Чебышева при малых значениях и; мы ограничимся случаями л= 1, 2, 3, 4 (фиг. 14 — 17).

Заметим, что в честь Чебышева (в французской транскрипции — ТзсЬеЬ!сЬе1!) его полиномы обозначаются символом Т„(х), где и — порядок полинома. ДОПОЛНЕНИЕ 4 ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА Под множеством понимают объединение отдельных вещей — элементов множества,— природа которых может быть совершенно безразлична. Так, можно говорить о множестве букв, из которых состоит настоящая книга, о множестве различных арабских цифр, о множестве всех треугольников, о множестве простых чисел и т. д.

При внимательном рассмотрении приведбнных примеров мы замечаем, что они могут быть разбиты на два резко отличные типа: на множества, состоящие из конечного числа элементов (первые два примера) н на множества, состоящие из бесконечного числа элементов (два следующие примера). Первое систематическое изучение свойств бесконечных множеств было предпринято уроженцем Петербурга профессором Кенигсбергского университета математиком Георгом Кантором (1845 †19). Не побоявшись борьбы с предрассудками, предубеждением философов и великих математиков, Кантор развил теорию множеств, 240 ДОПОЛНЕНИЯ вскоре сделавшуюся основой всей современной математики. Мы увидим, что бесконечные множества таят в себе удивительные свойства, на первый взгляд представляющиеся парадоксальными.

Велика заслуга того, кто не убоялся этих кажущихся противоречий и нашЕл правильный путь, привьдший к триумфу его идеи, Для бесконечных множеств в первую очередь возникает вопрос: все ли они одинаково насыщены элементами нли же среди них имеются более и менее мощные? Мы увидим, что существуют множества разных мощностей. Нам следует уточнить понятие мощности мпо>нества. Мы скажем, что два множества имеют одинаковую мощность, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, т.

е. если каждому элементу первого множества мохсно поставить в соответствие один единственный элемент второго и обратнока>кдому элементу второго множества сопоставить единственный элемент первого. Простейшее бесконечное множество, с которым постоянно имеют делов математике,— это множество всех целых положительных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, На примере этого множества мы убедимся в том, что любая его бесконечная часть содержит в некотором смысле столько же элементов, сколько и всб множество. Всамом деле, например, множество квадратов всех целых чисел 1, 4, 9,!б, 25. может быть перенумеровано путЕм приписывания числу и' номера и, так что в нумерации примут участие все целые числа.

Такой нумерацией мы достигаем того, что каждому квадрату ставится в соответствие натуральное число и каждому целому положительному числу — один единственный квадрат. Читатель без труда может убедиться в том, что между элементами множества всех простых чисел, всех нечетО вых шсел, всех чисел, кратных трем, с одной стороны, ЦОПОЛИЕНИЕ 4 О 1 1 2 ! 1 1' 1' 1' 1' 2' 2' 2 3 ! 1 3 1' 1' 3' 3' 1 '' Теперь совершенно ясно, что множество всех рациональных чисел может быть пронумеровано. Мы докажем сейчас еще большее — что множество всех алгебраических чисел имеет мощность счетного множества. Напомним, что число а называется алгебраическим, если оно является корнем полинома и-й степени с рациональными коэффициентами; иными словами, если при некотором целом положительном л и некоторых рациональных а„а„а„..., а„имеет место равенство в,м" +а,а"-'+... +а„=О, Заметим, что, не ограничивая общности рассуждений, мы можем считать коэффициенты а„а„..., а„целыми числами (так как предыдущее равенство не изменится при умножении на наименьшее кратное знаменателей всех чисел а„а„..., а„).

Заметим далее, что всякое уравнение л-й стейени имеет не более, чем и оазличных корней. и числами натурального ряда, с другой, можно установить взаимно однозначное соответствие. Таким образом, все эти множества имеют ту же мощность, что и множество всех натуральных чисел, как говорят, л1ощносшь счвлтного мнвлсества. Мы покажем дальше, что все рациональные числа (целые, дробные, поло>китель!|ые и отрицательные) имеют таспке мощность счетного множества.

Для доказательства расположим все рациональные числа в следующем порядке: сначала дроби, у которых сумма числителя и знаменателя равна единице, затем те, у которых сумма числителя и знаменателя равна двум, трЕм, четырем и т. д. При этом мы станем считать, что каждое целое число имеет знаменатель, равный единице, а также что числитель и знаменатель каждой дроби представля!от собой взаимно простые числа. Вот как выглядит множество рациональных чисел, располо>кенное в указанном порядке: 242 дополнвния Нам нужно доказать, что корни всех полиномов с целыми коэффициентами можно пронумеровать.

С этой целью мы расположим все такие уравнения в следующем порядке: сначала те из них, для которых сумма И = л + ! а, ! -!- ~ а, ) +... + ~ а„ достигает значения два, затем три, четыре и т. д. Вот эти уравнения в указанном порядке: х=О; х+1=О, х — 1=0, 2х+1 =0, 2х — 1=0, х+2=0, х — 2=-0, л' — 1=0, л'-1-1=0; Зх+1=0, Зх — ! =О, х+3=0, х — 3=0, л'+х+1=0, л' — х — 1=О, л' — х+1=0, л'+х+1=0, л' — 2=0, л"--1-2=0, л'+ 2х = О, х* — 2х = О, л' — 1 = О, л'+ 1 = 0; И=2 И=З И=4 и т. д. При каждом И число корней всех уравнений с этим И конечно, поскольку конечно число соответствующих ему уравнений.

Характеристики

Список файлов книги