Очерки по истории математики в России. Гнеденко (1946) (1185898), страница 42

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 42)

Часто говорят в этом случае, что х и у нормально коррелированы. сОВетскАЯ шкОлА теОРии ВеРОЯтиостеи 209 Этот общий математический результат, описанный нами на частном примере, Бернштейн приложил к биологическим исследованиям. Среди прочих результатов этого рода заслуживает быть отмеченным важный и неожиданный для специалистов факт, что закон Гальтона о наследовании количественных признаков не противоречит гипотезе Менделя, а при весьма общих естественных предположениях вытекает из нее. Исследования В.

И. Романовского и его школы. Как мы уже говорили в 9 17, с 1922 г. в Ташкенте началась серь|зная работа по теории вероятностей и математической статистике. Первоначально она велась единолично профессором В. И. Романовским, а затем им самим и целым рядом его учеников, среди которых мы отметим М. И. Эйдельнанта и Т. А.

Сарымсакова †наибол крупного современного математика-узбека. Начав свои исследования в области математической статистики, Романовский работал в ней под сильным влиянием английской школы, созданной известным статистиком Карлом Пирсоном. Однако в выборе методов для решения стоявших перед ним задач он следовал за Чебышевым. Являясь учеником академика А. А. Маркова, Романовский воспринял от него традиции школы Чебышева и среди них математическую строгость рассуждений и логическую щепетильность в построениях.

Этого как раз недоставало английским статистикам, от работ которых, как мыговорили, отправлялся Романовский. За почти двадцатилетний промежуток деятельности Романовский не только охватил своими исследованиями буквально все части математической статистики (кривые распределения, теория выборок, распределение статистических характеристик, критерии случайности, разыскание скрытых периодичностей и пр.), но и занимался деятельной пропагандой статистических методов.

С этой целью им был создан ряд книг, много способствовавших подъему статистической культуры и развитию интереса к ней. Среди этих книг мы отметим в особенности его «Элементарный курс математической статистики«и фундаментальное произведение «Математическая статистика«. Многочисленные работы Романовского в области теории вероятностей были посвящены распространению основ- 210 РАзвитив мАтеыАтики В хх Веке ной предельной теоремы Ляпунова на многомерные случайные величины, цепям Маркова и построению важных схем зависимых случайных величин, обобщающих цепи Маркова.

Мы не станем здесь описывать прекрасные оезультаты, относящиеся к так называемым бицпклнческим цепям, введенным им впервые в рассмотрение, а отметим лишь два его фундаментальных мемуара, посвященных цепям Маркова с конечным и непрерывным множеством состояний. Изучение цепей Маркова с конечным числом состояний Романовский связал с алгебраическим аппаратом — матрицами. При этом ему пришлось детально разработать и отдельные вопросы теории матриц. Метод Романовского является в настоящее время одним из основных в теории цепей Маркова и широко используется многими специалистами в дальнейших исследованиях. Случай цепей Маркова с непрерывным множеством состояний был связан Романовским с теорией интегральных уравнений.

В заключение отметим, что, помимо многосторонней исследовательской работы, профессор В. И. Романовский вел и проводит постоянную и серьезную консультационную работу со специалистами сельского хозяйства и промышленности, а также непрестанно заботится о воспитании новых многочисленных кадров математиков-исследователей. Его многогранная деятельность, в том числе по воспитанию ученых из среды узбеков, неоднократно отмечалась советской общественностью и правительствами Союза и Узбекской ССР. Возникновение Московской школы теории вероятностей. Идеи теории множеств и теории функций, культивировавшиеся Лузиным и его учениками, определили характер первоначальных исследований московских математиков в теории вероятностей.

Внимательное изучение основных понятий теории вероятностей,— случайного события, вероятности, независимости событий, случайной величины, среднего значения и др., — а также операций со случайными событиями показало, что между ними и основными понятиями теории множеств и метрической теории функций можно провести далеко идущие аналогии. Эти связи между столь различными науками позволили по-ино- советскАЯ шкОлА теоРии ВКРОЯтностей 211 му осветить логические основы теории вероятностей, обогатить ее содержание новой проблематикой и методами исследования, а также довести до конца решение классических задач.

Начало создания Московской школы теории вероятностей было поло>кено в 1923 г. исследованием Александра Яковлевича Хинчина, посвященным совершенно своеобразному обобщению и усилению закона больших чисел. Открытая им при этом закономерность получила впоследствии название закона повторного логарифма.

Эта работа Хннчина стала источником дальнейших исследований в указанном нм направлении как советских (Колмогоров, Хннчнн, Гнеденко), так и зарубежных математиков (Сга>пбг, Сап1е!11, Р. (.ечу, %. Ре11ег и др.). О содержании этого закона мы расска>кем впоследствии, когда будем говорить о законе больших чисел.

Приблизительно в то же время Евгений Евгеньевич Слуцкий (род. 1880) начал создавать методами теории функцйй действительного переменного новую главу теории вероятностей — теорию случайных функций, т. е. теорию случайных величин, зависящих от непрерывно изменяющегося параметра. Им были введены и исследованы понятия стохастических (относящихся к случайным величинам) предела, производной, интеграла, нзмеримости и пр. Вскоре в работу по теории вероятностей включился тогда еще молодой ученый, а теперь один из самых разносторонних и крупнейших математиков современности Андрей Николаевич Колмогоров (род. 1903).

Первое его исследование в этой области науки было выполнено совместно с А. Я. Хинчиным н посвящалось выяснениюсходимости рядов из взаимно независимых случайных величин 1„1„..., $„,... Оказалось, что ряд 1,+1,+ +1.+ может сходиться (т. е. иметь определенную сумму) к некоторой величине (вообще говоря, случайной) только с крайними вероятностями 0 и 1. Позднее Колмогоров дал очень широкие условия, при которых события, зависящие от бесконечного множества случайных величин, могут наступать лишь с вероятностью 0 илн 1. Эти московские исследования также нашли 212 РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКИ В ХХ ВЕКЕ значительный отклик в работах западно-европейских математиков.

Классическая проблематика, интересовавшая Чебышева и Маркова, сделалась и для москвичей увлекательным полем деятельности. Среди всех исследований этого рода особенное значение приобрели работы по выяснению условий, в которых имеет место закон болыних чисел, а также по уточнениям этого закона. При этом оказалось, что методы н понятия теории функций дают возможность найти окончательные условия (необходимые и достаточные), в которых имеют место классические теоремы.

Однако очень скоро, оттолкнувшись от проблем Чебышева и Маркова, московские математики выдвинули совершенно новый круг проблем, ставших наиболее быстро развивающейся и увлекательной частью современной теории вероятностей. С этими новыми постановками задач мы познакомимся позднее, когда будем говорить о так называемых стохастических процессах. Закон больших чисел. В параграфе, посвященном академику А. А.

Маркову, мы говорили о том основном значении, которое имеет закон больших чисел для приложений математических методов к естествознанию и практическим наукам. Это обстоятельство и было причиной все возрастающего интереса к установлению все более н более широких границ его применимости. Конечной целью, понятно, было разыскание окончательных (необходимых и достаточных) условий, в которых имеет место закон больших чисел. Крупнейшие математики на протяжении нескольких десятилетий тратили на это свои усилия. И задача стоила того. В самом деле, установление таких условий сразу давало бы возможность ответить на вопрос: можно ли использовать этот закон и его следствия при данных конкретных обстоятельствах или нельзяу Долголетние усилия увенчались успехом только в 192б г., когда эти условия были найдены А.

Н. Колмогоровым. Мы говорили о том, что исследования московских математиков в теории вероятностей начались с работы А. Я. Хинчина, в которой был открыт так называемый закон повторного логарифма. Познакомимся, хотя бы в общих чертах, с его содержанием. При этом мы ограничимся простейшим частным случаем схемы Бернулли. советснАя школА теоРии веРОятиостеи 212 Согласно теореме Бернулли, число !е появлений события при и независимых испытаниях, в каждом из которых оно появляется с постоянной вероятностью р, при любом и~0 удовлетворяет соотношению: при и — ~со Р ~ ~ ~ — р~(е~ — >1. Геометрически это можно представить себе так: возьмем оси координат, по оси абсцисс станем откладывать и, а по оси ординат — величину у=и — пр.

Теорема Бернулли утверждает, что при достаточно больших п величина у=ив — пр почти достоверно будет заключаться между прямыми ур ел и у= — еп, значит, почти достоверно не превзойдЕт этих границ. Но не слишком ли велики эти границы? Нельзя ли указать более точные пределы для возможных изменений этой разности? Оказывается, что можно. Хинчин путем очень тонких рассуждений нашел их. При этом ока- р.рр.

рре ррррре е ° г е:рр ерш распре.е р/е -Ерр Фиг. т залось, что, каково бы ни было е)0, для всех достаточно больших и почти достоверно разность у=!е — лр заключается между границами у=(1+ ) р — (!+е))/ 2лр(1 — р) 1п1п и. Более того, если взять кривые у = — (1 — е) )/' 2пр (1 — р) 1и 1п л у = (1 — е) 1/ 2пр (1 — р) 1п 1п л 214 РАЭВИТИЕ МАТЕМАТИКИ В ХХ ВЕКЕ то разность у почти наверняка бесконечно много раз выйдет за границы области, ограниченной этими кривыми. Мы видим, таким образом, что теорема Хинчина дабт очень глубокий анализ возможного поведения разности  — ПР.

Характеристики

Список файлов книги