Очерки по истории математики в России. Гнеденко (1946) (1185898), страница 41

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 41)

Принцип средней арифметической состоит в том, что при любом числе измерений наиболее вероятным значением измеряемой величины считается среднее арифметическое из результатов измерений. В связи с задачами об азартных играх и определением безобидных игр возникло понятие математического ожидания случайных величин. Если х„х„...,х„означают всевозможные значения, принимаемые случайной величиной !, а р„р„..., р„— вероятности, с которыми принимаются зти значения, то математическим ожиданием величины ! называется сумма Е„'=р,х,+р,х,+... +р„х„. Символом Е мы станем обозначать математическое ожидание и в дальнейшем. К середине Х!Х века основные свойства математических ожиданий были достаточно хорошо известны.

Первые исследования по теории вероятностей в россии. Научные исследования в области теории вероятностей начались в России с момента основания Академии наук и приезда в ней первых академиков, братьев Даниила и Николая Бернулли, приглашенных из Швейцарии. Однако их работы были для России лишь чисто внешним событием и не имели никакой связи с состоянием науки в стране. Позднее интерес к теории вероятностей проявляли все виднейшие представители русской математической мысли. Так, Лобачевский в своей работе сНовые начала геометрии с полной теорией параллельныха с целью экспериментального установления геометрической системы, гос- сОВетскАя шкОлА теОРии ВеРОятностВи 205 подствующей во вселенной, разработал теорию ошибок при измерениях на сфере; позднее тому же вопросу он посвятил специальную статью.

Остроградский написал три статьи по теории вероятностей. Значительное число работ по теории вероятностей и в особенности но еб применениям к вопросам демографии России было написано академиком Буняковским. Им же был создан первый учебник по теории вероятностей, стоявший на уровне науки того времени.

Однако все указанные исследования не внесли в теорию вероятностей ни существенно новых идей, ни новых проблем и не послужили толчком к созданию школы исследователей, хотя и пробудили к ней интерес в России. Новый шаг, как мы говорили, был сделан Чебышевым. Он начал систематически изучать последовательности взаимно независимых случайных величин. Им самим и Марковым был доказан, как мы уже видели раньше, закон больших чисел*) в весьма общих условиях.

И, наконец, Чебышев, Марков и Ляпунов доказали, что при весьма общих условиях для последовательности независимых слагаемых имеет место центральная предельная теорема**). Позднее Марков ввйл понятие о цепях Маркова и доказал для них ряд теорем, в частности, закон больших чисел, «) Т. е. следующее утверждение: при и — ьсои любом е) О и и Р ~ — ~ ~~~~ ха — ~~ ~Еха ~ < в ~ -+ 1. а-е ь=г Символ Р <...

) означает вероятность события, указанного в скобке. *") Т. е. следующее утверждение~ при и -+со и любом вещественном х и х Р ~ — ~ (ха — Еха) < х ~ — + = ~ е аа, гт 1 1 1В„ у'а 3 "а-е (О где для краткости обозначено и В„'= ~~~~ Е(ха — Ехай.

ь-1 206 РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКИ В ХХ ВЕКЕ центральную предельную теорему и одну важную теорему о предельном поведении вероятностей перехода из состояния А~ в состояние Аь послужившую прототипом для позднейших, так называемых эргодических теорем. Мы теперь в общих чертах знакомы с состоянием теории вероятностей к моменту Великой Октябрьской социалистической революции. Роль академика С. Н. Бернштейна.

Весьма насыщенный большими общими идеями и фактическими результатами период развития теории вероятностей связан с именем академика С. Н. Бернштейна. Мы говорили о том, что до середины прошлого века теория вероятностей не успела сложиться в математическую науку. Бв поиложения к изучению явлений природы были довольно слабо обоснованы н вызывали резкую, заслуженную критику, нашедшую особенно блестящее выражение в курсе французского математика Бертрана. Неопределенность в основных понятиях науки о случае приводила к целому ряду парадоксов.

Правда, эти обстоятельства мало смущали естествоиспытателей, и уже тогда даже наивный теоретико-вероятностный подход в различных областях науки приводил к крупным успехам. Время шло, науки развивались и предъявляли к своему математическому аппарату — теории вероятностей — более строгие требования.

Возникла потребность систематически изучить основные понятия теории вероятностей и выяснить условия, в которых можно пользоваться еб методами н результатами. Вот почему особенно важное значение приобрело формально- логическое обоснование теории вероятностей. Первая попытка такого рода обоснования относится к 1917 г. и принадлежит академику С. Н. Бернштейну. Наряду с желанием привести в порядок основы теории вероятностей Бернштейн поставил перед собой гораздо более широкую цель: на базе создаваемой им системы аксиом теории вероятностей построить логически безупречную теорию математической статистики и продемонстрировать, как можно совершенно строго и точно изучать важнейшие проблемы естествознания.

Для того, чтобы лучше оценить позиции, с которых была осуществлена эта попытка, я приведу подлинные слова автора (доклад на Всесоюзном съезде математиков в Москве в !927 г.): соввтснАя школа тноьчп«вввоятиоствй 207 «Чисто математическая теория вероятностей может не интересоваться тем, имеет ли коэффициент, называемый математической вероятностью, какое-нибудь практическое значение, субъективное нли объективное. Единственное требование, которое должно быть соблюдено, это †отсутствие противоречий, а именно: различные способы вычисления указанного коэффициента при данных условиях и соблюдении принятых аксиом должны приводить к одному и тому же значению.

Кроме того, если мы хотим, чтобы выводы теории вероятностей были не простой игрой ума, а допускали эмпирическую проверку, то необходимо рассматривать только такие совокупности предло>кений или суждений, относительно которых возможно фактически установить истинны они или ложны. Познавательный процесс, необратимый по существу, в том именно н заключается, что те нлн иные из признаваемых нами предложений становятся истинными, т. е.

осуществляются, н тогда отрицания их в то же время становятся ложными или невозможными. Таким образом, построение теории вероятностей, как единого познавательного метода, требует, чтобы истинность предложения однозначно без всяких исключений характеризовалась определенным максимальным значением математической вероятности, которое принимается равным единице, а ложность предло>кения должна быть адэкватна наименьшей вероятности, приравниваемой нулю...«. Эти основные идеи явились источником для целого ряда работ Бернштейна как математических, так н естественнонаучных, в особенности посвященных теоретическим проблемам биологии. Они же вдохновили их автора на создание одного из лучших произведений мировой литературы по теории вероятностей — книгу «Теория вероятностейм Книга начинается с изложения системы аксиом, основных понятий этой науки и рассмотрения примеров вычисления вероятностей посредством различных приемов.

Дальше автор переходит к изложению классических и собственных результатов относительно закона больших чисел, теоремы Лапласа, выборочного метода, кривых распределения, теории корреляции и пр. Особую свежесть н ценность книге придают постоянные дискуссии автора о практической ценности того или иного результата теории, а также о гра- 208 РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКИ В ХХ ВЕКЕ х х х х х к к к ницах его применимости. Это обстоятельство значительно содействовало широкой известности книги не только среди математиков, но и среди работников естественно-научных, экономических и технических дисциплин.

Собственно-математические работы первого периода исследований Бернштейна по теории вероятностей представляют собой блестящее завершение исследований Чебышева, Маркова и Ляпунова по предельным теоремам для сумм случайных величин. Доказательство основной предельной теоремы для случая независимых величин в его руках получило такую общность, что наложенные при этом ограничения оказались впоследствии не только достаточными, но и необходимыми.

В то же время были установлены весьма широкие условия, при выполнении которых предельная теорема сохраняется и для суммы зависимых слагаемых. Впервые Бернштейном было предпринято исследование условий, в которых имеет место двумерная предельная теорема. Проиллюстрируем постановку задачи простым для восприятия, но важным примером. При стрельбе по некоторой цели А, нак ходящейся на земной поверхности, снаряды не попадают, вообще говоря, точно в точку прицеливания, а рассеиваются.

Возникает задача определения Фиг. б. вероятности того или иного уклонения снаряда от центра цели. Если выбрать оси координат с началом в центре цели, то вопрос заключается в том, чтобы указать вероятность каждого возможного уклонения (х, у) снаряда от цели — возможных координат снаряда. Исходя из гипотезы, что уклонение снарядов от цели является результатом суммарного воздействия огромного количества зависящих от случая причин, каждая из которых лишь ничтожно мало влияет на результат, Бернштейн показал, что оно подчиняется особому закону распределения вероятностей — двумерному нормальному закону.

Характеристики

Список файлов книги