Очерки по истории математики в России. Гнеденко (1946) (1185898), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Введенное им совместно с П. С. Александровым понятие бикомпактного пространства стало одним из самых основных понятий современной математики, значение которого далеко выходит за пределы тех специальных топологических проблем, в которых оно зародилось. В 1925 г. молодые топологи объединились в топологический кружок, председателем которого был избран П. С.
Александров. Целый ряд молодых математиков и среди них А. Н. Тихонов, Л. А. Люстерник, Л. Г. Шнирельман, В. В. Немыцкий стали членами этого кружка и с успехом разрабатывали разнообразные проблемы топологии. Вскоре к этой группе топологов присоединились одни из самых блестящих топологов и математиков вообще— Л. С. Понтрягин (род. !908) и А. Н. Колмогоров (род.
1903). 184 РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКИ В ХХ ВЕКЕ Значительные успехи советской топологической школы нашли отражение на Первой международной топологической конференции, созванной по инициативе Математического института Московского университета в сентябре1935 г. Эта конференция, привлекшая большое количество участников как из пределов Союза, так и из-за границы, не только подвела итоги плодотворному периоду развития топологии последних 10 — 15 лет, но и наметила те основные пути, по которым движется сейчас развитие этой науки. Заключение.
Московская математическая школа, выросшая в стенах Московского университета, свои основные достижения ведбт от работ, казалось бы, в узкой области математики — теории множеств и теории функций действительного переменного. Но мы видели, что на этой почве возникло грандиозное научное сооружение, которое может быть кратко охарактеризовано как теоретико-множественный анализ. Это сооружение, охватывающее и теорию функций, и топологию, и алгебру, и анализ, итеорию вероятностей, объединило и связало тесно, на первый взгляд весьма далекие разделы науки. Понятно, что такие связи и взаимодействия в дальнейшем будут развиваться, углубляться и содействовать развитию объединяющих всю математику новых больших идей. Теоретико-множественная математика, характеризуясь общностью и часто неразрывно связанной с ней отвлеченностью своих методов, принадлежит к числу наиболее теоретических наук и, казалось бы, недостаточно связана с практикой.
Однако это не так: в настоящее время ее иден через анализ, теорию вероятностей влияют на естествозна. иие и через него на технику. Кроме того, абстрактная закалка, получаемая воспитанниками Московской школы, оказывается прекрасным средством для подготовки их к работе в самых разнообразных областях математики, механики и даже техники: это воспитание приучает к быстрой ориентировке в совершенно новых и необычных условиях. й 19. СОВЕТСКАЯ ШКОЛА ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Особенность теории чисел.
Трудно найти какую-либо другую область математики, В которой так просто, так элементарно звучали бы постановки задач и так трудно давалось бы их решение, как в теории чисел. От постановки не- сОВетсКАЯ шкОлА теовии чисвл 185 которых задач теории чисел часто проходят сотни лет, прежде чем эти задачи получают решение. Многие же задачи до сих пор остаются даже без всякого подхода к их решению. Так, например, не решена задача, широко известная под именем великой теоремы Ферма* ), хотя ею и занимались крупнейшие математики Хт'П1 и Х1Х столетий, а в ХХ веке сотни тысяч любителей, узнав о еб существовании, бросилнсь добывать себе славу, часто не сознавая стоящлх на пути трудностей.
Мы остановимся здесь на рассмотрении нескольких таких, так сказать, бородатых задач, полное решение или по меньшей мере серьезное продвижение в решении которых принадлежит советским математикам. При этом мы не станем стремиться нн к тому, чтобы попытаться при изложении истории этих проблем набросать общее представление о всех разделах современной теории чисел, ни к тому, чтобы охватить все наиболеесущественное из сделанного у нас.
Распределение простых чисел. В параграфах, посвящЕнных Эйлеру и Чебышеву, мы указывали на то, что вопрос о характере расположения простых чисел со времени Эвклида волнует человеческую мысль. Экспериментальные наблюдения над таблицами всех простых чисел, содержащихся в первых одиннадцати миллионах, показывают исключительную иррегулярность в их расположении. С одной стороны, на всем протяжении таблиц встречаются так называемые близнецы, т. е.
простые числа, разность между которыми равна двум, например, 3 и 5, 5 и 7, ! 1 и 13, 17 и 19, 29 и 31, 4! и 43, 71 и 73,..., 1О 006 427 и 10 006 429. С другой стороны, легко можно показать, что в натуральном ряде существуют сколь угодно длинные интервалы, свободные от простых чисел. Действительно, каково бы ни было и, мы можем указать л последовательных чисел, среди которых нет ни одного простого. С этой целью возьмбм произведение всех простых чисел, не превышающих и+1, которое «) Задача состоит в том, чтобы доказать невозможность решения в целых числах х, у, с уравнения ч+ ч ч ири целых и>З.
186 РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИБИ В ХХ ВЕКЕ мы обозначим буквой Я: с)=2 3 б ° 7... р, где р — наибольшее простое число, не превосходящее л+1. Рассмотрим далее последовательные числа ()+2, Я+3, (1+4,..., Я+я+1; все они будут составными, так как вторые слагаемые в них имеют с (',) по меньшей мере одного общего делителя. После того как еще в ХЧП1 веке было выяснено, что обозримых закономерностей для расположения простых чисел на конечных участках не существует, стали искать асимптотические (т. е.
выполняющиеся только в пределе) закономерности пх расположения. Мы уже говорили о том, что Чебышев первый доказал два важных предложения на этот счет. Позднее целый ряд математиков занимался уточнением его результатов. В частности, француз Адамар и бельгиец Валле-Пуссен в 189б г. показали, что функция и (х), дающая число простых чисел, не превосходящих х, удовлетворяет предельному соотношению: при х — ьоэ п(х): — — ь 1в).
1пх Желание составить более точное представление о характере расположения простых чисел привело к необходимости изучения разности а(х)=и(х) — —. 1пх *) Заметим, что П. Л. Чебышев еще в 1850 г. доказал, что 0,92129 — <я (х) < — —, х б х !пх ' 51пх' х а ло этого, в 1848 г., что если предел отношения я(х) к— !пх существует, то он равен единице. Для читателей, знакомых с понятием интеграла, заметим, что в теории чисел обычно предпочита1от пользоваться другим, несколько более удобным соотношением: х и(х) ~ ~ — -ь1.
г пх 3 1пх СОВЕТСКАЯ ШКОЛА ТЕОРИИ ЧИСЕЛ 187 Оценке этой разности было посвящено большое количество исследований, начиная с уже упомянутой работы Валле- Пуссена 1896 г. Наилучшие результаты в этом направлении были достигнуты воспитанником Московского университета профессором Саратовского университета Николаем Григорьевичем Чудаковым !род. 1905) в 1936 г., основывавшимся на теоремах академика Ивана Матвеевича Виноградова, дающих оценки некоторых тригонометрических сумм.
Внимательное изучение таких сумм привело Виноградова к созданию очень мощного метода доказательства целого ряда предложений теории чисел. Мы только что указали на то, что этот метод Чудаковым был применен к изучению проблемы распределения простых чисел, но самим Виноградовым и его учениками он был использован в решении других проблем. В первую очередь здесь следует указать на задачи Варинга и Гольдбаха, о которых будет итти речь далее. В качестве следствий своих результатов Чудаков получил многочисленные уточнения известных теорем.
Ограничимся указанием на одно из таких следствий. Одним из существенных вопросов, касающихся распределения простых чисел, является оценка величины разности з,=р„„— р„ между двумя соседними простыми числами. В 1930 г. удалось доказать, что порядок этой разности не превышает ззооо р,',"о'1 через три года удалось понизить оценку до "49 р'„-о'.Наконец, в 1936 г. Чудаков показал, что действует з +В лучшая оценка, а именно р„', где а — любое поло>кительное число. Проблема Варинга. В 1770 г.
английский математик Варинг (1736 — 1798) сформулировал задачу, решение которой не поддавалось усилиям многих ученых почти !50 лет. Задача формулируется исключительно просто: доказать, что при любом целом положительном и всякое целое число 7>> может быть представлено в виде суммы ограниченного числа п-ных степеней целых чисел. Еще в ХЧ1!1 веке частный случай этой теоремы прн и = 2 был доказан Лагранжем. Теорема Лагяранжа доказываетс совершенно элемен- 188 РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКИ В ХХ ВЕКЕ тарно и формулируется так: всякое натуральное число представляется в виде суммы не более чем четырех квадратов. Читатель легко экспериментальным путбм прове- рита) эту теорему для небольших чисел; для примера укажем несколько равенств: 7 = 2'+ 1'+ 1'+ 1' 14= 3'+2*+1*, 55 = 7'+ 2'+ 1'+ 1' 286 = 16'+ 5'+2'+ 1'.
Позднее удалось доказать, что всякое число может быть представлено в виде суммы не более чем восьми кубов, в виде суммы не более чем семнадцати четвбртых степеней. Однако, несмотря на все старания, в целом, проблема Варинга не поддавалась усилиям вплоть до 1909 г., когда немецкий математик Д. Гильберт очень сложным путем пришел к исчерпывающему ее решению. Решение было настолько запутанными неясным, что известный французский математик Анри Пуанкарэ сказал после ознакомления с ним, что выяснение движущих пружин доказательства Гильберта позволит как из рога изобилия получать новые теоретико-числовые факты. Спустя, приблизительно, десять лет после Гильберта академик И.
М. Виноградов разработал свай поист11не замечательный метод теории чисел — метод тригонометрических сумм, о котором мы упоминали в предыдущем пункте. Этот метод прежде всего был применен его автором к изучению проблемы Варинга. Он оказался исключительно мощным: проблема не только получила совершенно прозрачное решение, но при этом удалось также указать весьма точную оценку для числа необходимых слагаемых. Метод Виноградова основан на использовании очень тонких средств математического анализа; поэтому для неспециалиста-математика ознакомление с ним чрезвычайно сложно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
