Очерки по истории математики в России. Гнеденко (1946) (1185898), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Проблемы Гильберта после их опубликования вызвали огромный интерес, но решению поддавались с большим трудом. В течение тридцати лет седьмая проблема так и ос- 194 РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКИ В ХХ ВЕКЕ тавалась проблемой, бросая вызов ученым. Лишь в 1929— 1930 гг. первая брешь в этой проблеме была пробита московским математиком Александром Осиповичем Гельфондом (род. 190б). Он показал, что если и †алгебраическ число, отличное от 0 и 1, а р †квадратическая мним иррациональность, то число ие трансцендентно.
В том же 1930 г. ленинградский математик Р. О. Кузьмин (род. 1891) показал, что в теореме Гельфонда можно освободиться от требования мнимости показателя. Этими исследованиями, в частности, решался вопрос о трансцендентности упомя'нутых выше чисел е" *) и 2"'з — доказывалось, что они трансцендентны. Через четыре года совсем иным методом, использующим очень тонкие приемы математического анализа, А. О. Гельфонд полностью разрешил проблему Гильберта. Проблема Гаусса. Мы остановимся еще только на одной проблеме, имеющей весьма почтенный возраст. Относится она к совершенно особой области теории чисел, находящейся в весьма близкой связи как с теорией вероятностей, так и с теорией множеств.
В различных частях математики важную роль играют так называемые цепные или, как чаще их называют, непрерывные дроби. Пусть мы имеем некоторое число в. Будем осуществлять следующий процесс: выделим из и наибольшее содержащееся в нам целое число (целую часть числа а). Пусть это будет а,(а, может быть и нулем). Запишем а в следующем виде: 1 а=а + —. о 1 По определению числа ае число — должно быть или ну- 1 лем, или меньшим единицы положительным числом.
Поэто- 1 му, если — отлично от нуля, то а, должно быть числом, больЯг шим единицы. Обозначим через а, наибольшее целое число е) Читатель, знакомый с формулами Эйлера, легко убедится в том, что е'=1, где 1= à — 1 и, значит, является числом ч -тг рассматриваемого типа. СОВЕТСКАЯ ШКОЛА ТЕОРИИ ЧИСЕЛ 195 (целую часть), содержащееся в а„и запишем а, в виде 1 а,=а,+ —. а~ В том случае, если — не равно нулю, мы выделим из а, це! лую часть а„запишем а, в виде 1 а,=а +— а з и будем продолжать этот процесс далее. В результате всех этих действий мы получим, что всякое число а может быть представлено в виде конечной (если наш процесс обрывается на каком-либо шаге) или бесконечной (если описанный процесс продолжается бесконечно) дроби 1 а=а,+ 1 а,+ + а,+...
Такие-то дроби и называются цепными или непрерывными. Онн обладают многими замечательными свойствами, в частности, позволяют очень быстро и с прекрасной степенью точности вычислять приближенные значения иррациональных чисел. Будем рассматривать дробные части знаменателей, т. е. числа 1 1 1 г,= 1 1 ''' 1 , г,= Га = У ' а+... ' а+...
" а„,а+... Один из величайших математиков прошлого века Карл Гаусс (1777 †18) в письме к Лапласу высказал относительно этих чисел без доказательства следующую гипотезу, сформулировав ее на языке теории вероятностей: вероятность того, что у наудачу взятого числа а дробная часть г„ окажется меньшей, чем х(0<х.«1), при п, стремящемся к бесконечности, стремится к функции ш(1+ "1 (О (х< 1).
!О2 Для читателей, познакомившихся с Дополнением 4, мы сформулируем гипотезу Гаусса иначе. Обозначим через 19б влавнтив млтвмлтики в хх ввкв ш„(х) меру множества тех чисел а отрезка (О, !), для которых г„(х (О <х«.1); тогда 1(ш т„(х) = !п (1+.«) !п2 Десятки лет, прошедшие со времени написания Гауссом указанного письма, не сделали его гипотезы математической теоремой. И только в 1928 г. ленинградский математик Р.
О. Кузьмин нашел исчерпывающее доказательство предложения Гаусса. Теоремы Хинчина. Только что изложенный результат Гаусса-Кузьмина позволил Александру Яковлевичу Хинчину установить ряд исключительно изящных теорем. Мы отметим лишь три пз них и при этом сохраним обозначения предыдущего пункта. Все результаты, о которых пойдет речь, относятся не ко всем, а лишь «почти ко всем« вещественным числам. Иначе говоря, они могут не выполняться лишь для чисел множества меры нуль. Подсчитаем прежде всего, как часто будет встречаться то илн иное число, например 5, при разложении произвольного числа и в цепную дробь.
Для того, чтобы подсчитать, сколько раз среди первых и величин а„а„..., а„встречается число и (напрнмер, число 5), мы поступим следующим образом. Введем функцию !(г)=1, если г=1« и /(г)=0, если гФК. Очевидно, что сумма даат нам как раз количество повторений числа Й среди а„а,...„а„. Плотностью числа Й во всбм ряде чисел а„а„ а,... естественно назвать предел ~((а) =1(ш и-+а СОВЕТСКАЯ ШКОЛА ТЕОРИИ ЧИСЕЛ 197 И вот, оказывается, что для почти всех чисел а и для каждого Й эта плотность сохраняет свое особое значение, равное Так, например, 1а4 — 1аЗ ® 1ВО 1СЗ 1а2 ' 1а2 ,1 (3 1а2 Ев=а„б,=1/ о,о„д,= 1/а,ава„,..., е„ = ~/ а,а,...
а„,... Хннчин доказал, что для почти всех чисел вв зти средние геометрические с ростом л до бесконечности приближаются всб более и более к абсолютной постоянной, равной Ов 1ав Ц (1+ ) 2,6.. Рассмотрим снова разложение числа а 10 < а < 1) в цепную дробь а = 1 ав+ ав+ ев+ ° ° Дроби 1 1 1 ° ' Ыв+ ав + ев ев' 1 в +— ев Любопытно отметить, что чем меньше целое число. тем чаще оно должно встречаться в разложениях в цепные дроби. Рассмотрим снова числа а„а„..., а„,..., и построим средние геометрические первых л из них, т. е. числа 198 РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИНИ В ХХ ВЕКЕ называются подходящими дробями. Очевидна, что все подходящие дроби являются рациональными числами. Запишем их в виде правильных дробей: Р« яа яа О где Рь фа — целые числа: Р,=1, 9,=а,; Ра=а„Ч,.=а,а,+1; Как показал Хинчнн, для всех чисел аа, за исключением множества меры нуль, последовательность чисел а,.
~'К, $~К." . Га„," сходится к абсолютной постоянной, равной „', 2 . 121п2 Мы закончим на этом наш краткий очерк достижений русских ученых в области теории чисел, хотя мы н не коснулись в нем весьма важных исследований советских математиков Б. Н. Делоне, Б. А. Венкова, Н. Г.
Чеботарева и др., относящихся к другим разделам этой науки. ф 20. СОВЕТСКАЯ ШКОЛА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Обыденные представления о случайных собьпиях. Мы перейдем теперь к краткому описанию того, что сделано советскими учеными в области науки о случае, ставшей со времени Чебышева как бы национальной русской наукой. Ее успехи, пожалуй, более чем какой-либо другой части математики, являются успехами русских и советских ученых. В обыденной речи каждый слышал и сам нередко употреблял выражения вроде следующего: «наша встреча была делом случаяа, «чистая случайность, что он выжиле Всякий раз при употреблении подобных выражений вкладывается в них тот смысл, что случайные события представляют собой нечто идущее в разрез с установившимся порядком вещей.
При таком представлении о значении случая естественно спросить себя о пользе науки, занимающейся его изучением. Мы начнем с ответа именно на этот вопрос и покажем, что ходячее представление об исключительности случайных явлений ничего общего не имеет СОВЕТСКАЯ ШКОЛА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 199 с действительным положением вещей.
На самом же деле, оказывается, случай проявляет себя повсеместно, каждое мгновение. Огромное количество явлений, закономерный характер которых для нас не вызывает сомнений чуть ли не с первых лет нашей более или менее сознательной жизни, в действительности представляет собой не что иное, как проявление законов случая. Рассмотрим несколько примеров. Примеры случайных событий.
Если кто-либо из читателей ежедневно ездит на работу или в учебное заведение трамваем, то он прекрасно знает, что трамвая иногда приходится ждать очень долго, а иногда удайтся попасть в него сразу без всяких ожиданий. Иногда трамвай переполнен, а иногда в нем удается проехать со всеми мыслимыми удобствами. Все эти колебания, изменения условий поездок читателю приходится испытывать на себе каждый день, хотяони иносят случайный характер; они не представляют собой ничего из ряда вон выходящего, наоборот, эти случайные колебания составляют неотделимую принадлежность нашего каждодневного житейского опыта. Возьмем другой пример.
При стрельбе по некоторой цели одним и тем же стрелком, из одного и того же оружия наблюдается так называемое явление рассеивания снарядов. Случайные уклонения снарядов от цели не представляют собой какие-то исключительные явления, наоборот, теория стрельбы считается с ними, как с одним из основных факторов стрельбы, тщательно их изучает и результатами этого изучения пользуется для выработки правил стрельбы, Известно, что механизмы собираются из деталей, при изготовлении которых невозможно добиться того, чтобы все они имели точно заданные размеры: неизбем<ны случайные уклонения от номинала (нормальных размеров).
Сборщик механизмов вынужден считаться с этим уклонением не как с чем-то исключительным, а как с повседневным явлением производства. При страховании посевов, скота, имущества от гибели никто не может предсказать, что случится в течение года с тем или иным гектаром посева, с той или иной лошадью, коровой, стем или иным домом и пр. Страховые органы както должны учитывать влияние случая.
И на этом-то все аоо РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКИ В ХХ ВЕКЕ стороннем учбте влияния случая построено всб страховое дело. Без умения правильно оценить шансы бедствий страховые органы сами могли бы оказаться перед перспективой бедствия — разорения и гибели. По современным физическим воззрениям всякий газ состоит из огромного числа отдельных частиц — молекул, находящихся в непрестанном хаотическом движении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
