Очерки по истории математики в России. Гнеденко (1946) (1185898), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Состояние газа — его давление, температура, вязкость и пр.— является проявлением совместного действия этих хаотически движущихся частиц. Так, давление газа определяется числом молекул, ударившихся в единицу времени о стенку сосуда, в который заключбн газ,и скоростями, с которыми произошли эти соударения. То и другое — дело случая. Таким образом, давление газа отдано во власть случая и вполне мыслимо, что в разные моменты времени оно будет сильно колебаться: например. все молекулы станут двигаться в сторону одной стенки и давление на нее будет максимальным, в то время как на другие — минимальным. Опыт учит обратному: давление газа одинаково во все стороны и при постоянной температуре постоянно.
Читатель, без сомнения, помнит закон, открытый на этот счет Паскалем. Чем же объяснить это наблюдающееся постоянство давления, не идет ли оно в разрез случайному характеру движения молекул7 Оказывается, что нет, и основные законы теории вероятностей дают возможность предсказать это. Более того, с этой точки зрения многие законы физики и химии — законы Бойля-Мариотта, Дальтона н др.— являются проявлением тех принципов, которые устанавливает наука о случае — теория вероятностей. Характерная особенность современных научных представлений. Нужно сказать, что вообще характерной особенностью развития научной мысли в последние десятилетия является бурный рост статистических концепций в различных областях естествознания. За эти годы с полной определйнностью выяснилось, что привлечение методов теории вероятностей к изучению принципиальных вопросов физики, астрономии, химии, биологии, а также техники стало неизбежностью.
Современные естественно-научные представления, связанные с развитием статистической физики, квантовой механики и др., привели к представлению о том, что все законы природы носят статистический соввтскля школА твою«и вввоятноства 201 характер, обусловленный огромностью числа частиц, из которых составлена материя. Именно в этих представлениях о процессах природы лежит причина того действительно серьбзного прогресса, который достигнут теорией вероятностей в сравнительно короткий срок; именно этим следует объяснить то значительное повышение интереса к науке о случае, которое наблюдается во всех странах в наши дни. Роль русской науки в развитии теории вероятностей. Как мы уже говорили, роль русской математики в развитии теории вероятностей чрезвычайно велика, и без всякого преувеличения можно сказать, что почти все основные идеи этой дисциплины, волновавшие ученых в последние десятилетия и волнующие их теперь, берут свое начало и получают широкое развитие в нашей стране.
Традиции серьезного, строго математического отношения к проблемам теории вероятностей, созданные Чебышевым, бережно хранятся советскими учеными. Зто обстоятельство позволило русской науке избежать тех разочарований, которые в начале прошлого века сменили на Западе бурное увлечение теорией вероятностей.
Отношение к теории вероятностей на Западе в Х1Х и начале ХХ века. Там, вслед за Лапласом и Пуассоном, большое число исследователей делало огромное количество попыток приложения ее результатов к самым разнообразным областям естествознания и человеческой деятельности.
Но многие нз них были настолько мало обоснованы, что впоследствии воспринимались как математический скандал. Эти неудачи повлекли за собой смену повышенного интереса полным неверием в возможность использования теории вероятностей как метода познания. Среди математиков Западной Европы приобрел господство взгляд на теорию вероятностей, как на науку второсортную и даже скорее как на своеобразное математическое развлечение, едва ли заслуживающее серьЕзного внимания.
Этим, повидимому, объясняется то обстоятельство, что в известном историческом обзоре «Развитие математики в Х1Х вене« Феликса Клейна совсем не нашлось места для описания достижений теории вероятностей. Успехи теории вероятностей в еб приложениях к различным областям естествознания — теории ошибок, кинетической теории газов и пр.— 202 РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКИ В ХХ ВЕКЕ долго не могли сломить уже установившихся ошибочных взглядов. И только, приблизительно, после первой мировой войны дальнейшее игнорирование науки о массовых явлениях стало невозможным. В ряде стран, в первую очередь во Франции, Италии, Швеции и США, отдельные ученые и группы ученых всерьез взялись за разработку проблем теории вероятностей.
Советские ученые и в условиях этого неизмеримо выросшего научного соревнования с учеными других стран не сдали своих позиций и попрежнему идут в авангарде науки о случае. Содержание теории вероятностей до Чебышева. Для того, чтобы лучше оценить вклад русских ученых в развитие интересующей нас науки, следует, хотя бы в нескольких словах, охарактеризовать ее состояние к середине Х1Х века, когда появились первые исследования Чебышева, положившие начало дальнейшим многочисленным работам у нас и заграницей.
В самом начале ХЧ1! 1 века швейцарским учбным Яковом Бернулли была открыта замечательная теорема, которую, без преувеличения, можно считать началом существования теории вероятностей как науки. Содержание этой теоремы состоит в следующем. Пусть наступление некоторого события зависит от случая; производится последовательность независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления этого события сохраняет постоянное значение р.
Тогда, если через Р обозначить число появлений события среди п первых из этих испытаний, то с вероятностью, сколь угодно близкой к единице (или, как говорили раньше, к достоверности), разность р — — стано- Р вится по абсолютной величине меньше любого положительного е, если только и достаточно велико. Значение теоремы Бернулли определяется тем, что она дает возможность установить связи между результатами эксперимеита и теоретическим коэффициентом — вероятностью и, в частности, по результатам эксперимента позволяет судить о величине вероятности р, когда она неизвестна. Однако, число В зависит от случая, и поэтому возможные уклонения й от р могут достигать и заметных значений.
и СОВЕТСКАЯ ШКОЛА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕИ 203 На естественный вопрос о том, с какими вероятностями эта величина принимает те или иные значения, французские математики Моавр и Лаплас дали ответ, ставший вторым основным предложением теории вероятностей. Оказалось, что для больших значений п вероятность неравенства (х р' лр(1 — р) почти не зависит от и и р и при и - ео приближается к некоторой определенной функции Ф(х), которая впоследствии получила название нормальной функции распределения, или закона Гаусса* ).
В начале Х! Х века известный французский математик Пуассон показал, что теорема Бернулли можеть быть получена в качестве следствия более общего предложения, названного им законом больших чисел. Теорема Пуассона состоит в следующем. Если вероятность появления некоторого события зависит от номера испытания и для к-го испытания равна р,л то число р появлений этого события прн и независимых испытаниях с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, удовлетворяет неравенству !' р1+Р2+".+Р«( 1-'- л л где е — любое положительное число, лишь бы и было достаточно большим. Этим же математиком было показано, что при малых р в схеме Бернулли вероятность равенства р=)е для больших зле-л значений и приближенно равна — ',, где ) =пр.
Большой раздел теории вероятностей был связан с теоремой Бейеса, позволяющей вычислять вероятности того, в каких условиях наступило событие, если эксперимент показал, что оно произошло. На ее базе возникла также огромная литература, посвященная вычислению вероятно- ') Функция Ф (х) определяется формулой: х м Ф(х)= — зл е ле.
р'з. 3 204 РАзвитие ИАтемАтики В хх Веке отей различных социальных явлений, в частности, правильности судебных приговоров,— литература, не оказавшая положительного влияния на развитие науки. Важная для приложений глава была создана исследованиями Котса, Лапласа, Лежандра, Гаусса и др., положивших начало теории ошибок.
Известно, что как бы хорошо ни были организованы измерения, невозможно получить абсолютно точного результата, всегда неизбежны ошибки измерений, зависящие от случая. Относительно них Лаплас и Гаусс показали, в частности, чтоесли принять принцип среднего арифметического, то ошибка измерения подчиняется нормальной функции распределения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
