Очерки по истории математики в России. Гнеденко (1946) (1185898), страница 44

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 44)

Процессы без последействия, только что рассмотренные нами, ни в коем случае не исчерпывают всех запросов естествознания к математике. В самом деле, ведь в многочисленных явлениях прошлые состояния системы оказывают весьма сильное влияние на вероятности ее будущих состояний, и пренебрегать этим воздействием прошлого нельзя даже при приближенной трактовке вопроса. Во многих случаях положение можетбыть исправлено изменением понятия состояния системы путем введения новых параметров.

Так, например, если бы изменение положения частицы в явлениях диффузии или броуновского движения мы стали рассматривать как процесс типа Колмогорова, то это означало бы, что мы при этом не принимаем в расчет ее инерцию. Введение в понятие состояния помимо координат частицы ее скорости исправило бы в этом примере положение. Однако существуют многочисленные случаи, когда положение не может быть исправлено, сколько бы новых параметров ни вводилось в определение состояния системы в данный момент. В первую очередь здесь следует указать на статистическую механику, в которой указание положений точки в той или иной ячейке дает только вероятностное суждение о будущем ее положении. При этом ознакомление с предыдущими положениями точки существенным образом меняет наши суждения об ее будущем.

Хинчин выделил важный класс процессов с последействием, так называемые стационарные процессы, однородно ведущие себя во времени. Мы скажем, что процесс 220 Рлзвитие млтемьтики В хх Вене х(1) стационарен, если распределения вероятностей для двух конечных групп переменных (х(1,),х(1,),...,х(1„)) и (х(1,+~),х(1,+~),...,х(1„+ч)) совпадают (и значит не зависят от ч). Числа и и ~, а также моменты 1„1„., 1,„ могут быть при этом выбраны совершенно произвольно. Понятно, что таких стационарных процессов, играющих важную роль в различных областях знания, можно указать сколько угодно.

Отметим сейчас же, что наиболее глубокое понимание многих акустических (скажем шума) и световых явлений, а также разыскание скрытых периодичностей, так интересующее геофизиков и метеорологов, возможно только в рамках стационарных процессов. В любом установившемся технологическом процессе внимательный глаз также легко найдет явления, представляющие собой стационарные процессы. Рассмотрим для примера процесс прядения. Значительная неоднородность свойств прядильных материалов (длина волокон, их крепость, поперечное сечение и пр.), колебания в скорости и равномерности подачи продукта на машинах в различные этапы процесса прядения и многие другие причины приводят к тому, что свойства пряжи меняются от одного сечения к другому.

При этом оказывается, что знание того или иного свойства пряжи в какой-либо одной части мотка не дает нам полного знания ее свойств в другой части. Но в силу того, что процесс прядения можно считать установившимся, не меняющимся со временем, вероятностные свойства любой части пряжи остаются одними и теми же, представляют собой стационарный процесс. Важность такого рода процессов была подмечена ещЕ до исследований Хинчина. Относительно их отдельные результаты были получены Е. Е. Слуцким, В. И. Романовским и др., в частности некоторыми геофизиками. Однако общее определение стационарных процессов и доказательство важнейших их свойств принадлежат Хинчину. Позднее многие математики и среди них Слуцкий, Н.%о(д, А. М.

Обухов, А. Н. Колмогоров и др. дали дальнейшее развитие теории Хинчина. Одни из этих работ имели своей целью получение чисто математических результатов, другие же ставили своей конечной задачей исследование конкретных задач естествознания (метеорологии, гидродинамики и др.) и техники. совитскля шьолл твовии вввоятностви 221 Влияние на классическую проблематику. Помимо значительного расширения науки о случае, теория случайных процессов иначе осветила центральную классическую задачу относительно предельных законов для сумм случайных величин.

Оказалось, что основные законы распределения, которые раньше получались как асимптотические, в теории стохастических процессов играют роль точных решений соответствующих дифференциальных уравнений. На этой почве возник ряд исследований, начатых А. Н. Колмогоровым и широко развитых С. Н. Бернштейном, А.

Я. Хинчиныгл и др., благодаря которым центральная предельная теорема теории вероятностей воспринимается теперь как частный случай единой общей теории. Исследования классической схемы последовательности случайных величин в связи с теорией стохастических процессов получили значительный толчок.

Исходным моментом для этого цикла работ явилось исследование Колмогорова об однородных случайных процессах с независимыми приращениями, относительно которых он установил, что все такие процессы управляются так называемыми безгранично делимыми законами«), и нашбл аналитическое представление этого класса законов. Если до этого интерес исследователей был сосредоточен на определении наиболее широких условий, при выполнении которых имеет место сходимость функций распределения сумм независимых слагаемых к нормальному закону, то теперь возник новый круг проблем, естественность и важность постановки которых для нас теперь не представляет сомнений.

Прежде всего была поставлена задача о разыскании всех тех распределений вероятностей, которые могут выступать как предельные для сумм независимых случайных величин. Иными словами, если имеется последовательность случайных величин, каждая из которых представляет собой сумму независимых слагаемых„ н функции распределения вероятностей сумм сходятся к предельной функции распределения, то что можно сказать о природе последнейр Так обще поставленная задача «) Закон распределения называется безгранично делимым, если он при лгобом и может быть представлен как закон распределения суммы л независимых одинаково распределенных слагаемых.

222 РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКИ В ХХ ВЕКЕ приводит к тривиальному решению †люб функция распределения может быть предельной в этом смысле. Однако в теории вероятностей всегда вводится ограничение, к которому приводят многочисленные задачи статистики и естествознания,— о малой роли отдельных слагаемых в сумме. При этом предположении предельное распределение вероятностей уже перестает быть произвольным. Колмогоровым была высказана гипотеза, что класс предельных в этом смысле законов совпадает с классом безгранично делимых законов.

Эта гипотеза Колмогорова была доказана в 1935 г. его учеником Г. М. Бавли, безвременно погибшим в 1941 г. во время бомбардировки Москвы, для того случая, когда дисперсии сумм, т. е. величины Е(з„— Ез„)*, ограничены константой, не зависящей от л. Через год Хннчнн дал полное ее доказательство без всяких дополнительных ограничений, наложенных на з„(в том числе не требуя существования конечных дисперсий у з„). Приблизительно в то же время (1935 г.) были найдены необходимые н достаточные условия для центральной предельной теоремы одновременно тремя авторами: Хинчиным, П. Леви и В. Феллером. Итоги этому плодотворному циклу исследований Московской школы теории вероятностей были подведены монографией Хинчина «Предельные законы для сумм независимых случайных величине (1938 г.). В связи с этими исследованиями, естественно, возник вопрос об условиях существования предельного закона для сумм, а таже об условиях сходимости к каждому данному предельному закону.

Полное решение этой задачи было дано в 1937 г, Б. В. Гнеденко. Развитый им общий метод доказательства предельных теорем для сумм независимых случайных величин позволил ему единообразно и с малым количеством вычислений изложить все накопившиеся в этой области факты, в том числе относящиеся к закону больших чисел (А.

А. Бобров, А. Н. Колмогоров, Д. А. Райков, В. Феллер, А. Я. Хинчин) и центральной предельной теореме, а также получить ряд новых результатов. Мы видим, что теория предельных законов приобрела по сравнению с совсем недавним прошлым значительную общность и что центральные задачи классической теории вероятностей вошли в ней как простейшие частные случаи.

Однако эта же общая точка зрения с полной отчбтливостью совнтскхя школа твовии вввоятноствй 223 позволила выяснить ту фундаментальную роль закона Гаусса, которая и обусловила то, что в течение почти двух столетий именно он был в центре внимания всех исследователей. Оказалось, что в то время как условия сходимости к закону Гаусса носят совершенно общий характер, не зависящий от природы отдельных слагаемых, в формулировки сходимости к другим законам входят требования, носящие весьма специфический характер. Исследования по математической статистике. Исследования по математической статистике не получили в России того размаха, которого заслуживает эта область науки.

Характеристики

Список файлов книги