Очерки по истории математики в России. Гнеденко (1946) (1185898), страница 46
Текст из файла (страница 46)
ов, !Он=десять тысяч тем лелдров, 10»=«то тысяч тем леолров, !Он=един чегион леодров, !Он=десять легионов леодров, 1С»»=сто лсгиснов леодров, 10 '=тысяча легионов леон,ов, 10м=десять тысяч легионов лео. лгов, 10м=сто тысяч легионов леодров, 10"=тьма ле"ионов леодров, 104'=десять тем легионов леолрон, 1Ом=сто тем легионов леодров, !Он=тысяча тем легионов лео дров, 1Ом=дссять тысяч тем легионов геод ов, 104'=сто тысяч тем легионов леодров, !Он=гран, 10"=колода, «Се;о числа больше нет».
системы наименований кола. !Осе, а !О". 2ЗО ДОПОЛНЕНИЯ ДОНОЛНЕНИЕ2 ЛИНИЯ, ОГРАНИЧИВАЮЩАЯ МАКСИМАЛЬНУЮ ПЛОЩАДЬ Для того, чтобы дать читателю хотя бы некоторое представление о задачах вариационного исчисления, мы приведем здесь решение так называемой задачи Дидоны, пользуясь при этом, однако, совершенно элементарными средствами. Заметим еще раз, что приводимое нами решение ничего общего не имеет с общими аналитическими прибмами, разработанными великим Эйлером.
4 Задача Дидоны формулируется так: нз всех плоских замннутых '),д линий данной длины найти ту, Ю которая ограничивает максимальную площадь. Прежде всего убедимся в том, что искомая линия должна бышь выпуклой. Действительно, если бы Фиг. с. это было не так, то на ней наш- лись бы две точки А н С такие, что обе ее дуги АВС и АРС, соединяющие эти точки, оказались бы по одну сторону от прямой АС (фиг.
8). Заменив одну из этих дуг, например, АВС, ее зеркальным отражением АВ'С относительно прямой АС, мы получили бы тогда новую замкнутую линию АВ'СРА, ограничивающую ббльшую площадь, нежели линия АВСРА, между тем как длины обеих линий равны. Назовем теперь диаметром любую прямую, делящую люполам длину нашей линии, и докажем, что каждый диаметр делит на две равные части также и площадь.
В самом деле, если бы это было не так, то нашелся бы диаметр АВ, делящий площадь на две неравные части В, и В, (фиг. 9). Пусть для определенности В,)З,. Рассмотрим зеркальное отражение АС'В дуги АСВ, ограничивающей большую площадь, относительно диаметра АВ. Ясно, что линия АСВС'А ограничивает ббльшую площадь, чем линия АСВРА, хотя их длины и одинаковы. 23$ цоцолнвпив з Искомая линия обладает еще следующим свойством: прямые, соединяющие любую ев точку С с концами любого еб диаметра АВ, образуют прямой угол (фиг.
10). Предположим обратное, т. е., что для некоторой точки С и некоторого диаметра АВ угол,~АСВ оказывается не прямым. Покажем, что в этом случае линия АСВА не Ъ ку рг Фиг. 9. Фиг. 1О. Фиг. 11. может ограничивать максимальной площади. С этой целью заметим, что площадь, ограниченная дугой АСВ и диаметром АВ, разбивается на следующие части: треутоль ник АВС и сегменты АСР и СВЕ, прилежащие к сторонам АС и ВС треугольника. Заменим треугольник АСВ прямоугольным с катетами, равными сторонам АС и ВС.
Приложим к катетам сегменты АСР и СВЕ и отразим зеркально около гипотенузы получившуюся фигуру. Мы получим в результате новую линию той же длины, что и первоначальная, но с ббльшей площадью. Действительно, площади этих фигур отличаются только площадями треугольников; из формулы же элементарной тригонометрии Яа = — АС ВС гбп ~ АСВ г следует, что треугольник с заданными сторонами АСи ВС достигает максимальной площади при прямом угле,~ АСВ.
Докажем, наконец, еще одно свойство искомой линии: все диаметры равны между собой и делят друг друга пополам. Действительно, пусть ЛВ и СР— какие-нибудь два диаметра (фиг. 11). Согласно только что доказанному, все углы ~АСВ, ~~СВР, ~ВРЛ, ~РАС вЂ” прямые. Следовательно, фигура АСВР— прямоугольник. Это дока- гЗ2 дополнвния зывает наше утверждение. Так как, далее, по тольцо что доказанному все диаметры пересекаются в одной точке, то ясно, что искомая линия является окружностью. Итак, среди всех линий данной длины окружность ограничивает максимальную площадь.
ДОПОЛНЕННF 3 ПОЛИНОМЫ, НАИМЕНЕЕ УКЛОНЯНЙЦИЕСЯ ОТ НУЛЯ В этом Дополнении читатель познакомится с так называемыми полиномами, наименее уклоняющимися от нуля, и их простейшими свойствами. Открытие П. Л. Чебышевым этого интереснейшего математического объекта, как мы уже говорили, связано с постановкой и решением некоторых задач прикладной механики. Однако, и независимо от своего первоисточника, полиномы Чебышева играют серьезную роль в современной математике. Известно, что полиномом степени п относительно х называется функция следующего вида: ! (х) = а,х" + а,х" '+... + а„, где коэффициенты а„а„..., а„представляют собой независящие от х величины. В системе координат (х, у) функция у=/(х) изображает некоторую линию (фиг. 12).
Понятно, у-ггху что изменение хотя бы одного коэффициента а (т. е. а, илн а„ ... или а„) изменяет форму х гчафика функции у=1(х). Чебышев поставил перед собой и решил следующую задачу: из Фиг. 12. всех полиномов л-й степени с коэффициентом при старшей степени, равным единице, т.
е. из всех полиномов вида 1 (х) = х" + а,х" '+ а,х" '+... + а„ найти тот, который в промежутке изменения аргумента х от — 1 до 1 дает наименьшее уклонение от нуля. ДОПОЛНЕНИЕ Э 233 Более подробно эта задача может бьггь изложена следующими словами: рассмотрим какой-нибудь полинам указанного вида и найдйм те значения х, при которых ((х) принимает значения, по абсол1отной величине ббльшне окружающих. Такие значения на фиг.
13 отмечены точками с абсциссами — 1, х„х„х„1. Х Пусть т означает самую боль- ч х, ал; шую нз всех этих величин, т. е. т= шах 11(л) ). анг. 13 -!<хм! Нам нужно найти такой полипом ~,(х), для которого соответствующее число т= то было бы меньше, чем для всех остальных полнномов п-й степени с коэффициентом а,=1. Напомним, что корнем полпнома 1(х) называется такое число х„при котором /(х) обращается в нуль, т. е. / (х,) = х," + а,х,"- '+... -1- а„= О. В силу теоремы Безу, если х, является корнем полинома 1(х), то !(х) можно записать в виде произведения разности х — х, на полнном (и — 1)-й степени. Чйсло х, называется корнем 1(х) кратности (ы еслн / (х) = (х — х,)" <р (х), где т(х) — полинам степени и — к, причем О(х,)ФО.
Если х,, х„..., х„— все корни полинома ~ (х) кратностей соответственно равных Й„)с„..., Й„(К,+К,+...+1со=п). то, как это следует нз теоремы Безу, у(х)=(х-х,)" (х — х,)~ ...(х — х„)ьг. После этого напоминания перейдЕм к обнаружению и доказательству свойств полиномов Чебышева (т. е. полиномов, наименее уклоняющихся от нуля при — 1 <х <1).
С в о й с т в о 1. Полинам Чебышева п-го порядка в интервале — 1<х<1 имеет и различных вещественных корней. 234 дополнвния Д о к а з а т е л ь с т в о. Предполол им обратное, т. е. что наименее уклоняющийся от нуля полипом л-й степени /, (х) имеет только р (р <л) различных вещественных корней в интервале — 1 <х <1.
Пусть х„х„..., х„— эти корни. Отберем из них корни нечетной кратности, †т как нумерация корней в нашем распоряжении, то пусть это будут х,, х„ ..., х, (о <р), — и построим полнном р (х) = (х — х,) (х — х,)... (х — х,). Заметим, что полиномы /,(х) и м(х) либо при всех значениях х ( — 1 <х <1) принимают значения одного знака, либо при всех указанных значениях х — значения противоположных знаков. Действительно, 1,(х) можно записать в виде /,(х) =ф(х) (х-х,)" (х — х,)е' ... (х — х )ехл ф(х), где ф(х) — полипом порядка и — 2 (з,+за+...э+а ) — д, не имеющий вещественных корней в йнтервале — 1~~<х <1, а эм а„..., з„— целые неотрицательные числа.
Так как множитель (х — х,)" (х- х,)'и... (х — х„)-'а, очевидно, неотрицателен, а множитель ф(х) не может менять знак в интервале — 1 <х <1 *), то наше утверждение относительно знаков полнномовго(х) и ф(х) Доказано. Положим теперь М= шах !ф(х)! -1~х<1 и рассмотрим полипом /,(х) =/,(х) ~ Лср(х), где Х вЂ” любое число, заключенное между 0 и о, а знак перед вторым слагаемым берется противоположным знаку 1,(х). Ясно, что 1,(х) является полиномом н-й степени с коэффициентом 1 прн старшем члене. Так как, в силу х1 Иначе полипом ф(х) имел бы в этом интервале вещественныа корень. ДОПОЛНЕНИЕ Н 235 построения полинома /,(х) и сделанного выше замечания о знаках полиномов ),(х) и р(х) 1/,(х)) <1/а(х)~, то мы пришли к противоречию: нашЕлся полинам, укло- няющийся от нуля меньше, чем ),(х).
Таким образом, предположение, что р < л, невозможно. С в о й с т в о 2. В интервале — 1 <х <1 все макси- мальные уклонения иолинома )а (х) ош нуля равны между собой. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что это не так н прн некотором х'( — 1 <х' < !) функция 1)а(х)( до- стигает максимума, но и' =- ) у, (х') ( < ш,. Пусть х,<ха« ... х„— корни полинома ),(х), располо- женные в порядке их возрастания. Если хь<х'<ха+„то рассмотрим полинам ф (х) = (х — х,)... (х — х,,) (х — ха„)... (х — х„). Легко видеть, что значения функций ), (х) и Ф(х) всюду, за исключением интервала ха<х<ха+ь имеют одинаковые знаки *), а в этом исключительном интервале их знаки противоположны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
