Очерки по истории математики в России. Гнеденко (1946) (1185898), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Здесь русские ученые до снх пор еще не заняли руководящих позиций, и их вклад в развитие математической статистики состоит, преимущественно, не в создании новых концепций, а в открытии отдельных фактов. Многие из этих фактов, несомненно, принадлежат к числу лучших достижений науки н займут почЕтное место в курсах математической статистики. Конечно, многие из теоретико-вероятностных исследований имеют основное значение для статистики, как, например, закон больших чисел, центральная предельная теорема и др., но не они составляют ядро статистики и поэтому не изменяют данной нами характеристики состояния статистики в СССР. Число лиц, занимавшихся разработкой общих вопросов статистики, весьма невелико, хотя в области различных конкретных применений статистических методов имеется значительное количество исследователей, получивших ценные результаты.
Мы ограничимся рассмотрением лишь некоторых основных результатов. В соответствии с этим читатель найдет здесь далеко не все имена, способствовавшие распространению и усовершенствованию статистических методов. Мы не касаемся здесь также работ, относящихся к разработке вопросов конкретной статистики — сельскохозяйственной, демографической, финансовой, промышленной и пр. Мы начнем с изложения замечательного цикла исследований, начатого В. И.
Глнвенко и А. Н. Колмогоровым и широко развитого Николаем Васильевичем Смирновым. Зти исследования относятся к решению основной задачи статистики †установлен неизвестной функции распре- 224 РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКИ В ХХ ВЕКЕ деления по результатам наблюдений, а также характера сближения эмпирической функции распределения с тео- ретической.
Пусть некоторая случайная величина Е имеет Р(х)=Р(Е < х) своей функцией распределения, и Е„Е„..., ń— результаты и независимых наблюдений над Е. Эмпи- рическая функция распределения определяется формулой Р„(х) = —, А (х) л где к (х) — число наблюденных значений величины Е, мены ших чем х. Первый общий факт, обнаруженный в этом направлении, был доказан в 1933 г.
В. И. Гливенко. Оказалось, что если случайная величина Е имеет непрерывную функцию распределения, то с достоверностью можно утверждать, что при л -о со Р„(х) стремится к Р(х). Понятно, насколько важно для практики это утверждение. Другой общий факт был обнаружен в том же году А. Н. Колмогоровым.
Именно: если функция Р(х) непрерывна, то функции распределения величин 0„= шах ~ Р„(х) — Р (х) ) ~/и ОР<о<+Ф при и -о со стремятся к некоторой функции распределения Ф(Л), не зависящей от Р(х), а именно: оо ИшР(0„<Ц=Ф(Л]= ",Р ( — 1)'е-'и"'. о-н:о А -оо Приведенная теорема Колмогорова может быть использована в качестве критерия оценки согласия эмпирического и теоретического распределений. Идея этого критерия состоит в следующем: пусть из эксперимента мы установили, что при гипотезе распределения случайной величины Е по закону Р(х) величина 0„приняла значение Л, и вероятность Ф(Л), т. е.
вероятность неравенства 0„<Л, велика. Отсюда мы заключаем, что вероятность неравенства 0„) Л мала и что, значит, осуществилось маловероятное событие. По принципу практической невозможности маловероятных событий мы должны считать, что получившееся расхождение 0„не случайно и что наша гипотеза соввтснля школа твовип вввоятностви 225 должна быть подвергнута сомнению. Существенным преимуществом этого метода оценки согласия сделанной гипотезы с опытом является то, что вероятность Ф(Л) не зависит от вида функции Е(х) (ведь функция Р(х) нам неизвестна!). Для практического применения рассмотренного критерия были вычислены под руководством Н.
В. Смирнова таблицы функции Ф(>.). Как выяснилось позднее из исследований Н. В. Смирнова, распределение Ф(>,), найденное Колмогоровым, играет основную роль в целом ряде задач статистики. Среди значительного количества проблем, решенных Н. В. Смирновым в только что рассмотренном направлении, укажем одну.
Пусть х„х,,...,х„, и у„у„...,у„ представляют результаты независимых наблюдений над случайными величинами 1 и ч. Для статистики играет существенную роль установление правил, позволяющих судить о том, одинаково или различно распределение величин 1 и ». Для того, чтобы оценить важность постановки этой задачи, достаточно рассмотреть такой пример: для определения влияния некоторых агрономических мероприятий на урожай произведены две серии опытов; первая без применения, а вторая с применением этих мероприятий.
Как >ке обнаружить, случайны или не случайны расхождения в результатах опытами Такая же задача возникает, скажем, при сравнении урожайности различных сортов. Мы не умножаем примеров, так как читатель может их привести б з труда сам из разнообразных областей человеческой практики. Пусть Е„(х) и Е„,(х) обозначают эмпирические функции распределения для двух указанных серий наблюдений. Смирнов за меру их расхо>кдения предложил принять величину Р(п„п,) = шах 3Е,(х) — Г„(х) ~ >/ Если эта величина превзойдет некоторые границы, то расхождение считается существенным, и гипотеза о тождественности законов распределения величин, наблюден- 226 РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИВИ В ХХ ВЕКЕ ных в обеих сериях, ставится под сомнение.
Эта задача полностью решается следующим предложением: Если объемы л, и и., выборок неограниченно возраи, стают так, что отношение т = — ' остается постоянным, то л, Р(0(л„п,) ( Л)-+Ф(Л), где Л)0, Ф (Л) — определенная в предыдущей теореме функция. Три приведенные теоремы в достаточной мере характеризуют то новое направление в статистике, которое началось и разрабатывается в Москве.
Другой важный цикл работ, проводившихся в Москве, принадлежит Е. Е. Слуцкому и посвящен исследованию процессов, носящих циклический характер. Многочисленные явления природы, экономики, техники протекают во времени так, как будто бы им свойственны периодические изменения; максимумы и минимумы довольно правильно чередуются, но ни длины волн, ни величины ординат не повторяются в точности. Такие явления были предметом исследования многих ученых, исходивших нз той предпосылки, что на правильные колебания наслаиваются случайные влияния, создающие неправильности в течении процесса.
Во мно~их случаях эта точка зрения, однако, оказалась несостоятельной. Значительный сдвиг в изучении таких процессов был произведен Е. Е. Слуцким, исходившим иэ задач геофизики и экономики. Им был установлен тот основной факт, что такого рода псевдо-периодическая повторяемость может быть не следствием лежащей в основе явления периодичности„а результатом действия случайных причин. Пусть Е„6„..., с„,...— последовательность взаимно независимых случайных величин с одним и тем же законом распределения и а„а„..., а,.— некоторые постоянные; рассмотрим стационарную последовательность случайных величин е„Ч,,..., ч„,..., образованных по правилу ч„=а,1„+аД„„+...
+а„1„,». Указанный процесс образования последовательностей связанных случайных величин из независимых Слуцкий соввтснАя школа твогии вввонтностен 227 предложил называть подвижным суммированием. Оказалось, что последовательности такого рода способны имитировать процессы периодического характера. Более того, Слуцкий показал, что при некоторых условиях с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, на сколь угодно большом участке члены таких последовательностей не больше чем на е отклоняются от соответствующих ординат синусоиды. Этот результат Слуцкого был впоследствии обобщен В.
И. Романовским. Очевидно, что зти результаты Слуцкого близко соприкасаются с задачей определения периодичности. Развивая идеи, зало>кенные в этом исследовании, он изучил ряд конкретных примеров †периодичнос солнечных пятен, ряд Бевериджа (300-летний рпд индексов цен на пшеницу в Европе) н др.
н показал, что путем построения моделей рядов указанного типа можно с большой надежностью в некоторых случаях ставить под сомнение гипотезу периодичности, в других случаях получать ее подтверждение. ДОПОЛНЕНИЯ ДОПОЛНЕНИЕ 1 СЛАВЯНСКАЯ НУМЕРАЦИЯ Церковно-славянская письменность была создана в середине !Х века для южно-славянских народов, среди которых византийское духовенство вело интенсивную миссионерскую деятельность. Ее авторами были братья Константин (в монашестве Кирилл, ум.
в 869 г.) и Мефодий (ум. в 885 г.), уроженцы гор. Солуни (Салоники), сыновья византийского вельможи. Предложенный ими алфавит, так называемая кириллица, в своей основе имел греческие буквенные символы. Вместе с церковными книгами в конце Х века этот алфавит проник в Киевскую Русь. Как мы уже говорили в основном тексте книги, буквы церковно-славянской письменности одновременно служили и числовыми знаками. При этом, правда, были допущены искажения в отношении алфавитного следования букв. Так. два обозначалось не буквой «буки», как это было бы естественно, а буквой «веди»; девять обозначалось «фитой», тогда как эта буква помещалась в самом конце алфавита; точно так же «червь» обозначал девяносто, хотя место этой буквы было в самом конце алфавита.
Во всех этих неполадках сказалось греческое влияние: система числовых знаков по возможности точно воспроизводила греческую, а алфавиты славянский и греческий не совпадали. Для ознакомления приводим табличку славянской нумерации. Пополиецив е 4«а=бе З=б» $0. К = 20, ст = 30, 70, Й = Во, '»г»а 90, 400,Ф= 500,Х'= 000, также А= 900) А =!.
з, д= 9, 1= У,= 7, мл= 40. 50, '$ = 200,Т = бо, 0= 200, »»» = Р =!00, Щ = 700. О!= 900,Ц = 900,(или Приведем также полную таблицу числа великого словенского: !=елин, 10= десять, 100=сто, 1 Ооо=едина тысяча, 10000=десять тысяч, 100 000=сто тысяч, 1 000 000=едина тьма, 10' =десять тем, 10' =сто тем, 1О' =тысяча тем, 10м=десять тысяч тем, 1Ои=сто тысяч тем, 10'=един легион, 1О"=десять легионов, 10'»=.сто ле: ионов, !О"=тысяча легионов, !Он=десять тысяч легионов, 1О"=сто тысяч легионов, 10"=тьма легионов, 10м=лесять тем ле ионов, 10"=сто тем легионов, 1Ом=тысича тем легионов, 1О»'=дссять тысяч тем легион~ в, 1О"=сто тысяч тем летно. ное, !Он=един леолр, 1Оы лес~ ть леодров, Гоы сто леон! ов, Для полной стройности дой следовало бы назвать не !О»'=тысяча леодров, 1О"=десять тысяч леолров, 10»'=сто тысяч лсодров, 1О'=тьма леодров, 1О '=десять тем леодров, 10"=сто т,м лсолров, 10"=тысяча тем леод.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
