Очерки по истории математики в России. Гнеденко (1946) (1185898), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Аксиоматика. К двадцатым же годам, ~одам господства идей метрической теории функций, относятся исследования Колмогорова по основаниям теории вероятностей. Начиная с 1926 г. он занимался оформлением идей Московской школы в стройную логическую систему. Завершением этой работы явилась монография «Основные понятия теории вероятностей» (1933 г.). В ней была последовательно проведена идея включения математических основ теории вероятностей, науки еще недавно столь своеобразной, в ряд общих понятий математики. До создания и широкого развития метрической теории функций такая задача была почти безнадежна. Теперь же были вскрыты аналогии между мерой множества и вероятностью события, интегралом и математическим ожиданием, ортогональностью функций и независимостью случайных величин и пр., и назрела необходимость аксиоматизиро вать теорию вероятностей, исходя из теоретико-множественных представлений.
В основу построений Колмогорова положено множество 6 элементарных событий. Что представляют собой элементы этого множества — для логического развития теории вероятностей совершенно безразлично. Поэтому теория вероятностей допускает большое число различных интерпретаций, в том числе и таких, которые не имеют к понятию случайного никакого отношения. Понятно, что это обстоятельство только увеличивает поле возможных областей приложения теории вероятностей. Рассматривается далее множество Я подмножеств из Д; элементы этого множества нызываются случайными событиями.
Мы видим, таким образом, что понятие случайного события у Колмогорова строится, исходя из более элементарных понятий, тогда как С. Н. Бернштейн берет само это понятие за исходное. Случайные события и их вероятности подчиняются далее следующим аксиомам: 1. Если случайные события А и В входят в состав Я, то события А илн В, и А и В, не А и не В также содержатся в 5.. сОветскАЯ шкОлА теОРии ВИРОЯтностеи 215 2. Я содержит в качестве элементов множество Д и все отдельные его элементы.
3. Каждому элементу А из т. поставлено в соответствие неотрицательное вещественное число Р(А), называемое вероятностью события А. 4. Р(ф) =!. 5. Если А и В несовместимы и принадлежат т-, то Р (А илн В) =Р(А)+Р(В). Для бесконечных множеств Я предполагается также выполненной следующая аксиома: б. Если пересечение последовательности событий А,' ЭА, ЭА,:Э... эА„— )...*)пусто, то 1пп Р(А„) =О. и-нв Для конечных множеств эта аксиома является следствием первых пяпп На основании приведенных аксиом Колмогоров дал построение начал теории вероятностей.
Это его исследование немало способствовало тому, что теория вероятностей окончательно определила себя как математическая наука. В настоящее время оно получило широкую известность и всеобщее признание, а изложенные там идеи стали руководящими во всех современных работах, посвященных теории вероятностей.
Теория стохастических процессов. Совершенствование физической статистики, а также ряда областей техники поставило перед теорией вероятностей большое число совершенно новых проблем, не укладывающихся в рамки классических схем. В то время как физика интересовало изучечение случайных процессов, т. е. величин, претерпевающих случайное изменение в зависимости от одного или нескольких непрерывно изменяющихся параметров — времени, координат и пр., математик мог ему предложить только приемы, годные для дискретных последовательностей, т.
е. того случая, когда параметр меняется скачкообразно, принимая лишь целые значения. Ряд физиков (Планк, Смолу- е) Запись А ~ В оаначает, что множество В есть масть множества А. 216 РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКИ В ХХ ВЕКЕ ховский, Эйнштейн, Фоккер н др.), биологов (Фишер) и некоторые техники (Фрай) были вынуждены стать на путь самостоятельного построения теоретико-вероятностных схем по различным частным поводам. Остро чувствовалась необходимость в создании единой математической теории, которая позволила бы дать общую трактовку всего круга возникших проблем и схем течения случайных процессов. Первая попытка такого рода была предпринята французским математиком Башелье около 1900 г., но эти исследования прошли незамеченными, да и математический уровень их был невысок.
В 1931 г. появилась работа Колмогорова «Об аналитических методах в теории вероятностей» (русский перевод — в «Успехах математических наук«, вып. Ч), е которой было дано первое систематическое и строгое изложение основ теории стохастически определбнных процессов без последействия. Приблизительно в то же время Хинчнн начал разработку теории другого важнейшего класса стохастических процессов †т называемых стационарных процессов. Многочисленные математические результаты, широкие возможности приложений к естествознанию, а также преобразование классической проблематики, связанное с теорией стохастических процессов, привели к тому, что эта теория ознаменовала новый этап в развитии теории вероятностей и в настоящее время стала основным полем приложения творческих усилий математиков-вероятностников как у нас, так и заграницей.
Процессы без последействия. Постараемся теперь вкратце охарактеризовать эту новую главу теории вероятностей. Для начала я приведу выдержку из только что цитированной работы Колмогорова, посвящбнную проведению аналогии между задачами теории стохастических (случайных) процессов и задачами классической механики. «Желая подвергнуть математической обработке явления природы или социальной жизни, необходимо, предварительно, эти явления схематизировать; дело в том, что к исследованию процесса изменения некоторой системы математический анализ применим лишь в том случае, если предположить, что каждое возможное состояние этой системы может быть вполне определено с помощью известного математического аппарата, например, при помощи значений, принимаемых известным числом параметров; такая мате- сОВетскАя шкОЯА теоРии ВеРОятнОстей 217 магически определимая система есть не сама действительность, но лишь схема, пригодная для описания действительности.
Классическая механика пользуется лишь такими схемами, при которых состояние у системы для момента времени 1однозначным образом определяется ей состоянием х в любой предшествующий момент 1,; математически это выражается формулой Если такая однозначная функция 1 существует, как это всегда предполагается в классической механике, то мы говорим, что наша схема есть схема вполне детерминированного процесса.
К числу вполне детерминированных процессов можно было бы отнести, кроме того, процессы, в которых состояние у не вполне определяется знанием состояния х для единственного момента времени 1„ существенным образом завися ещб отхарактера изменения этого состояния х перед моментом 1,. Однакообычно предпочитают избегать такой зависимостй от предшествующего поведения системы, для чего расширяют само понятие состояния системы в момент времени 1 и, соответственно этому, вводят новые параметры (например, в классической механике, помимо координат точек системы, рассматриваются также компоненты их скоростей). Вне области классической механики, наряду со схемами вполне детерминированных процессов, часто рассматривают и такие схемы, где состояние х системы в некоторый момент времени 1, обусловливает лишь известную вероятность для наступления возможного состояния у в некоторый последующий момент 1>1,. Если при любых заданных 1„1> 1, и х существует определенная функция распределения вероятностей для состояний у, мы говорим, что наша схема есть схема стохастически определенного процесса.
В общем случае эта функция распределения представляется в виде причбм Е обозначает некоторое множество состояний у, а Р есть вероятность того, что в момент 1 окажется реализо- 218 РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКИ В ХХ ВЕКЕ ванным одно из состояний у, принадлежащих этому множествум Читатель без труда заметит, что процессы, рассмотренные Колмогоровым, представляют собой дальнейшее развитие схемы цепей Маркова. Для нас важно то, что Колмогоров не только предложил идею Маркова распространить со случая конечного числа состояний на случай произвольного множества состояний и на непрерывное время, но и установил те общие законы, которыми управляются такие процессы. Найденные им дифференциальные уравнения, которым подчинены вероятности Р11„х, 1, Д), получили название уравнений Колмогорова.
Работа Колмогорова явилась источником для большого числа исследований по теории случайных процессов как унас,так и заграницей; мы отметим лишь некоторые из них. Для теории колебаний при наличии особых случайных возмущений весьма важно было изучить предельные закономерности при стремлении к нулю коэффициентов при вторых производных в уравнениях Колмогорова. Ряд результатов в этом направлении был получен А. А.
Андроповым, Л. С. Понтрягиным и др. Из других применений следует указать на работы Колмогорова и М. А. Леонтовича о броуновском движении, Леонтовича по теории бимолекулярных реакций, а также Колмогорова по теории скученности в связи с эксплоатацией телефонных сетей и пр. В работах И. Г.
Петровского и А. Я. Хинчина получила точное обоснование и дальнейшее развитие в свете стохастических процессов математическая теория диффузии; крупным событием в этом круге идей явилась монография Хинчина «Асимптотические законы теории вероятностейь (1933 г.). В ней был рассмотрен ряд задач, связанных с проблемами блуждания (диффузии) частицы по прямой и в плоскости. Эти задачи в простейших случаях сводятся к хорошо известным схемам сумм случайных величин. В 1933 г. в работу по теории стохастических процессов включился С.
Н. Бернштейн. Исходя из уравнений, которым удовлетворяют вероятности приращения случайных величин за конечный промежуток времени Аг, он доказал ряд важнейших результатов относительно их предельного поведения при Аг, стремящемся к нулю. Далее он подверг сОВетскАЯ шкОлА теОРии ВеРОЯтпостеи 219 глубокому анализу уравнения Колмогорова с целью установления условий, при которых они действительно дают решения, удовлетворяющие требованиям теории вероятностей.
В работах %. Ре!1ег'а, В. М. Дубровского, следующих идеям Колмогорова, развивалась теория чисто разрывных процессов, т. е. таких процессов, изменение которых происходит не непрерывно, а лишь в отдельные, случайно разбросанные моменты времени. Мы не станем останавливаться на указании тех весьма многочисленных примеров, как радиоактивный распад, капитал страховой компании и пр., которые являются объектом приложения развиваемой ими теории. Стационарные процессы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
