Очерки по истории математики в России. Гнеденко (1946) (1185898), страница 38
Текст из файла (страница 38)
В теории чисел уже давно стремятся к отказу от чуждых методов анализа и к разысканию элементарных *) Доказательство же еб но>ино найти хотя бы в книге И. В. Арнольда «Теория чисел». Учпедгиз, 1939. советскАя шкОлА теовии чисел 189 приемов доказательств. Это удается пока с большим трудом. Каждая проблема требует для себя особого подхода. Для проблемы Варинга такое элементарное решение в 1942 г. было найдено молодым ленинградским математиком Ю.
В. Линником (род. 1915); он использовал при этом лишь такие сведения, которые хорошо известны или легко могут быть поняты школьниками !0-го класса. Правда, нужно сказать, что хотя решение Линника элементарно,— оно совсем не просто и требует от читателя значительного внимания и напряжения. Проблема Гольдбаха. В 1742 г. академик Х. Гольдбах в письме к Л.
Эйлеру высказал предположение, что каждое целое число, большее трбх, может быть разложено на сумму не более чем трех простых чисел. Эйлер тут же заметил, что для доказательства этого предложения достаточно обнаружить, что каждое частное число может быть разложено на сумму двух простых. Многочисленные попытки доказать гипотезу Гольдбаха заканчивались неудачей. Конечно, не было недостатка и в попытках путбм экспериментальной проверки натолкнуться на противоречащий пример.
Сначала Г. Кантор проверил все числа до 1000, Обри продолжил исследование до 2000, Миле в 1911 г. довел изучение всех чисел до 9 000 000. Всб напрасно — противоречащих гипотезе Гольдбаха примеров не находилось. Вместе с тем, в деле доказательства этого предлолгения никаких продвижений всб же не получилось: ведь проверено было только конечное число чисел, а бесконечное множество их, основная их масса так и осталась нерассмотренной.
Из всех этих безуспешных начинаний был сделан довольно безутешный вывод: «Проблема Гольдбаха превосходит силы современной математиким Эти слова были сказаны в 1912 г. на Международном математическом конгрессе в Кембридже одним из лучших знатоков теории чисел начала нашего века — Ландау. Первый крупный успех в решении проблемы Гольдбаха был достигнут в!930 г.
молодым советским математиком Львом Генриховичем Шнирельманом (!905 — 1938). С помощью особого разработанного им призма, о котором мы скажем позднее, ему удалось показать, что всякое целое 190 РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКИ В ХХ ВЕКЕ число может быть представлено в виде суммы не более чем, примерно„800000 простых чисел. Принципиальный шаг был сделан, оставалось улучшать изобретенный метод и уменьшать полученную оценку. На этот путь и встали многие математики как у нас, так и заграницей.
В 1935 г. воспитанник Московского университета, томский математик Н. П. Романов (род. 1905), уточнив некоторые неравенства в методе Шннрельмана, показал, что число необходимых слагаемых не превосходит 2208. Через год целая группа математиков — Гельбронн, Ландау и Шерк, улучшив оценки Шнирельмана-Романова, уменьшили верхнюю границу для числа необходимых слагаемых до 7! .
Наконец, в ! 937 г. итальянский математик Ричи уменьшил это число еще на 4, доведя его до б7. Понятно, что такое понижение верхней границы для числа слагаемых могло бы продолжаться и дальше и продлилось бы еще неизвестно сколько лет. Ведь если бы и дальше удалось ежегодно снижать ее на 4 единицы, то и тогда работы хватило бы на 1б лет. Положение было изменено новым привходящим обстоятельством. В том же 1937 г. академику Виноградову удалось, улучшив свой метод тригонометрических сумм, показать, что всякое нечетное число, большее некоторого числа М„является суммой не более чем трйх простых.
Отсюда для четных чисел немедленно вытекало, что они являются суммой не более чем четырех простых. Результат Виноградова быстро облетел математический мир и еще выше поднял славу советской математики. В обзорных докладах, прочитанных в математических обществах франции, Англии и других стран, специалисты называли теорему Виноградова одним из самых блестящих проявлений человеческого гения в ХХ веке, Лондонское Королевское общество*) избрало Виноградова своим членом. Лев Геирихович Шиирельман принадлежит к наиболее блестящим и глубоким математическим дарованиям нашего времени.
Его исследования отличаются богатством идей, простотой и вместе с тем изумительной глубиной исходных точек зрения. Он родился в семье учителя в г. Гомеле в 1905 г. Уже 12-летним мальчиком он обнаруживал *) Английская Академия наук. СОВЕТСКАЯ ШКОЛА ТЕОРИИ ЧИСЕЛ 191 необыкновенные математические способности и предпринял самостоятельные исследования в области алгебраических уравнений. 16-летним юношей Шнирельман поступил в Московский университет, в два с половиной года закончил его и за~ем поступил в аспирантуру Научно-исследовательского института математики при том же университете. За время аспирантуры он много и плодотворно работал совместно с Л.
А. Люстерником 1род. 1898) в области геометрии и вариационного исчисления. Тогда ими совместно была решена знаменитая и долго не поддававшаяся решению проблема о трех замкнутых геодезических, поставленная ещб в конце прошлого века французским Аштематиком А. Пуанкарэ. В 1929 г. Шнирельман окончил аспирантуру и в качестве профессора математики уехал в Новочеркасск. Там он натолкнулся на изумительно простую и смелую идею рассматривать общие свойства произвольных числовых последовательностей. На этом пути ему удалось сделать первый шаг в решении проблемы Гольдбаха, продвинуть и уточнить решение проблемы Варинга и других задач, а также выдвинуть важные гипотезы, сделавшиеся на долгие годы предметом работы многих крупных математиков как советских, так и иностранных.
Осенью 1930 г. Шннрельман вернулся в Москву, через три года был избран членом- корреспондентом Академии наук СССР, а еще через пять лет нелепая смерть оборвала его жизнь, вырвав из рядов советских математиков одного из самых ярких их представителей. Работы Шнирельмана сравнительно немногочисленны, так как он чрезвычайно строго относился к своим исследованиям; но именно поэтому каждый его мемуар, являвшийся произведением блестящего таланта и глубокого ума, был крупным математическим событием. Метод Шнирельмана.
Мы хотим теперь в нескольких словах описать тот прием, с помощью которого Шнирельман доказал свою замечательную теорему о представлении произвольных натуральных чисел посредством сумм прость.'х. Этот прием основывается на понятии плотности последовательности. Под этим разумеется следующее. Пусть О, п„л„. 192 влввитив млтвмлтики в хх ввкв — некоторая последовательность целых чисел. Обозначим через М (х) число чисел этой последовательности, отличных от нуля и не превосходящих х.
Совершенно очевидно, что при любом х отношение И (х) к х не больше чем 1. С другой стороны, это отношение может принимать только неотрицательные значения. рассмотрим теперь наибольшее из тех чисел а, для которых отношение 1ч'(х) к х остайтся при любых х ббльшим чем а. Эта верхняя граница чисел а и называется плотностью последовательности.
Если плотность последовательности равна 1, то ясно, что последовательность содерн<ит все натуральные числа. Шнирельман ввел далее понятие о сумме двух (и нескольких) последовательностей. Пусть (лс) и (т>)а) — две последовательности. Под сумлюй этих последовательностей мы понимаем новую последовательность, составленную из всех чисел вида л;+ть При этом, как оказывается, плотонсть суммы последовательностей положительной плотности больше плотности каждого из слагаемых и, если плотности слагаемых не убывают слишком быстро до нуля, то, взяв достаточно большое число слагаемых последовательностей, можно добиться того, что плотность суммарной последовательности будет как угодно близка к единице. Ясно, что проблема Гольдбаха может быть сформулирована теперь так: показать, что плотность суммы трех последовательностей простых чисел равна единице.
Шнирельману удалось доказать более слабое предложение: что последовательность, состоящая из всех простых чисел, хотя и имеет плотность, равную нулю, но, просуммированная сама с собой, дает последовательность уже положительной плотности. Отсюда и вытекает высказанг ое ранее предложение Шннрельмана о разложении натуральных чисел на ограниченное число простых слагаемых. Совершенно очевидно, что только что изложенный подход применим также к проблеме Варинга.
Для этого нужно только показать, что последовательность, составленная из чисел О, 1", 2", 3",..., сложенная сама с собой достаточно *) Значком 1 л,> мы для краткости обозначаем последовательность О, л,, л,, н„... СОВЕТСКАЯ ШКОЛА ТЕОРИИ ЧИСЕЛ 193 большое, но ограниченное (зависящее от числа и) число раз, дает последовательность плотности единица. Этот прием был использован как самим Шнирельманом, так впоследствии и Линником при элементарном доказательстве проблемы Варинга.
Седьмая проблема Гильберта. На Международном математическом съезде в 1900 г. один из крупнейших математиков начала ХХ века Д. Гильберт выступил с докладом о труднейших проблемах современной математики, ждущих своего решения. Таких проблем он перечислил 23, среди них под номером 7 находилась следующая проблема арифметического характера. Известно, что алгебраическим числом называется число, которое может быть корнем какого- либо уравнения а,х" +а,х '+... +а„=О с целочисленными коэффициентами а„а„..., а„(л >1).
Всякое неалгебраическое число называется п~рансцендентным. В Дополнении 4, познакомившись с понятием множества, мы увидим, что трансцендентных чисел неизмеримо больше, чем алгебраических. Однако конкретных примеров трансцендентных чисел известно очень немного. Первые примеры таких чисел были указаны в 1851 г. французским математиком Лиувиллем. Затем в 1873 г. французскому математику Эрмиту удалось установить трансцендентность важного для математического анализа числа е. Через девять лет, опираясь на результат Эрмита, Линдеманн доказал трансцендентность числа в. Этим была окончательно доказана невозможность решения задачи о квадратуре круга с помощью циркуля и линейки.
Указание новых классов трансцендентных чисел, естественно, представляет значительный интерес. Гильберт в своей седьмой проблеме высказал следующее предположение: всякое число вида аа, где а и р — алгебраические числа, причем О~ачь1, а р иррационально, есть число трансцендентное. В этой задаче все было неизвестно, неизвестно было даже, рациональны, трансцендентны или иррациональны, но алгебраичны хотя бы такие простые числа, как ео и 2"' .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
