Очерки по истории математики в России. Гнеденко (1946) (1185898), страница 35
Текст из файла (страница 35)
С. Бюшгенс, С. П. Фиников и др.). Интерес к определенной, сначала узкой, области науки у целого поколения математиков пробудился лишь в годы, йепосредственно предшествовавшие Великой Октябрьской социалистической революции. Математической идеей, зажегшей научный энтузиазм как молодЕжи, так и некоторых представителей старшего поколения ученых, была идея множества и связанная с ней широкая перспектива изучения основного понятия математики — функции. 174 РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКИ В ХХ ВЕКЕ В ту пору теория множеств и создаваемая на ее базе теория функций были еще совсем молодыми науками, только, только получившими во Франции в руках Бореля, Лебега, Бэра серьезный толчок к развитию. Введенные этими учеными понятия меры множества н измеримой функции оказались исключительно продуктивными; они как бы открыли в математике новую необычайно мощную золотоносную жилу, разработка которой требовала научной отваги, талантов, смелых искателей новых идей и истин.
Теперь эта область математики далеко продвинута вперед, ее идеи проникли буквально во все разделы математики, и дальнейшее их развитие уже немыслимо без серьйзного владения методами теории множеств и построенной на ее базе теории функций. Доля Московской математической школы в этом значительном шаге науки к прьгрессу весьма существенна. Имена ее виднейших представителей — Н.
Н. Лузина, А. Я. Хинчина, П. С. Александрова, А. Н. Колмогорова, В. В. Степанова, Д. Е. Меньшова, Л. С. Понтрягина, М. А. Лаврентьева и многих других — широко известны во всем математическом мире Измеримые множества и измеримые функции. Прежде чем переходить к изложению обстоятельств возникновения и развития Московской математической школы, мы должны познакомить читателя с понятиями измеримых множеств и функций, постоянно используемыми в современной математике. Мы будем предполагать, что интуитивное понятие множества точек на прямой имеется у каждого читателя.
Каково это множество,— зависит от условий задачи. Так, нам может встретиться необходимость рассмотреть множество всех рациональных дробей, меньших единицы, или же всех корней квадратных уравнений с рациональными коэффициентами и т. д. В геометрии основное значение имеет измерение, т. е. сравнение размеров длин отрезков, площадей, фигур и пр. Спрашивается: можно ли сравнивать длины, протяженности множеств точек, расположенных на прямой линии7 В дальнейшем излагается процесс измерения длин множеств, предложенный французским математиком Лебегом. Мы ограничимся рассмотрением множеств, расположенных МОСКОВСКАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ШКОЛА 175 на отрезке от О до 1.
Читатель без труда увидит, как этот процесс осуществить для любого множества. Пусть на отрезке от О до 1 расположено некоторое множество точек, которое мы обозначим буквой т(. Для определения длины множества т1 мы употребим следующий процесс, который вполне можно сравнить с ловлей бабочек сачком. Разница будет только в том, что вместо сачка мы станем употреблять отрезки, будем ловить не бабочек, Фиг.
5 а точки, и употреблять станем сачки не стандартных, а все более н более малых размеров. Будем накидывать на наше множество ОХ отрезки (вообще говоря, в бесконечном числе) так, чтобы всякаяточкамножества попала хотя бы в один из отрезков, отрезки бы не перекрывались, а, быть может, только соприкасались (фиг. б, верхние отрезки). Путь т — нижняя грань суммы длин всех отрезков каждой такой системы. Поступим подобным же образом с дополнением к множеству 6, т, е. с множеством точек отрезка (0,1), не содержащихся в множестве ~Л.
Пусть для дополнения нижняя грань сумм длин покрывающих отрезков равна числу н. Если числа т н О удовлетворяют равенству и+1 =1, то множество т( называется измеримым, а число гл — его мерой. В дополнении 4, в котором мы рассмотрим несколько теорем о множествах, мы увидим, что множество всех точек с рациональными координатами имеет меру О. В середине прошлого века в отношении понятий функции произошел коренной перелом. До этого временй под функцией понимали только зависимость, для которой существует аналитическое выражение.
Разв1ггие математики показало, что такое представление о функции страдает неопределбнностью: для целого ряда зависимостей, которые не считались функциями, удалось найти аналитические выражения. Особенно важная роль в этом принадлежит французскому математику первой половины Х!Х 176 РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКИ ВХХ ВЕКЕ века — Фурье, указавшему регулярный прием, посредством которого каждую периодическую функцию, удовлетворяющую весьма общим условиям, можно представить в виде суммы бесконечного ряда тригонометрических функциИ ~о 2+~~~~ (а„созйх+ Ь,ив йх) 1-1 — так называемого ряда Фурье.
Ряды Фурье уже в руках своего творца представили очень действенное орудие при решении задач математической физики. Приблизительно в то же время, как мы видели раньше, Лобачевский предложил изменить определение понятия функции и рассматривать еб как, вообще говоря, произвольный способ отнесения чисел различным значениям аргумента. Позднее такое же определение было дано немецким математиком Дирнхле и в настоящее время известно под его именем. Это понятие функции чрезвычайно широко, и, понятно, далеко не все функции играют в математике одинаково существенную роль. Оказалось, что наиболее важное значение принадлежит так называемым измеримым функциям, понятие о которых было введено БорелеА1 и Лебегом.
Говорят, что функция у=1(х) изы1ерима, если прилюбом М множество значений аргумента, при которых 1(х) меньше, чем М, измеримо. Оказывается, что определенный таким образом класс функций весьма широк и включает в себя, как часть, все непрерывные функции. С понятием множества и измеримой функции связаны появление и расцвет Московской математической 1лколы, по праву завоевавшей себе ведущее положение в мировой науке. Возникновение Московской математической школы тесно связано с именами двух крупных математиков — Дмитрия Федоровича Егорова (1869 †19) и Николая Николаевича Лузина (род. 1883). Егоров начал свою работу в геометрии н получил в ней ряд ценных результатов.
Однако основная его заслуга состоит в том, что он был организатором семинара по анализу, посвящавшегося из года в год различным областям математики, и начал культивировать в Москве современную тео- московскАя ЯАТБКАткчБскАя шкОлА 177 рию функции. Многие математики впервые столкнулись с наукой именно в этом семинаре. Широкое математическое образование Егорова и глубина читаемых им курсов привлекали к нему многочисленных учеников; из них выдвинулся ряд талантливых ученых, среди которых мы назовем академика Н. Н.
Лузина, В. В. Голубева, И. И. Привалова, В. В. Степанова (род. 1889). Приблизительно в 1910 г. Д. Ф. Егоров заинтересовался теорией множеств и теорией функций, бурно развивавшимися в ту пору. Основное новое понятие измеримой функции казалось настолько широким, обладающим настолько большим количеством особенностей по сравнению с гладкими (непрерывными и дифференцируемыми) функциями математического анализа ХЧ1!! и Х! Х веков, что казалось несомненным, что новое понятие очень далеко отстоит от старых привычных непрерывных функций. Но вот в 1911 г. Егоров, а вслед за ним Лузин доказали две замечательные теоремы, которые очень глубоко проникли в суть этого нового понятия.
Согласно теореме Лузина, все измеримые функции могут быть превращены в непрерывные, если только их значения изменить на множестве сколь угодно ьгалой меры. Понятно, что это множество меняется от функции к функции, зависит от еб свойств. Нам важно, что теорема Лузина позволила вполне разобраться в строении измеримых функций и показала„что все измеримые функции с точки зрения меры являются.
так сказать, испорченными непрерывными, но испорченными на множествах сколь угодно малой меры. Мы не останавливаемся ни на подробной формулировке теоремы Лузина, ни даже на общем рассказе о содержании теоремы Егорова* ). Скажем только то, что обе эти теоремы стали ценнейшими орудиями исследования в руках последующего многочисленного поколения московских математиков. Первое поколение учеников Лузина. Ряд математиков- студентов и среди них П. С.
Александров (род. 189б), Д. Е. Меньшов (род. 1892), М. Я. Суслин (1894 — 1919), А. Я. Хинчин(род. 1894), участниковсеминара Д. Ф. Его- ь) См., например, книгу Александрова П. С. и Колмогорова А. Н. евведенпе в теорию функций действительного переменногоа. 178 вхавития мьтямлтики в хх вякя рова, с осени 1914 г. начали работать под руководством Н. Н.
Лузина и образовали первое поколение его учеников. В 191б г. к ним присоединился П. С. Урысон (1894 — !924). В центре внимания этой группы молодых математиков, естественно, было то новое направление в теории функции, о котором мы только что говорили; прн этом Меньшов и Хинчин интересовались той частью теории функций, которая опирается на понятие меры множества, а Алескандров и Суслин — другой ей частью, обходящейся без этого понятия. Первая носит название метрической теории функций, а вторая — дескриптивной.
В начале 1916 г. почти одновременно в докладах Парижской Академии наук были напечатаны три студенческие работы. Это были работы Александрова о мощности так называемых борелевских множеств, Меньшова — о тригонометрических рядах и Хинчина — об интеграле. В следующем году за ним последовала замечательная работа Суслина, в которой были построены основы теории так называемых А-множеств, явившейся предметам дальнейших исследований Лузина и ряда советских, а также иностранных, главным образом польских, учйных. Каждая из четырех перечисленных работ была творением замечательного мастера, в которой тонкий анализ объекта изучения удивлял не меньше, чем окончательный результат. Мы в двух словах остановимся только на результате Меньшова.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
