Радушкевич Л.В. Курс статистической физики (1185139), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Оеобвнноети применения етатнетнчвекого метода к ква«теванным анатомам Основная задача статистики в применении к квантованным системам та же, что и в классической статистике, н сводится к нахождению распределения энергии в ансамбле из большого числа почти независимых подсистем (частиц). Эта задача для квантованных систем решается с помощью того же статистического метода, который был изложен выше. Макроскопические свойства системы, состоящей из большого числа микрочастиц, получаются по-прежнему как средние, взятые по совокупности. Метод Гиббса и в данном случае позволяет вывести основные термодинамические уравнения для квантованных систем, так как, рассматривая эти системы, мы можем, как делали раньше, образовать из них статистические ансамбли н, следуя Гиббсу, в дальнейшем пользоваться методами, описанными ранее.
Однако в связи со специфическими свойствами отдельных микро- частиц, рассмотренными в предыдущей главе, в наши прежние выводы следует ввести некоторые изменения, не вносящие, впро. чем, нарушений общего метода. Первое основное изменение касается определения состояния квантованной системы. Мы видели (глава И), что состояние микрочастицы в отношении энергии и других свойств определяется 'совершенно точно системой квантовых чисел, которые могут, следовательно, рассматриваться как параметры состояния. С другой стороны, состояние микрочастицы может быть описано с помощью обобщенных координат и импульсов обычной механики, но не вполне точно, а с известной оцениваемой погрешностью. Поэтому возникают две возможности оценки состояния системы и нахождения распределения по состояниям. Можно, во-первых, вообще отказаться от обобщенных координат и импульсов и рассматривать распределение частиц по различным квантовым состояниям; это соответствует полному и точному квантовому описанию состояния системы.
При этом следует учесть возможность вырождения, т. е. возможность таких состояний, когда один уровень энергии соответствует несколь- » Л Особенности примем. статистич. метода к квантованнмм системам 327 ким квантовым состояниям. Во-вторых, с помощью так называемого метода почти классического («квазикласснческого») приближения удается в ряде задач использовать обычный метод фазового пространства, вводя обобщенные координаты и импульсы.
Казалось бы, что между классическими и квантованными системами различие столь велико, что невозможно дать единого подхода к нх описанию. Из соотношения неопределенностей следует, что для квантованных систем принципиально имеется погрешность в оценке одновременных значений координаты и импульса и наименьшее произведение обеих погрешностей составляет величину порядка й. Если положить, что Ь=О, то мы получаем классическую систему, если же ЬчьО, то это соответствует квантованной системе.
Но было установлено, что имеется много случаев, когда мы можем рассматривать Ь как величину, не равную нулю, но настолько все же малую, что погрешности, связанные с принятием для нее конечного значения могут весьма мало влиять на результаты. В этом состоит сущность метода почти классического приближения, когда величина тт принимается весьма малой, но не равной нулю. Таким путем возможно учесть, с одной стороны, квантовомеханические свойства системы и, с другой — использовать универсальный статистический метод Гиббса с применением обобщенных координат и импульсов.
Границы этого метода почти классического приближения будут отмечены ниже. Далее необходимо отметить большое значение м е т о д а ф а з о в ы х я ч е е к в квантовой статистике. Эта возможность непосредственно вытекает из принципиальных соображений, позволяющих точно установить размер каждой ячейки. Как мы видели, в классической статистике размер ячейки (элементарного фазового объема) оставался в сущности неопределенным, несмотря на попытки Больцмана связать его с некоторыми условиями статистических расчетов (глава П, стр.
110). В квантовой статистике в почти классическом приближении, напротив, можно оценить величину элемента фазового объема исходя из соображений волновой механики. Мы отмечали, что произведение импульса на координату в механике называется действием. В квантовой теории Планка рассматривается квант действия, т. е. вводится представление о том, что всякое «действие» является кратным определенного элементарного наименьшего действия, которое во всех случаях постоянно.
Величина этого наименьшего действия представляет собой постоянную Планка Ь, имеющую размерность «действия», так как в системе Счев: [Ь)=эрг ° сек=г сме ° сек ', 328 Г л а в а Пl. Статистич. термооинааика на основе квантовая теории Таким образом, элемент действия, равный произведению элемента импульса на элемент координаты, не может быть И меньше — и, значит: 2н йр бу= —. и 2н ' Но произведение ЬР ° Лд для системы с одной степеньюсвободы представляет собой площадь фазовой ячейки в фазовой плоскости. Следовательно, написанное соотношение дает нам размер плоской элементарной ячейки. Дробление на более мелкие ячейки принципиально является недопустимым, так как Ь есть наименьшее действие.
То же непосредственно следует из соотношения неточностей: и Ьр Лд> —,. Это соотношение показывает, что произведение погрешностей в оценке координаты и импульса не может быть меньше и величины —, т. е. состояние одномерной системы мы не мо2я ' жем знать точнее, чем согласно написанному выражению. Следовательно, выбор ячейки величиной меньше Ь недопустим. Два состояния внутри ячейки размером й уже совершенно неразличимы, т. е. представляют собой одно состояние.
Возможно, конечно, дробление на более крупные ячейки, которые можно себе представлять как объединение нескольких элементарных квантовых ячеек в одну более крупную ячейку, называемую элементарной только условно. Однако применение таких укрупненных ячеек, строго говоря, допустимо только в статистике классических систем, где не учитывается квантовый характер действия и энергии. Если система обладает 1 степенями свободы, то, как мы видели, фазовый элементарный объем в м-пространстве есть; йтв=йЧМе пчт ' бРтйре ° ° ° йрр Это выражение, как легко видеть, состоит из ~ пар множителей с одинаковыми индексами. Для каждой пары согласно квантовому условию надо теперь положить: поэтому элементарный фазовый объем для квантованной системы должен быть равным: Лто=МтоРт ' МегеРе ° йЧ~ гирс=йй Э Л Особенности нримен.
статистич. метода к коантоеаннмм системам 329 Наконец, для ансамбля квантованных систем, взятом в почти классическом приближении и состоящим из У микрочастиц в фазовом Г-пространстве, элемент объема, или объем фазовой ячейки, должен быть: тзье=гтт)иЛРы ° ° ° цт)емпрттт ° ° цг(ммбРмм=п~~, (7,2) или если Г=рч есть общее число степеней свободы, то (7,2') Таким образом, квантование действия и соотношение неточностей принципиально устраняют произвол в делении фазового пространства на элементарные ячейки и дают возможность установления величины последних. Эта,особенность квантовых представлений являет собой важное свойство, позволяющее последовательно применять метод фазовых ячеек в квантовой статистике в почти классическом приближении.
Мы увидим, что отсюда вытекает ряд упрощений в расчетах квантованных систем. Нельзя не заметить, что разделение фазового пространства на ячейки в классической статистике уже подразумевает в скрытом виде квантование состояния систем. Следует обратить внимание, что произведенное дробление фазового пространства на квантовые ячейки является весьма тонким, так как й имеет величину порядка 1О те зрг ° сек. В этих условиях требование Больцмана, чтобы в одной ячейке содержалось достаточно большое число систем, никогда не соблюдается.
Простой расчет показывает, что для обычных микро- систем большинство квантовых ячеек остается вообще пустым и во многих из них содержится по одной или по две частицы. Число ячеек получается больше числа взятых частиц. Однако общие статистические методы без оговорки Больцмана и в таких условиях позволяют найти распределение и вычислить вероятность макросостояния (о чем сказано ниже). Следовательно, одна из трудностей классической статистики, состоящая в необходимости деления фазового пространства на ячейки неопределенных размеров, устраняется применением квантовых представлений, приводящих к совершенно определенным размерам ячеек, т. е.
элементарных объемов. Заметим, что введенные нами ячейки соответствуют различ. ным квантовым состояниям системы. Для решения многих задач статистики нам необходимо будет переходить от распределения систем по отдельным ячейкам к распределению по энергиям. Выделим какую-либо определенную часть фазового про- 330 Глава 01. Статистик. тер»»одинамика на основе квантовой теории странства, которой соответствует изменение энергии в интервале от Е» до Е»+ЬЕ» и которая имеет фазовый объем»т(с.
Этот объем заполнен конечным числом квантовых фазовых ячеек, которое теперь легко подсчитать, зная объем каждой ячейки. На основании сказанного число ячеек а» в рассматри* наемом объеме Г-пространства есть и, значит, дф (Е) дЕ Таким образом, число ячеек, или, что то же, число состояний с энергией от Е» до Е»+ЬЕ» равно: л= — ° 1 дФ (Е) ЬЕ. а~ де (7,3) Это общее соотношение дает возможность переходить от рас* пределения систем по состояниям к распределению по энергии. Очевидно, величина 1 дФ (Е) 0= —— не дЕ представляет собой плотность распределения систем по энергиям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
