Радушкевич Л.В. Курс статистической физики (1185139), страница 58

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 58)

Обладая этой Вовки IЛ сн' 135 ! г.104 4.104 а 104 В. 104 Ряс. 38, 20в о08 Г л а в а т! Квантовол~еханические основы статистической тйиэики энергией, система наиболее устойчива, как это следует и из термодинамических соображений. На рисунке 38 приведена система уровней энергии атома водорода, где энергия выражена в вольтах. Заметим, что дискретный, или квантованный, ряд значений может иметь не только энергия микрочастицы, но также и другие величины, так, например, момент количества движения, магнитный момент и т. п. Известно, например, что в теории Бора момент количества движения электрона в атоме водорода квантуется, т.

е. подчиняется определенному квантовому условию. Подобные же квантовые условия выведены для различных величин и для других микрочастнц. Поэтому такие частицы мы будем называть квантованными микросистемами. Совокупность квантовых чисел для какой-либо микросистемы определяет ее свойства, точнее говоря, состояние, в котором она находится. Отсюда следует, что данное состояние микросистемы характеризуется набором квантовых чисел, который определяет собой выражение для волновой функции ф(о„д„..., д„) уравнения Шредингера.

Для дальнейшего весьма важно иметь в виду, что иногда нескольким данным квантовым числам соответствует одна и та же величина энергии. В этом случае для одного и того же уровня энергии имеется несколько независимых собственных волновых функций. Такие состояния называются в ы р о ж д е н н ым и.

Если одному уровню энергии соответствует йт разных состояний микрочастицы, то мы будем считать, что данный уровень д-кратно вырожден, а число йт называть к р а т н о с т ь ю уровня или ст атистическим весом. Существование вырождения совершеяно чуждо классической физике, и поэтому оно нам в статистике Гиббса не встречалось.

Напротив, в статистике квантованных систем вырождение приходится учитывать при описании свойства системы. Заметим, что кратность вырождения данного уровня может изменяться за счет внешних воздействий на систему, а также вследствие взаимодействия микрочастиц. В последнем случае происходит расщепление уровней, в результате которого кратность их пропадает (д= 1), т. е. вырождение снимается. $4. Прнмвры прввтвйшнх квантвванных внвтвм Оставляя в стороне разнообразные и весьма сложные квантованные системы, которые подробно изучаются в теории строения атома и в квантовой химии, мы ограничимся двумя приме. 309 й 4.

Лриллеры простейших кеингоеонньт сигте.и — „, + —,, (Š— сл')ф=0, йел)л 8пет где лп — масса частицы, Š— ее полная энергия в каком-либо устойчивом состоянии и (л' — потенциальная энергия. Как из. вестно, для колеблющейся частицы: Ц = — епгоихи = 2лиептихи. 1 2 Поэтому — „, + — „, (Š— 2п'лтргихт) ф = О. йл4л 8ялт (6,2) йхл Для анализа решения это уравнение полезно преобразовать, положив: ая'т 4яетт а= — Е и 3=в ае Ь и вводя новую переменную: 3= ~/В.

Тогда из (6,2) получаем: йети г а — +( — — Р1ф=о. ййл 13 г (6,3) Величина а 2Е О= — =— ат при постоянной частоте т зависит только от энергии системы Е. Можно чисто математическим анализом уравнения (6,3) доказать, что волновая функция лр является конечной и однозначной рами простейших квантованных систем, на которых хорошо видны особенности свойств микрочастиц и которые сыграли важную роль при развитии квантовой статистики.

а) Л и н е й н ы й о с ц и л л я т о р. Мы называем линейным осциллятором микрочастицу, совершающую гармонические колебания. В классической механике энергия подобной системы может быть совершенно произвольной. Однако уже в первоначальной квантовой теории излучения Планка приходится, как мы видели (стр.

294), допускать, что энергия осциллятора распределяется в виде квантов. Современная квантовая механика осциллятора последовательно приводит к тому же выводу, хотя с некоторым отличием от прежней квантовой теории. Устойчивое состояние осциллятора описывается с помощью волнового уравнения Шредингера, которое для данного случая имеет вид: 31О т' л а в а И. Квантовомеханические основы статистической физики функцией х только в том случае, если параметр 0 принимает ряд определенных значений, называемых характеристическими числами.

Для данной задачи эти характеристические числа представляют собой ряд целых нечетных чисел, так что 0 = — =2л+1, 2Е лч (6,4) где Н вЂ” так называемые полиномы Эрмита, имеющие значения: для 0=1, для 0=3, для 0=5, для 0=7, для 0=9, Н=1, Н=2х, Н= 4хт — 2, Н= 8х' — 12х, Н= 16хл — 48хз+ 12 и вообще для 0=2л+1 Н (2х)л л ( — ) (2х)в-2+ + л (л — 1) (л — 2) (л — 3) .2,л-в 1 ° 2 (2х) Из условия (6,4) следует квантовый характер распределения энергии осциллятора, так как нз — "=2л+1 2Е„ ьч где л=О, 1, 2, 3...

Только при условии (6,4) функция чр удовлетворяет требованиям конечности и однозначности, что является необходимым при решении всякой физической проблемы. При выполнении условия (6,4) мы можем дать описание осциллятора, как частицы, обладающей одновременно волновыми свойствами, и, найдя функцию ф, сможем установить вероятность тех или иных состояний этого реального микрообъекта в соответствии с требованиями волновой механики. При решении частных задач еще вводится требование, чтобы тр и ее первые производные асимптотически стремились к нулю при непрерывном возрастании координаты. Можно показать, что если условие (6,4) соблюдается, то для разных значений и общее решение уравнения Шредингера (6,3) имеет вид: м ф=Н в зп 4 4.

Примеры иростерших квантованных систем следует: (6,5) Е„= — '+ пй» = — (2п+ 1) Первое слагаемое в этом выражении есть величина постоянная, представляющая собой минимальную энергию осциллятора при п=О: (6,6) Это значение энергии называют нулевой энергией, и она не входит в первоначальную теорию Планка (стр. 297), который просто полагал, что энергия осциллятора является целым кратным кванта йч, начиная, таким образом, отсчет энергии со значения, соответствующего и= 1.

Новая теория показывает, что энергия осциллятора никогда не может быть равной нулю и даже в простейшем случае полного покоя осциллятор тоже колеблется с частотой т. Этот на первый взгляд парадоксальный вывод находится, однако, в полном соответствии с новейшими представлениями о свойствах микрообъектов. В самом деле, волновые свойства осциллятора коренным образом присущи ему как микрочастице и ни при каких условиях не могут исчезнуть. Если вести отсчет от так называемого основного состояния п= 1, то формула (6,5) показывает, что энергия осциллятора возрастает скачкообразно с ростом целых квантовых чисел и, т.

е. уравнением (6,5) утверждается дискретный характер распределения энергии осциллятора в устойчивом состоянии, когда его энергия является квантованной. Она может быть равной только Е1 = Ео+ йт41 Ез = Ео+ 2йч; Ез = Ео+ Зйч и т. д. Этот квантовый характер распределения особенно хорошо виден при изображении устойчивых состояний осциллятора в фазовом пространстве. На странице 184 мы показали, что стационарные колебания осциллятора на диаграмме (рис. 24) изображаются в виде семейства эллипсов с площадью: (6,7) которая численно равна величине «действия», Это положение справедливо в самом общем случае.

Вводя теперь условие квантования энергии, мы должны принять, что энергия Е в формуле 3!2 Г л а в а П. Двантовомеханические основа статистической финики (6,7) представляет сабо(т дискретный ряд значений, соответствующих различным состояниям осциллятора, т. е. должны положить: Е, = Ео+ плч. Отсюда следует, что площадь фазовых эллипсов не может ме- няться произвольно.

В самом деле, она равна ее+или л + 2 Таким образом, при переходе от эллипса с квантовым числом п.к последующему с,квантовым числом л+1 площадь меняется скачком на величину: К вЂ” Кн Кл= 2 +( + ) 2 тстс — тс. Между этими квантованными эллипсами не может быть никаких устойчивых состояний осциллятора, т. е.

никаких других промежуточных эллипсов на нашей фазовой диаграмме. Этот вывод принципиально отличен от обычных описаний системы в фазовом пространстве, когда мы считаем, что энергия системы произвольно меняется при переходе от одной фазовой траектории к другой. Кроме того, на данном примере ясно видно, что состояние линейного осциллятора, представляющего собой систему с одной степенью свободы, полностью описывается квантовым числом п. Отметим еще, что все уровни осциллятора оказываются невырожденными и отстоят друг от друга на равных расстояниях. Значение нулевой энергии будет рассмотрено ниже (стр.

Характеристики

Список файлов книги