Радушкевич Л.В. Курс статистической физики (1185139), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Статистика нроцесса излечения. Начало квантовой теории 289 вается целое число полу- волн, т. е. Л 1=а Но если угол падения луча есть б, то из треугольника ()с(Ь) видно, что 1Ь=1соз 6, и тогда 1соз б =и —. Л 2' Рассмотрим теперь есце более общий случай образования стоячих волн в кубическом сосуде с ребром 1. Тогда удобйо три взаимно перпендикулярных ребра куба принять за оси координат. Взяв какое-либо направление луча спп в сосуде (например, от одной стенки до противоположной), образующее углы с осями, соответствующие косинусам а, р, у, мы по предыдущему найдем условие образования стоячих волн при отражениях.
Однако с учетом направления луча тп в пространстве вместо одного условия теперь необходимо написать три аналогичных, а именно: 1а =ив Л с 2 а 2 Л Л 1у=в— 32 (5,129) 19 л, В. Раятшкевич где и — любое целое положительное число. Очевидно, что число различных длин волн неограниченно велико, так как чем больше Рис. 34.
и, тем меньше Л, а п произвольно. При косом падении параллельного пучка лучей на одну из стенок следует рассмотреть более детально движение плоского фронта волны. Сначала фронт волны движется по направлению аЬ, а затем отражается от нижней стенки, меняя направление на Ьс (рис. 34).
Отраженные плоские волны интерферируют с прямыми, и условием образования стоячих волн будет здесь условие целого числа полуволн на перпендикуляре Ы, т. е. опять на отрезке 1, а следовательно, как видно на чертеже, на отрезке )Ь. Таким образом, стоячие волны получаются при условии: Л 1Ь =и —. 2' 280 Глава !т. Основные вопросы статистической терлюдинаники где пь пм пв — целые положительные числа, причем каждой такой тройке отвечает одна система стоячих волн или одно собственное колебание. Заметим, что отражения здесь происходят от разных внутренних поверхностей граней куба, почему и необходимо задание трех чисел.
Косинусы углов с осями связаны между собой известным соотношением: оа+ Рт+ у' =1. Подставляя в это уравнение значения косинусов из (5,!29), находим: лв ( ла ( л2 41е (5,130) Условие (5,130) имеет такой вид, что его можно рассматривать как определение некоторого отрезка в пространстве длиной 1с, причем 21 Х Так как всегда т ° Х=с, где с — скорость распространения волн, то (5,131) Подсчитаем теперь количество собственных колебаний, или число волн, в нашем кубе с интервалом частот от т до т+с(т, соответствующих образованию стоячих волн.
Из (5,130) и (5,!3!) ясно, что собственным колебаниям с указанным интервалом частот соответствуют все точки с целочисленными значениями координат, лежащие в некотором слое толщиной Йс. В самом деле, )ч можно представить как радиус некоторой сферы (рис. 35). При положительных пь ль пв и при интервале Н( интересующие нас собственные колебания йЯ находятся в сферическом слое тол- Я шиной с(1к', лежащем в положительном октанте координатной системы.
Следовательно, число собствен. ных колебаний с частотами от т 1 до о+с(т соответствует — объему 8 Рис. 38„ полного сферического слоя. Так 4 14. Статистика процесса иэлучения. Начало квантовой теории 29! как объем последнего есть 4я)се с()с и в каждой единице объема лежит одна точка, то число точек в среднем равно объему слоя в октанте, т. е.
1 1 41зуз 21 ап = — 4яР с(ес = — 4я —, . —, йч, 8 8 с' с или Иначе: 4ячзо атл = — ау, сз (5,132) зкчзо сЪ = — сну. ч сз (5,133) Применим эту формулу к равновесному состоянию излучения в полости абсолютно черного тела. Вся эта полость заполнена излучением, образующим стоячие волны. Выделим там объем о, тогда формула дает нам число частот в интервале от о до о+с(о в этом объеме. В первоначальных теориях излучения это число частот рассматривали как число осцилляторов оболочки, посылающих волны в данный объем о, а величину с(М = —,72с(ч зк (5,134) 19з где о=!э — объем куба.
Полученная формула имеет весьма общее значение. Было показано (Вейль), что найденная закономерность сохраняется независимо от формы сосуда, когда максимальные длины волн много меньше линейных размеров сосуда. Кроме того, формула (5,132) не связана с природой волн, т. е. она пригодна как для электромагнитных, так и для механических волн, например, для звуковых волн, возникающих в твердом теле при упругих колебаниях. Она может поэтому применяться не только для стоячих волн в полости, но и для коллективных колебаний молекул или атомов в твердом теле, где эти колебания тоже образуют систему стоячих волн. В случае, если волны являются продольными, формула (5,132) остается без изменения.
Для поперечных волн следует учесть возможность различных положений плоскости поляризации. В общем случае всякое поперечное колебание можно свести к двум колебаниям с взаимно перпендикулярными плоскостями поляризации. Поэтому число собственных колебаний необходимо удвоить, и тогда из (5,132) находим: 292 Глава т'.
Основные вонросы статистической термодинамики — как число осцилляторов, посылающих волны с частотой от ч до ч+Ыч в единицу объема полости абсолютно черного тела. Пользуясь этим представлением, Рэлей и позднее также Джинс, смогли найти среднюю энергию осцилляторов, посылающих свет в указанном интервале частот. Так как согласно предыдущему средняя энергия осциллятора на одну степень свободы равна ИТ, то энергия в 1 смв полости с частотой от ч до ч+е(т в среднем равна: Ну = —, йт ° чесу. 8н У сз (5,135) Отсюда следует, что плотность энергии, т. е.
количество энергии в 1 смв полости с частотами от ч=О до ч=чмвкс Равна: макс и,= —,йт~ та 8н с' о (5, 136) Здесь верхний предел отвечает некоторой максимальной частоте чмекс взятой пока условно. Откроем теперь отверстие в нашей полости. Если оно достаточно мало, то равновесие практически не нарушится и из отверстия будет выходить поток энергии со скоростью света с, причем для частоты ч плотность потока равна У„согласно формуле (5,136).
Можно показать, что интегральный лучистый поток, выходящий из отверстия сечения 1 см' за 1 сек, равен: У с Р т' т 4 Подставляя сюда значение (7, из соотношения (5,136), имеем: мвкс Р 2п йТ ) чтеуч. с' о (5,137) Это выражение носит название формулы Рэлея — Джинса, и оно хорошо оправдывается на опыте в области малых частот, т. е. для,длинноволнового излучения, если ч „, сравнительно невелико, но оно совершенно не соответствует опыту при больших частотах, как видно на рисунке 36.
Формула Рэлея— Джинса указывает на монотонный рост энергии излучения с увеличением частоты, тогда как мы знаем на основании опыта и согласно закону Вина, что для зависимости лучистого потока от частоты имеется резко выраженный. максимум. Следовательно, в области больших частот энергия излучения уменьшается, тогда как по формуле Рэлея — Джинса практически вся энер- й 14. Статистика процесса излучения Начало квантовой теории 293 гия в спектре абсолютно черного Рт тела сосредоточивается в виде энергии больших частот, т.
е. лежит в области ультрафиолетовых лучей. Более того, в спектре абсолютно черного тела находят всевозможные частоты, так что вообще тиенс — аа, но тогда из (5,137) следует, что Р -+со. Этот результат является абсурдным, так как он означает, чтообщая энергия всех осцилляторов равна бесконечности. Тогда в системе не могло бы установиться равновесия, о котором мы говорили, потому что вибраторы (осцилляторы) будут только накапливать энергию извне. Наконец, из (5,137) следует, что интегральная энергия абсолютно черного тела пропорциональна первой степени абсолютной температуры, что не согласуется с законом Стефана — Больцмана, требующим возрастания пропорционально Тл.
Таким образом, формула Рэлея — Джинса противоречит основным законам излучения, т. е. закону Вина и закону Стефана— Больцмана. Такое противоречие означает непригодность исходных допущений, и это критическое положение получило в свое время название «ультрафиолетовой катастрофы», так как выведенная формула требует сосредоточения всей энергии в спектре в ультрафиолетовой области.
Источником ошибочности полученного результата следует считать принятие закона равномерного распределения энергии по степеням свободы, тогда как сам вывод общего соотношения для числа частот (5,134) не вызывает сомнений и оно может быть получено самыми различными путями. В настоящее время достаточно хорошо установлено, что действительно обычный закон равномерного распределения энергии имеет весьма ограниченное значение и для квантованных систем должен быть заменен более сложным законом. Однако применение закона равномерного распределения энергии к излучению в свое время не вызывало сомнения. Тем более замечательно, что попытка устранить противоречия, связанные с формулой Рэлея — Джинса, привела к созданию теории квант, в которой классический закон равнораспределения не имеет места.
Начало этой теории относится к 1900 г., когда Планк на основе анализа данных по 294 Глава т'. Основные вонросы статистической термодинамики излучению абсолютно черного тела вывел соотношение, позволяющее в согласии с опытом описать спектр этого излучения и получить законы Стефана — Больцмана н Вина. Таким образом, формула Планка вначале являлась эмпирическим соотношением, заменившим собой формулу (5,135) теории Рэлея— Джинса и имеющим вид: С~ч" ч э ч в Счч1 зя ач ч се вч е — 1 тт (5,138) где Ь вЂ” постоянная, называемая теперь постоянной Планка. Было установлено, что опытные данные в широком интервале частот и температур хорошо согласуются с формулой (5,138). Поэтому Планк пытался найти принципиальное обоснование предложенной им формулы и таким путем пришел к выводу фундаментального значения, оказавшему решающее влияние на всю физику ХХ столетия и положенному в основу развития всей физической статистики.
Планк установил, что формула (5,138) легко может быть выведена, если принять гипотезу, что осцилляторы не могут иметь вполне произвольную энергию, а колеблясь с частотой ч, обладают энергией, которая является целым кратным некоторого минимального зна- чения е=йч, названного Планком порцией или квантом энергии. Таким образом, колеблющийся осциллятор может иметь энергию Ьч, 2йч, Зйч... и вообще пйч при и целом и не может иметь промежуточных значений энергии.
Указанная совокупность энергий образует, следовательцо, бесконечный, но дискретный (прерывистый) ряд величин. Мы приведем здесь первоначальный вывод формулы Планка, хотя этот вывод имеет главным образом историческое значение. Его ценность состоит в простоте рассуждений, несмотря на то, что в,основе лежат не вполне отчетливые и безупречные представления о природе излучения. Рассмотрим ансамбль осцилляторов, колеблющихся с частотой т, и примем гипотезу о квантах. Тогда легко рассчитать обычным путем среднюю энергию осцнллятора.
При прерывистом распределении какой-либо величины и ее среднее значение э 14. Статистика процесса излучения. Начало квантовой теории 2ВВ выражается хорошо известной формулой (аналогичной форму- ле (5,3) стр. 207): ~ч~', ие й= е « ~ч»', е е Для квантованных осцилляторов имеем: Е,=йе=й Ьт. где й — целое число (А)0): й=0, 1, 2, 3... Отсюда средняя-энергия осциллятора есть а« «е Е ~ч~ н«е В ~чР~ «ее в Н «е ~"',е в ~е е 2е ее ее в+2«е в +Зев а + (5,139) те Ее 1+е а+е ~+в В+ (5,140) Далее легко убедиться, что числитель в формуле (5,139) е равен производной знаменателя по —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
