Радушкевич Л.В. Курс статистической физики (1185139), страница 59
Текст из файла (страница 59)
37! и 403). Ь) Частица в потенциальном ящике. Рассматривая теорию де Бройля, Эйнштейн впервые показал, что необходимым следствием ее является квантование энергии поступательного движения частицы газа, находящейся в замкнутом объеме, называемом обычно «потенциальным ящиком»,поскольку в этих условиях имеет место взаимодействие с ограничивающими стенками. Анализ этого случая вводит в статистическую физику существенно новое положение, с которым мы ранее не встречались, рассматривая отдельные молекулы газа в сосуде как частицы, обладающие кинетической энергией, которая могла быть вполне произвольной. Отдельная молекула газа в сосуде изображалась, как упругий шарик, способный отталкиваться от упругих стенок сосуда. Теперь мы должны принять, что частица обладает еще волновыми свойствами.
з1з в 4. Примера простейших квантованных систем Движение частицы в пространстве, свободном от действия сил, описывается волновым уравнением Шредингера, имеющим вид в данном случае: Зятек ( дхт + д т + дет ) Е ф (Л' У' х)' «т дтт) дт~> д~Ф Так как частица находится в «ящике», из которого она никуда не выходит, то соответствующие ей волны носят стационарный характер; поэтому функция ф зависит только от координат и не зависит от времени. Решая уравнение Шредингера, можно найти функцию ф, если учесть, что она всюду вне сосуда обращается в нуль, т. е. вне сосуда ф=О. Представим себе частицу для простоты внутри кубического ящика с ребром, равным 1.
Можно легко показать, что в этом случае решение волнового уравнения имеет вид: ф=~ — ( з!пл — з!пп — з!пп —, l 2 1Т л,х лту нее (У) Г ' 4 где пь п„п,— целые положительные числа (считая от 0), а координатные оси совпадают по направлению с тремя перпендикулярными сторонами куба. Легко видеть; что на стенках ящика при х=О и х=1, а также при у=О, у=1 и я=О, г=1 функция ф обращается в нуль, а это значит, что частица находится внутри сосуда, не заходя за его границы. По предыдущему величина фзс(У представляет собой вероятность присутствия частицы где-либо в небольшом, выделенном нами объеме внутри куба.
Ясно, что всюду на стенках куба (при любых пь п„пз) и вне его (при п,=п,=п,=О) вероятность найти частицу равна нулю. Таким образом, состояние частицы в сосуде определяется тремя квантовыми числами, сочетание которых дает определенное значение волновой функции ф. Картину движения частицы в сосуде можно представить иначе, если учесть, что с частицей связана система волн вероятности. Пусть сначала частица движется только от одной стенки до противоположной перпендикулярно к их плоскостям. Этодвижение можно рассматривать как стоячую волну, так как частица упруго отражается от стенок.
Следовательно, устойчивым состояниям частицы соответствует система стоячих волн. Из теории этих волн известно, что на неподвижных границах всегда образуются узлы, например на концах колеблющейся струны имеется два узла. В этих условиях на длине, равной длине ребра нашего куба, должно укладываться целое число полуволн, 314 Г л а в а Уl. Хвантовомеханические основы статистической физика иначе были бы невозможны стоячие волны с узлами на противоположных гранях куба. Это условие можно представить в виде: 1= п ° —.
Л 2 ' (6,8) где п — целое число. Но волны, которые мы здесь рассматриваем, представляют собой волны вероятности. По де Бройлю для них: Рх= Л ° (6,9) где р„— проекция импульса частицы на ось х. Таким образом, величина импульса частицы по оси х не может быть произвольной. Вводя в формулу (6,9) выражение для Л из (6,8), находим: (6,10) Р.»= 2т т. е. импульс оказывается квантованным, так как п=1, 2, 3... Если теперь рассмотреть движение частицы во всем пространстве внутри куба, т.
е. принять, что она обладает тремя степенями свободы, то можно легко показать, что в этом случае по. лучается пространственное квантование движения. При выводе можно пользоваться схемой расчета собственных колебаний внутри замкнутого пространства, которой мы уже пользовались ранее. Формально рассматриваемая теперь задача совпадает с задачей (стр.
288). Очевидно, стационарное состояние волн вероятности нашей частицы имеет место тогда, когда при любом направлении ее движения внутри куба образуются системы стоячих волн для всех трех координатных осей. Это приводит к обобщению условия (6,10): л,ь 2Г где ~р,~, 1рв~ и ~Р,~ — абсолютные значения компонентов им. пульса частицы, а пь пм пе — целые числа.
Из этих рассуждений следует, что состояние частицы внутри сосуда определяется тремя квантовыми числами и импульс является квантованной величиной; число квантовых чисел совпадает с числом степеней свободы. Для частицы, свободной от действия внешних сил, энергия Е равна кинетической энергии Е„,„, выражаемой, как ранее: З й. Примеры нростейсиик кеантоеаннык састен Подставляя сюда квантованные значения проекций импульса, находим: (б,11) Здесь лз = пз+ пз+ пз — з з является суммой квадратов целых чисел, т.
е. целым числом. Как показывает формула (6,11), энергия частицы в сосуде не может быть вполне произвольной, а оказывается квантованной величиной, так как ее значение определяется целым числом пз. Этот вывод является прямым следствием волновых свойств частицы. Опять мы встретились с квантованной системой, когда в устойчивом (равновесном) состоянии энергия системы представляется дискретным рядом значений Можно показать, что все состояния частицы в сосуде являются вы р ожде ни ы м и. В самом деле, энергия по формуле (б,!1) определяется лишь одним числом кз и не зависит от отдельных значений пь пз и пз.
Значит, частица имеет одну и ту же энергию как при пт —— 1; пз=З; пз — — 2, так и при пт=2; па=1; пз=З, или при п,=З; п,=2; п,=1. Во всех этих случаях получается одно и то же значение для и', а именно: па=14. Следовательно, различным состояниям частицы отвечает одна и та же энергия, т. е. состояния являются вырожденными. Легко видеть, что в данном случае кратность вырождения равна й=З. В классической теории о вырождении не может быть речи, так как там значения компонентов импульсов частицы р„, ре, р, не квантованы и могут быть вполне произвольными. Итак, согласно квантовым представлениям какая-либо частица, например молекула газа в сосуде, ведет себя так, что ее вероятность пребывания в каком-либо месте определяется поведением стоячей волны, а энергия частицы является квантованной, Ранее мы не встречались с такими свойствами частицы и хотя пользовались теорией вероятностей для описания положения частицы газа в сосуде, но тогда мы считали, что вероятность найти частицу в каком-либо месте сосуда всюду одна и та же.
Теперь эта вероятность определена функцией трз, и так как в ее выражения входят квадраты периодических функций, то вероятность оказывается сложным образом распределенной внутри сосуда. В определенных точках функция трз обращается даже в нуль в сосуде, а это значит, что существуют области в сосуде, где вероятность найти частицу равна нулю. 31б Г л а в а П. Квантовомеканические основы статистической фиэики Найдем, насколько отличаются соседние уровни энергии для частицы в сосуде. Из формулы (6,11) легко вывести разность энергии для л+1 и и-го уравнений: ЬЕ = Ее+ т — Е„= —, (2п+ 1).
Отсюда видно, что 1эЕ тем меньше, чем больше масса частицы и чем больше размеры сосуда. В области макроразмеров квантование энергии практически совершенно не заметно. Так, для п=1, когда масса частицы ! г и длина ребра кубического сосуда ! см находим по предыдущей формуле: АЕ=1,5 10 вв эрга или — 1О-" электрон-вольт, следовательно, в этом случае уровни энергии практически сливаются. Даже для молекул с массой 10ым г в сосуде больших размеров разность уровней незначительна и составляет — 10 'т электрон-вольт. Напротив,длямолекулы с массой 10-э' г в полости размером 10-т см разность уровней равна — 10-' электрон-вольт, т.
е. уже становится заметной, и квантовый характер распределения энергии вполне очевиден. 5 6. Соботвонный момвнт коничвотва двнжоиия (эпин) мнкрочаотиц Для статистического описания систем, состоящих из одинаковых по своей природе микрообъектов, необходимо учитывать еще одно весьма важное свойство последних.
Опытные исследования показали, что многие микрочастицы обладают собственным моментом количества движения, называемым спином (от английского 1о зр1п — вертеть). Это свойство с помощью обычных моделей нельзя представить вполне наглядно, хотя грубо можно изобразить как способность частицы вращаться вокруг собственной оси. Из общего курса известно, что на основании опытов Штерна и Герляха (1921) по расщеплению потока атомов в неоднородном магнитном поле на два пучка Юленбек и Гаудсмит (!925) впервые высказали гипотезу о существовании спина электрона.
Эта гипотеза вскоре получила количественное подтверждение в дальнейших исследованиях, и наличие спина электрона было затем теоретически обосновано в работах Дирака. Позднее были измерены спины других микрочастиц (протонов, нейтронов, атомных ядер и т. п.). Собственный момент количества движения частицы, илн спин, как и другие свойства, является квантованным, т. е, опреде. ляется системой квантовых чисел, э" Д Собственный момент количества движения (спин) микрочастиц 317 По общим законам квантовой механики для всякой частицы момент количества движения по величине должен быть равен Р = — 1l о(о+ 1), где о — ряд квантовых чисел, принимающих вполне определенные значения в каждом частном случае. Далее следует иметь в виду, что заряженная частица при вращении вокруг некоторого центра обладает магнитным моментом, который вообще может быть обнаружен при действии слабого внешнего магнитного поля, действующего в направлении оси з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
