Радушкевич Л.В. Курс статистической физики (1185139), страница 63

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 63)

Рассмотрим для примера частицы с тремя степенями свободы, находящиеся в реальном объеме )т. Для этой системы мы нашли ранее фазовый объем, отвечающий энергии от О до Е (стр. 180, формула (8,18)): е 13=4п(тел~ 2т Г 7 а Отсюда де ЬЕ = 4я)т»т )' 2л»Е»зЕ. Но, очевидно, фазовый объем зависит от Еь так как обобщенные координаты и импульсы фазового пространства связаны с энергией. Поэтому в общем виде прн почти классическом приближении всегда можно считать: О=Ф(Е) э Е Особенности ноимен.

статистик. метода к квантовоннеш системам 33! В фазовом !с-пространстве размер ячейки в этом случае равен Ье. Поэтому число ячеек в интервале ЬЕе равно по предыдушему: 4М'т 1' 2тЕ~ (7,3') Отсюда видно, что число ячеек даже при малых интервалах ЬЕе очень велико. Для 1 моля газа при нормальных условиях имеем Р=2,24 10' сме, причем масса молекулы т порядка 1О м г и энергия в среднем равна Š— 10 " эрг. Если даже в ять ЬЕ равным !Оа7о от средней энергии молекулы, го нз 7,3') следует, что ге=10'е. Эта величина очень значительна; она примерно в !Ое раз превосходит число. молекул в моле, так что действительно большинство ячеек оказывается пустым.

Дробление фазового пространства получается достаточно мелким. Это во многих случаях дает возможность для кваитованных систем из большого числа микрочастиц рассматривать квазиклассическое приближение, о котором было сказано выше. Рассматривая квантованную систему в термостате, мы, как и ранее, будем принимать равновероятность всех возможныхсостояний.

Соответственно к ансамблю квантованных систем можно применять с достаточным приближением основные формулы Гиббса, вводя каноническое распределение систем в фазовом Г-пространстве. Однако прп этом следует учесть, что благодаря почти дискретным уровням энергии все дифференциалы являются бесконечно малыми в физическом смысле, т. е. это величины, которые мы можем выбрать достаточно малыми, но они не являются бесконечно малыми с математической точки зрения. Поэтому вероятность состояния с энергией Ее равна (глава 1Ч, стр. 190): ~- т Ьа~,.=г е ЬД Во всех случаях непрерывное распределение заменяется прерывистым и интегрирование должно быть заменено суммированием, Поэтому вероятность состояния может быть представлена как (ср.

стр. 189): е в Ьтот = ~чз~ е о ! Взамен интеграла состояний для квантованных систем мы будем применять статистическую сумму состояний: г, Е = ~Рте (7,5) 332 Глава тО. Статистик. терлодиналсика на основе квантовой теории Среднее значение энергии квантованной системы равно: зт ~ч', Ете Е= с (7,6) (7,4') Гзтв, ас ~чз~ рте 2) статистическая сумма состояний: лт Е= ".", р;е 3) средняя эне гия: (7,5') Р ~ всЕ,е Е= ~я~', к е т (7,6') $2. Функции раопродоиония дпя квантованных окотам.

Два вида квантовой отатиотикн Полный переход к статистике квантованных систем мы совершим, заменяя прежде всего задачу распределения систем по фановым ячейкам в прежнем смысле задачей распределения си- зс ~я~~ е в т Заметим, что во всех формулах элементы фазового объема являются конечными и суммирование всюду ведется просто по всем таким элементам, которые представляют собой конечное множество в конечном объеме (счетное в бесконечном объеме). Необходимо помнить еще, что для квантованных систем наблюдается в ы р о ж д е н и е отдельных уровней, что должно учитываться в статистических расчетах. В формулах (7,4), (7,6) и (7,6) подразумевалось, что вырождение учтено, т. е.

в суммах разные состояния, отвечающие одной и той же энергии, дают соответствующие одинаковые слагаемые, Однако нетрудно преобразовать написанные соотношения, вводя кратность вырождения. Так, если уровням энергии Е» Е„..., Еь ... соответствуют статистические веса д„дм ..., дь ..., то формулы принимают вид: !) вероятность с-го состояния; зт я,.е у к.

Функции раснределения для кеантаеаннык систем стем по различным квантовым состояниям. При этом положение Больцмана о равновероятности фазовых ячеек мы заменяем принципом равновероятностн квантовых состояний. Кроме того, мы должны теперь ввести в наши рассуждения два следствия, вытекающие из свойств микрочастиц и рассмотренные нами ранее (глава у'1): !) Принцип неразличимости тождественных частиц; 2) Два вида волновых функций, описывающих поведение частиц Бозе или частиц Ферми. В статистике Максвелла — Больцмана мы для частиц одинаковой природы допускали всегда возможность нх различения, и это нашло свое отражение в вычислении вероятностей микрон макросостояний. Таким путем было получено известное выражение для статистического веса, из которого мы смогли затем получить функцию распределения Гиббса (см. стр.

190). Теперь мы повторим заново эти выводы с учетом указанных двух положений о свойствах микрочастиц. Допуская, что частицы принципиально неразличимы, и рассматривая два рода частиц соответственно симметричным и антисумметричным волновым функциям, мы найдем заново вероятности состояний, а отсюда соответствующие функции распределения.

Сейчас мы увидим, что эта статистическая проблема сводится к счету состояний и, в сущности, расчеты являются задачами комбинаторики, известными в алгебре. Далее будем пользоваться р-пространством, рассматривая одну частицу как простейшую систему. Приведем сначала простой пример, ясно указывающий на три возможности, которые возникают в физической статистике при счете состояний, которые можно представить как размещение частиц по клеткам (ячейкам). Возьмем две частицы одинаковой природы и посмотрим, как можно разместить их в двух клетках. Сначала условимся, что обе частицы различимы, и потому обозначим их через а и Ь.

Тогда, очевидно, возможны 4 случая размещения: 334 Глава Пй Статистик. тернодина.мика на основе квантовой теории Соответственно этому мы отмечаем 4 разных состояния: первое, когда обе частицы лежат в первой клетке, второе, когда обе частицы находятся во второй клетке, третье, когда а лежит в первой клетке, а Ь вЂ” во второй, и, наконец, четвертое, когда а лежит во второй, а Ь вЂ” в первой клетке. Порядок расположения частиц в каждой клетке для нас безразличен. Этот способ подсчета состояний применяется в классической статистике. Пусть теперь обе частицы неразличимы, и мы обозначим их одним индексом, положим, через а.

Тогда, как было раньше сказано, обмен их друг на друга в П1 и 1Н случаях «не соответствует никакому физическому явлению», т. е. состояния Ш и 1Н неотличимы, представляя собой одно состояние, а не два. Если мы не налагаем никаких других ограничений на распре. деление и допускаем, что вообще число частиц в каждой клетке произвольно, то указанный расчет соответствует частицам Бозе, которые неразличимы и состояние которых описывается симметричными волновыми функциями.

Следовательно, для частиц Бозе в нашем примере имеем не 4, а только три состояния: аа аа Пусть теперь неразличимые частицы подчиняются запрету Паули. Мы назвали их частицами Ферми и отметили, что их состояния описываются антисимметричными волновыми функциями. Для частиц Ферми по принципу Паули в каждом квантовом состоянии не может быть больше одной частицы (если учитывать разные спины). Тогда очевидно, что в нашей предыдущей схеме состояния ! и П отпадают и остается только одно допустимое состояние, дозволяемое принципом неразличимости и принципом Паули, а именно: ~а ~а~ Этот весьма простой пример показывает, что в зависимости от свойств частиц понятие микросостояния системы существенно изменяется, и отсюда следует, что вероятность состояния .также будет различной.

Поэтому-то введение принципа нераз- э" Д Функции раслаедеяения для квантаваннмх систем личимости частиц и учет свойств волновых функций заставляет говорить о двух квантовых статистиках: 1) статистике Бозе— Эйнштейна (для частиц с симметричными волновыми функциями) и 2) статистике Ферми — Дирака (для частиц с анти- симметричными функциями).

Выведем теперь основные формулы для обеих статистик и затем сравним полученные результаты с данными для классической статистики. Для вывода несколько видоизменим нашу статистическую схему. Будем пользоваться прежним методом ячеек, но только будем рассматривать ячейки как квантовые состояния частиц. Теперь для нас выражение «частица находится в данной фазовой ячейке» будет означать, что частица находится в данном квантовом состоянии, которое характеризуется набором квантовых чисел. Неограниченную область фазового пространства разделим для удобства на отдельные участки так, что каждый участок содержит достаточно большое число фазовых ячеек, и станем распределять частицы по ячейкам участка.

Так, в какойто с-й области фазового пространства выделим .г; ячеек и станем распределять № частиц по этим ячейкам, учитывая свойства частиц. Затем мы рассмотрим распределение всех частиц системы по всем областям и всем ячейкам. В сущности, у нас будут два разнородных объекта изучения: ячейки и частицы, и мы будем комбинировать один элемент с другим. Мы допустим, что система состоит из У частиц, так что при всяких комбинациях это число постоянно: АГ= ~~'.~~ А7,=сопз1.

Характеристики

Список файлов книги