Радушкевич Л.В. Курс статистической физики (1185139), страница 66
Текст из файла (страница 66)
В 3. Квантовая етатнотнка ндеальноге едноатомнеге газа. Вырожденно газов Рассмотрение идеального газа в квантовой статистике имеет особое значение. Во-первых, принципиально всякий газ в зависимости от природы составляющих его частиц (атомов) должен следовать статистике или Ферми, или Бозе, и поэтому важно с помощью этих схем описать известные основные свойства газов.
Необходимо проследить; какие отличия вносит применение квантовой статистики, и убедиться, насколько полученные результаты соответствуют опытным данным. Во-вторых, по современным представлениям идеальный одноатомный газ есть понятие значительно более широкое, чем то, которым мы до сих пор пользовались. Под определение идеального одноатомного газа подходят не только газы в обычном смысле, т. е. состоящие из атомов вещества, но также электронный газ образуемый электронами, а также световой газ, состоящий из атомов света — фотонов.
Следовательно, статистика одноатомного газа должна рассматриваться как весьма общая проблема, имеющая широкое применение в разных областях. Отличие между газом из частиц вещества и фотонным газом сразу должно быть отмечено. При малой плотности газа допустимо пренебрегать взаимодействием частиц, так что газ из частиц вещества можно отнести к идеальному газу. Что касается фотонов, то из квантовой механики следует, что они вообще очень слабо взаимодействуют друг с другом, так что это условие соблюдено.
В газе из обычных частиц число их постоянно в простейших условиях (за исключением, например, случаев взаимодействия электронов с позитронами, когда возможны рождение и аннигиляция частиц и т. п.), напротив, в фотонном газе число фотонов может изменяться (поглощение стенками и т, д,). Пусть в сосуде объемом )т содержится лт' частиц идеального одноатомного газа, обладающих тремя степенями свободы. Здесь мы имеем в виду газ из частиц вещества, тогда как фотонный газ изучим отдельно (см. стр. 390).
Число состояний газа, равное числу ячеек с энергией от Ет до Ет+дьЕт, равно согласно формуле (7,3') (стр. 331): з, = „, )Г2лтЕ, длЕп 350 Глава )тО. Статистик. термодинамика на основе квантовой теории Поэтому число частиц с энергией от Ес до Ес+(зЕс есть по предыдущему: М =41 )/2тЕ аг г вг 1 зг — е ~1 В Общее число частиц газа легко найти отсюда суммированием по всем значениям энергии: з 1 2н)т(2т)г Ч$н1 Ег ° аЕ, 8 «3 ~р аг ! — езг +1 1 вт В (7,43) з 2н)т (2вт) г (' Е г йЕ Ьз ~ а о — е т.1 зт В (7,43') Полная (средняя) энергия системы может 'быть представлена суммой Е= Я МгЕн или з 2н(т(2вт)г (' Ег йЕ 1 зг о — езг ~1 В (7,44) Энтропия газа вычисляется по уравнению (7,39), где мы опять суммирование заменяем интегрированием и находим: СО а1 5= — — Ий!пВ~А „, ~ Е'!п(,1 +Ве зг)6Е.
(7,45) о Для иевозбужденных состояний частиц газа энергетические уровни распределены практически непрерывно и, как мы видели, ас весьма велико; поэтому с достаточной степенью точности суммирование в предыдущей формуле можно заменить интегрированием по всем значениям энергии, и тогда: иь 8. Квантовая статистина идеального одноатомного газа 351 Наконец, мы легко можем получить выражение для свободной энергии и интеграла состояний. Так как Ч" = Š— 7'Я, то, подставляя сюда 5 из формулы (7,45) и заменяя )т' значе- нием из (7,43'), имеем: г о +!п~1+ Ве Ят)1)г)Е (7,46) и так же: 1пЕ= — —, ту йт' ' как ранее.
Полученные основные формулы для газа, независимо от того, состоит ли он из частиц Бозе или частиц Ферми, существенно отличаются от соотношений, которые мы выводили в классической статистике. Вполне очевидно, что мы имеем дело с отступлениями от свойств «классического» идеального газа, обусловленными исключительно особенностями микрочастиц. Поэтому такие газы принято называть в ы р о ж де н н ы м и г аз ам и, причем степень отклонения от свойств классической системы, или степень вырождения всецело зависит от константы В, входящей в основные формулы и называемой показателем, или фактором вырождения. Обычно различают слабое и сильное вырождение, смотря по величине В, которая, как увидим, может меняться в широких пределах в зависимости от различных условий. Рассмотрим сначала общие свойства вырожденных газов, не устанавливая ближе природу составляющих частиц. Особенности газов из частиц Ферми или частиц Бозе изучим далее, после общего анализа.
Прежде всего покажем, что формулы классической статистики Максвелла — Больцмана получаются как предельные соотношения, когда степень вырождения, газа очень мала, т. е. классические газы представляют собой системы с очень слабой степенью вырождения. Обозначим для удобства, как ранее: В =е-' и рассмотрим случай, когда а представляет собой большую положительную величину, так что В мало по сравнению с еди. 352 Глава т(1. Статистик. термодинамика на основе квинтовое теории ницей. Такой газ будем называть слабо вырожденным.
Вводя а в наши формулы, мы получим для числа частиц с энергией от Еч до Еч+ДЕ1 выражение: з 2н(т (2тн) 2 Ез дЕ1 а+— зт — ( (7,47) Соответственно изменяются и остальные формулы (7,43)— (7,46). В соотношении (7,47) для всех значений Еь начиная с самых малых, всегда: В1 еа+зт ~~1 так как мы взяли очень большое положительное сз. Поэтому единицей в знаменателе (7,47) можно пренебречь и теперь с достаточной точностью можно принять: з 2 ! у 2ну(2И) Ез -а-зт . дЕ. != Ьз 1Е 1 з 2 д( — (2ек) е-а~ Езе зт (Е о позволяющее определить и. В это выражение входит определенный интеграл, который преобразуется в интеграл Пуассона (стр.
410): са лч з У = Глз. е 11 с(л — ' аз, з — д 4 в Поэтому з (2ян1йТ) е-а, откуда с з1 и (2ннза Т) и= 1п м. (7,49) Отсюда, как ранее, находим выражение для полного числа ча- стиц газа; 4 8. Квантовая статистика идеального одноатомного газа 333 Пользуясь этим значением а, можно с помощью общих формул (7,44), (7,45) и (7,46) найти полную энергию газа Е, распределение частиц по энергиям, энтропию и свободную энергию и убедиться, что при этом получаются формулы классической статистики Максвелла — Больцмана. Мы не будем приводить всех этих вычислений и покажем только, что при слабом вырождении газа, когда сз выражается соотношением (7,49), мы получаем классический закон распределения энергии по степе' ням свободы.
В самом деле, выражение (7,44) для полной энергии при большом а после пренебрежения единицей принимает вид: з з е Е 2а) (2т) -и Г Ез зт с(Е е- ) е о В эту формулу входит определенный интеграл, величина которого может быть найдена с помощью преобразования его в интеграл Пуассона: з л з 1= Г х'е 3 с(х= — ~гпрз. 4 о В самом деле, замена переменной х на я=уз приводит интеграл к известному нам интегралу Пуассона 1з, значение которого дано в математическом приложении 2. Поэтому з з 2нУ(2нг) г а ° 3(йТ)~ Е= Подставляя сюда сь из формулы (7,49), находим: 2н(г(2вг)~ ° 3(нт)~ ° ИЧт 3 Л(й~ 2 4 )/й йв (2 тай 7) з ° М Отсюда для одной молекулы получаем: а = 2 йТ, а на одну степень свободы, в согласии с классической статистикой, приходится энергия ЧзнТ.
Нетрудно также вывести известное уравнение состояния идеального газа, если по выражению (7,45) для энтропии найти давление и использовать фор- 23 л. в, Радушкевич 354 Глава 711. Статистик. термодинамика на основе квантовой теории мулу (7,49). Заметим, кстати, что в классическое соотношение для энтропии 1 моля идеального газа входит константа энтропии, остающаяся неопределенной величиной, причем классическая статистика не дает способов ее определения. Напротив, принимая во внимание слабое вырождение газа, можно с помощью значения сс из (7,49) вычислить эту константу.
Относительно этих расчетов будет сказано далее. Таким образом, классическая статистика соответствует слабому вырождению газа из микрочастиц, т. е. слабо вырожденные газы следуют классическим законам; отсюда выясняется роль этих законов как предельных квантовых закономерностей. Следовательно, классическая статистика не имеет самодовлеющего значения и является частным предельным случаем квантовой статистики.
В каких случаях имеет место'слабое вырождение каантованного газа и когда он вполне подобен «классическому идеальному газу», видно из самбй приближенной формулы (7,49). Величина а имеет достаточно большое значение, при котором ео»1, когда газ из частиц данной массы находится при высокой температуре Т и плотность его невелика. В самом деле, из (7,49) видно, что сс возрастает с повышением температуры и, кроме того, увеличивается по мере увеличения отношения М ' которое обратно пропорционально плотности газа. Далее мы видим, что для газов с большой массой частиц (например, для газов с большим атомным весом) а выше, чем для газов с небольшим атомным весом. Впрочем, с помощью (7,49) можно показать, что даже для водорода при Т~=ЗОО'К и при атмосферном давлении величина е' равна -6 ° 10л, т.
е. в этих условиях соблюдается е'»1, причем снижение температуры до ЗО'К не изменяет этого неравенства (здесь для приближенной оценки мы не обращаем внимания на то, что водород состоит из молекул Нт). Вообще в обычных условиях атомарные и молекулярные газы являются слабо вырожденными системами, почему и оправдываются с большой точностью законы классической статистики, Только при низких температурах вблизи О'К для сильно сжатых газов значение а по (7,49) получается достаточно малым и вырождение начинает играть заметную роль в свойствах газа. При достаточно сильном вырождении пренебрежение единицей в основных статистических формулах становится недопустимым и описание поведения вырожденного газа сводится к исследованию общих соотношений (7,43') — (7,46), В этом случае можно найти второе приближение для величины а.
Расчеты Ю 8. Квантовая статистика идеального одноатоияого газа 355 получаются достаточно сложными, так как интегралы, входящие в указанные формулы, приходится представлять в виде сходящихся рядов. Опуская детали этих выводов, приведем лишь общий ход вычислений и остановимся на некоторых результатах, чтобы отметить различие в свойствах вырожденных и обычных идеальных газов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
