Радушкевич Л.В. Курс статистической физики (1185139), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Далее поступаем, как в первом случае. Находим !п)Р'г = 2', [!пае! — !пЖ21 — !п(а! — Ф!)!1. Это выражение варьируем, считая Л!! переменным. Тогда Ь!п т= т 1!п ~2 ! е! — 2н! ЬЬ7 ГЬ( лт! — тн! — (е! — л!е! 2 ! е! "! Ьт! — г! ' ( — — )~ЬМе~=О, или после сокращений: Ь!п Уlг ) !и ! Ьт ! ЬМ! 0 ! (7,23) Это выражение вместе с прежними условиями (7,13) и (7,14): ХЬЛ,=О, ~ Еебеч'е=О образует систему уравнений.
Умножая опять (7,13) на 1пВ и 1 (7,!4) на — —, сложим все три равенства (7,23), (7,13) и (7,14). Тогда Х(!п "— Ме+!и В - Е').Ь)У,.=О, Применяем формулу Стирлинга и находим (см. математические приложения, стр. 408): !п Юг = ~ (Ме!п ' ! — ге!п ' ') . (7,22') 342 Глава тВ. Статистик. териооинаиика на основе квантовой теории откуда !п ' '+1п  — — '=О. У; е=.
Разрешая это уравнение относительно №, приходим к окончательной формуле: дг; = 1 в — е +1 В (7,24) Мы видим, что в данном случае функция распределения частиц, или среднее число заполнения на одну ячейку, т. е. на одно состояние, есть: 1 Š— е +1 1 в В (7,25) Соответственно выражение для полной энергии имеет вид: В ~Ч)," 1 в — е +1 В (7,27) Наконец, величину О опять можно найти тем же методом, как и ранее.
Подставим № из формулы (7,24) в выражение (7,22'). Имеем, учитывая (7,7) и (7,8): ии,=й',(и (и — не) —,,н'С1 — (',~.е1) асч = — — М 1п В+ ~~)~~ зч !п (! + Ве в '1. Положительный знак в знаменателе отличает эту функцию от той, которая выводилась в статистике Бозе (формула 7,16). Соотношения (7,24) и (7,25) являются основными формулами статистики Ферми — Дирака, Они также имеют две постоянные В и О. Первую из них находим, применяя формулу (7,7): )ч=,'~~ (7,26) 1 в — е -+1 В д 2. Функции расаределения для кеантаеанных систем 343 Отсюда следует, что энтропия в равновесном состоянии равна е,~ Я=я!и !туг= — — ИИ1п В+й ~) г,!п(1+Ве '!.
(7,28) Полученная формула аналогична формуле (7,20) и отличается от нее знаками последних слагаемых. Дифференцируем выражение (7,28) по Е, и тогда: дЯ ! а — — — откуда 8 = ЙТ. дЕ Т В' Мы опять нашли, что О есть модуль канонического распределения Гиббса. Возвратимся теперь к классической статистике, чтобы сравнить ее с обеими квантовыми статистиками. Для этого повторим те выводы термодинамической вероятности, которые мы давали ранее.
Здесь мы их немного видоизменим, следуя тому общему приему рассуждений, который мы применили. Ранее нашли (стр. 112) в классической статистике систем, которые состоят из различных частиц (и не подчиняются запрету Паули) выражение для вероятности макросостояния: дс! в~,эрна макро 1 2 ''' тт П тле! где шь тра... — априорные вероятности попадания одной частицы в одну ячейку фазового пространства. Далее мы ввели нормальное состояние; когда все частицы У находятся в одной какой-нибудь ячейке, например в № 1; вероятность этого состояния равна 1(рт = яаю~+Яса+ " — там о Тогда термодинамическая вероятность определится отношением )УТг= ц =( ) '( ) (а,,) ' у!у! (7,29) Ранее чисто интуитивно мы полагали, что все скобки в этом выражении равны единице, основываясь на гипотезе равно- вероятности всех состояний.
Теперь мы поступим иначе, а именно, как в квантовой статистике считаем, что ячейкам отвечают неноторые определенные состояния частиц, характеризующиеся 344 Глава !тО. Статистик. термодинамика на основе квантовой теории атс тв, Тогда выражение (7,29) примет вид: тес И дед П вес! Поступая, как ранее, находим: !п Итг=(пФ1+ ~~(1па",т!пМт1) =М!п М+~ДГ,!п — '. Варьируем зто выражение по тть и тогда". Ь(п Иг= '«', (1па,— 1пМт+1)ЬМ,=О, т или, пренебрегая единицей, Ь 1п Итг = ч~~ ~(1п а, — 1п М,) ЬФ, = О.
(7,30) Учитывая опять вариации (7,13) и (7,14): Х ЬЛг,=О, ~ Еебт"т;=О, с находим прежним путем из (7,30), (7,13) и (7,14): 1п — = —. етВ Ет и,=в откуда ет И,=— ю, 1 в — е В (7,31) определенными статистическими весами. Тогда нтт соответствует твт твт единичному весу состояния, а все —, —, ..., — предстатв~ м,'' ' аl, ваяют собой веса других состояний.
Они попросту равны числу ячеек в различных областях фазового пространства: Ю 2. Функции раслределения для квантаванних систем 345 и функция распределения: Ф; 1 Е ес 1 в — е В (7,32) формулы (7,3!) и (7,32) являются более общими, чем те, которыми мы пользовались в классической статистике. Из этих формул сразу получаются известные нам соотношения, если, как ранее, считать е;= 1. Тогда В Ф,= —. ас (7,33) Отсюда: Ес Лг — ~ жс=В ~е в с Поэтому формула (7,33) нам Ес яте в Ю,= ~е в дает: Е, е в или Ам, = Ес ~е е с В знаменателе последнего выражения находим сумму состояний, которую мы ранее полагали равной: Е, ~р~е в е е Поэтому Е-Ес лтв,=е в т.
е. мы получили формулу канонического распределения Гиббса для подсистем в термостате. Введенные теперь функции распределения ) для двух квантовых статистик и классической статистики дают среднее рас- 346 Глава Лд Статистик. термодинамика на основе квантовой теории пределение числа частиц (систем) по ячейкам, означающим вообще квантовые состояния. Сравним теперь три полученных нами результата, т. е.
формулы (7,16) (7,25) и (7,32), вводя символические обозначения: Š— ! в ! — е в — 1 (статистика Бозе — Эйнштейна), Е -1 с в 1„р — — '1 — е в + 1 (статистика Ферми — Дирака), Е в — е в ) (статистика Максвелла — Больцмана). Вполне очевидно, что для всех трех случаев можно написать общую формулу: (7,34) ВЕ +Ь Тогда получим при Ь=+1: при Ь=О: 1т=)мв при Ь= — 1: )=)ве. Мы увидим далее, что из общих формул (7,16) и (7,25) для обеих квантовых статистик вытекают следствия в применении к конкретным квантованным системам, хорошо оправдывающиеся на опыте.
Указанное отличие функций распределения носит принципиальный характер и заключает в себе глубокий физический смысл, что обусловлено исключительно различием в природе микрообъектов и не зависит от внешних условий, Заметим еще, что сравнение функций распределения ясно указывает, что классическая статистика, строго говоря, не имеет места в природе.
Все микрообъекты являются обязательно квантованными системами, и для них оправдывается либо формула (7,16), либо формула (7,25). Однако если постоянная В 1 очень мала, то — весьма велико, и тогда в (7,16) н в (7,25) можно пренебречь единицей. В таком случае мы приходим к классической статистике, которая является предельной квантовой статистикой. В самом общем случае при Ц 1 ее ))1 В 4 л. Функции распределения для квантаванныл систем 347 М,= 1 ат — е ~1 В (7,35) Ь) Общее число частиц системы: ч='~,'м,=~ 1 аг — е т1 В (7,36) с) Функция распределения, т. е.
среднее число частиц на единицу состояния: РГс 1 1= — '= ас ят — е т1 В (7,37) б) Полная энергия системы: В я.' Есе, ас 1 ет — е ~1 В (7,38) Знак минус в этих формулах соответствует статистике Бозе — Эйнштейна, тогда как знак плюс применяется в статистике Ферми — Дирака (также и в последующих формулах). Сравнение формул (7,20) и (7,28) позволяет написать обобщенное выражение для энтропии квантованных систем: Е ) 5= — — Ий(пВ ~йа'г'а;!п'11~ Ве «г). (7,39) ( вновь получается классическая статистика, в которой квантовые свойства системы становятся незаметными. Эти сопоставления приводят также к выводу о допустимости указанного ранее квазнклассического приближения.
Статистическая термодинамика квантованных подсистем в термостате может быть построена в общем случае без указания, какую из двух квантовых статистик мы имеем в виду. В самом деле, как видно из выведенных формул и из общей формулы (7,34), чисто формальное различие между всеми статистическими схемами сводится к величинам В и 6. Следовательно, общие формулы для квантовых статистик имеют внд: а) Число частиц в с-м состоянии: 348 Глава !т!д Статистич.
термодинамика на основе квантовой теории С помощью этого выражения нетрудно найти свободную энергию и сумму состояний для обеих квантовых статистик. Так как свободная энергия Ч' равна Чт=Š— ТЬ, то согласно (7,39) находим: и," Ч"=ОТ!пВ+ИТ ~яе!п(1+ Ве ег/. (7,40) чт Далее, учитывая, что сумма состояний есть 3= а "", получаем: ае ' !п У. = — —, = — Ж 1п В ~ ~ а, 1п (! ~ Ве "г ). (7,41) Соотношения (7,38), (7,40) и (7,41) дают возможность получить все термодинамические формулы для квантованных систем, подчиняющихся любой из статистик.
Существенно, однако, что постоянная В остается неопределенной; ее значение может быть найдено в различных частных задачах. В дальнейшем для удобства мы будем обозначать: В=а '. Тогда наши формулы принимают вид: 1) Энтропия: Е1 5 = — + ЛГйа + й ~ ае 1п (! ш е вг ) 2) Свободная энергия: . 'Л Ч' = — Мй Та + й Т ~а,! п (1 + а ег ) . Ф 3) Сумма состояний; ее1 1п Х = Р7а+ ~~."~ я, 1п (! + е вг ), Р Д Квантовая статистнна одеяльного одноатол~ного газа 349 Мы рассмотрим далее несколько важнейших примеров применения статистического метода к квантованным системам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
