Радушкевич Л.В. Курс статистической физики (1185139), страница 61

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 61)

Допустим теперь, что частицы поменялись местами. Тогда для того же момента на основакии принципа тождественности частиц мы должны принять, что новое состояние не отличимо от первого, т. е. и теперь (после перестановки) функция т(22 тр2 (Чт Чн 0 соответствует тому же состоянию нашей системы. Следовательно, все отличие обеих волновых функций тр1 и тр„описывающих одно и то же состояние, в крайнем случае может сводиться к какому-то постоянному множителю Х;. поэтому: 21 Л.

В, Радушксвнч 322 Г л а в а И. 1(вантовоиеканические основы статистинеской физики Произведем еще раз перестановку обеих частиц. Тогда в предыдущем уравнении фз превратится опять в фь так как обе частицы окажутся на старых местах, а фт перейдет в трз, кото. рое равно Ьрт. Иначе говоря, после вторичной перестановки уравнение преобразуется в тйт=)зР2=Х' ' тР1 откуда видно, что ),2= 1 или Х= и= 1. Неожиданно мы открыли две возможности для волновой функции тр; именно, в одном случае при перестановке частиц местами функция ф остается неизменной: 1=+1; фт=фз. (6,12) В другом случае перестановка приводит к изменению знака волновой функции: (6,13) й= — 1; тр1= — тр2.

Это общее свойство относится к системе из любого числа одинаковых частиц, и никакой третьей возможности быть не может. Это с очевидностью следует также из того, что квадрат (ф(дк;) ~2 всегда определяет собой одну и тут же вероятность состояния системы и перемена знака при перемене местами частиц не сказывается на значении вероятности. Подобно этому, например, различают лишь два вида полюсов магнита — или северный, или южный, и никакого третьего рода магнитных полюсов мы не знаем. Волновые функции, пе изменяющиеся при перемене местами двух любых частиц системы, т. е.

удовлетворяющие условию (6,12), принято называть с и м м е т р и ч н ы м и волновыми функциями. Наоборот, волновые функции, знак которых меняется на обратный при перемене местами двух любых частиц системы, т. е. удовлетворяющие условию (6,13), называют а н т и с и м м е т р и ч н ы м и волновыми функциями. Общий анализ уравнения Шредингера показывает, что симметричность или антисимметричность волновых функций не может измениться с течением времени и под влиянием внешних воздействий; эти свойства определяются, следовательно, не состояниями системы, а свойствами самих частиц. Нетрудно показать, что для системы, состоящей из многих однородных частиц, возможные состояния описываются волно.

ными функциями системы, которые могут быть либо симметричными для всех пар частиц, либо только антисимметричными для всевозможных пар составляющих частиц. Никак не может по. й В. Лва рода частиц в квантовая,иенанике. Принцип Парли 323 лучиться, чтобы существовали функции, которые для одной группы частиц данного типа были бы симметричными, а для другой были бы антисимметричными. Эти соображения приводят к общему заключению, что так как волновая функция описывает состояние системы, то для одних систем возможны только «симметричные» состояния, тогда как для других — только «антисимметричные», и никакой больше возможности нет.

Значения чр, не удовлетворяющие одному из этих свойств, не имеют реального смысла, и мы должны для них принять чр=О. Отметим, что в макромире не существует никакого аналога подобной двойственности состояний, и мы не можем наглядно представить это свойство квантованных систем. Однако опыт с полной несомненностью подтверждает существование двух типов волновой функции, или двух родов микрочастиц, что является одним из поразительных свойств этих объектов наряду с их волновой природой.

$ 8. Два рода чаотиц в кванторой мвханико. Принцип Паули Выше было указано, что симметричность или антисимметричность волновой функции зависит исключительно от свойств самих частиц. Соответственно этому необходимо различать ч аст и ц ы двух р о до в, или классов, причем принадлежность частицы к тому или иному классу зависит от значения спина этой частицы.

Частицы первого рода, называемые также частицами Бозе (по имени индийского ученого, разработавшего теорию для этих частиц), обладают тем свойством, что перемена нх местами в соответствующей системе не приводит к изменению волновой функции. Короче говоря, состояния системы из частиц Бозе описываются симметричными волновыми функциями. К частицам Бозе относится, в частности, фотон, а также мезоны.

Частицы второго рода принято называть еще частицами ферми (по имени итальянского ученого, который создал теорию для этих частиц). Состояние системы из таких частиц опи. сывается антиспмметричными волновыми функциями. К частицам Ферми относится, в частности, электрон (а также протон и нейтрон). Еще раз необходимо подчеркнуть, что указанное деление всех микрочастнц на два класса является абсолютным, т.

е.принадлежность частицы к какому-нибудь классу не зависит от состояния частицы, ее энергии, действия внешних полей и т. д. При переходе частицы из одного состояния в другое ее класс не 21' 324 Г л а в а П. Квантовомеканикеские основы статистинескоа физики изменяется.

Это подразделение лежит, следовательно, в природе частицы. Для частиц, волновые функции которых антисимметрнчны, можно вывести важное положение, которое принято называть п р и н ц и п о м П а у л и. Этот принцип непосредственно следует из свойств волновой функции. Выделим в системе из частиц Ферми две частицы и покажем, что они не могут находиться в состояниях с одинаковыми обобщенными координатами (с одинаковыми квантовыми числами) с учетом различия спинов.

В самом деле, если координаты частиц й и ) одинаковы, т. е. да=а;=д, то волновая функция есть тр(д, д). При перемене частиц местами волновая функция, выражаемая таким путем, останется без изменения. Однако мы взяли систему из частиц Ферми; для нее волновая функция антисимметрична, т. е. перемена частиц местами должна приводить к изменению знака функции на обратный.

Таким образом, наше допущение неверно, т. е. в системе из частиц с антисимметричными функциями ф(сг, и) тождественно равно нулю, и вероятность такого состояния тождественно обращается в нуль, откуда следует, что в этой системе не может быть двух частиц с одинаковыми состояниями (с одинаковыми всеми квантовыми числами). Это положение, равносильйое запрету для систем из частиц Ферми, называют запретом, или принципом, Паули. Он был выведен вначале как чисто эмпирическое правило и лишь потом был обоснован теоретически.

Запрет Паули относится ко всем микрочастицам с антисимметричными функциями и, в частности, к электронам в атоме. Известно, что с помощью запрета Паули можно найти распределенйе электронов в оболочках атома и определить в полном согласии с опытными данными длину периодов в периодической системе элементов Менделеева. Очевидно, что частицы Бозе с симметричными волновыми функциями не подчиняются запрету Паули. Величина спина частицы позволяет во всех случаях отнести частицу к тому или иному классу и указать, подчиняется ли она принципу Паули или нет. а) Ч а с т и ц ы Ф е р м и. Эти частицы подчиняются запрету Паули; их состояния описываются антисимметричными волновыми функциями. Сюда относятся простейшие частицы, спин 1 Л которых равен — —, а именно: электроны, позитроны, протоны, 2 2н' нейтроны.

Все эти частицы мы называем частицами Ферми. Кроме простейших частиц, к этому классу относятся различйые сложные частицы, атомы и молекулы, атомные ядра, причем решающее значение имеет суммарный спин такой частицы. э 8. Два рода частиц в квинтовом" механике. Принцип Паули 325 К классу Ферми относятся сложные частицы, общий спин ко- 1 Л торых равен нечетному числу значений 8= — —, т. е. 18, 38, 2 2н' 58... Эти частицы могут быть составлены или из нечетного чис- 1 ла частиц Ферми, обладающих спином —, или из частиц Бозе 2' и нечетного числа частиц Ферми. Так, к частицам Ферми относится ядро изотопа лития, состоящее из трех протонов и четырех нейтронов, ядро изотопа бериллия из четырех протонов и трех нейтронов.

Сюда же отйосится атом азота из четырнадцати нуклонов в ядре и семи электронов вне ядра. Ь) Частицы Бозе. Эти частицы не подчиняются запрету Паули, и их состояния описываются симметричными волновыми функциями. К этому классу принадлежат частицы, спин которых или равен нулю, или составляет четное число спино- 1 й 1 а вых координат, т. е. 2 — —, 4 — - — ...

Их называют также 2 2я ' 2 2я частицами с целочисленными спинами. Из элементарных <частиц» к частицам Бозе относится фотон, спин которого равен а — или единице, а также мезоны. Сложные частицы Бозе со2тт стоят из четного числа частиц Ферми или из сочетания частиц Бозе с четным числом частиц Ферми.

Поэтому, например, к частицам этого класса относятся: ядро атома гелия из четырех нуклонов, ядро атома углерода из 12 нуклонов. Сюда же относятся атом водорода, состоящий нз протона и электрона с половинными спинами, атом гелия и другие частицы. В заключение отметим, что существование частиц двух родов по признакам симметричности и антисимметричности волновой функции приводит к двум статистикам на основе квантовой теории. Одна из этих статистик была разработана Ферми и Дираком и относится, в частности, к электронам; другая вначале была введена Бозе, а затем развита Эйнштейном и применяется, в частности, к фотонам. Особенности этих двух систем будут более подробно рассмотрены далее. глдвд чи СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА НА ОСНОВЕ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ В 1.

Характеристики

Список файлов книги