Радушкевич Л.В. Курс статистической физики (1185139), страница 56
Текст из файла (страница 56)
взятой с обратным зна- В е ком и умноженной на е. Действительно, вводя х= —, имеем В' — — „(1+е-"+е-2 +е-ел+ ...)=е-л+2е-ел+За-е"+ Рассмотрим ближе это выражение и преобразуем его. Знаменатель представляет собой бесконечную убывающую геометрическую прогрессию, первый член которой а2=1 и знаменае тель е=е е . Как известно, сумма всех членов этой прогрессии равна з= — '. Поэтому е 2е 1+е е+е в+ 1 1 — е в 296 Г л а в а К Основные вопросы статистической тервитдинамики или, что то же ! ч е ( —.)- '--- е-к 1 2е-ак+Зе-вк + с!к ! е-к ) (! е-к)2 в Умножим это выражение на е н подставим х= —. Имеем: = в' ае Зв ее в+2ее в+Зее в+ ... =, .
(5,141) (-.—:)' ' Подставляя (5,140) и (5,141) в формулу (5,!39), находим: е Е= ! — е е или в Е=— е е — 1 в Так как е=йч, то окончательяо: (5,142) ач е — 1 «г где подставлено й=йТ. Это соотношение есть знаменитая формула Планка для средней энергии линейного оспиллятора. Из (5,142) следует, что средняя энергия осциллятора вообще не равна йТ, как следовало бы ожидать по классической статистике, а зависит сложным образом от частоты ч. Таким образом, разным частотам соответствует различная средняя энергия оспиллятора. Однако легко показать, что при малых частотах и высоких температу. рах квантовое распределение энергии становится малозаметным и формула Планка переходит в классическую формулу закона равномерного распределения. В самом деле, при малом ч и большом Т показатель степени в (5,142) становится достаточно малым.
Разложим экспоненту в ряд и тогда; ач + ! ( ач )е р' И. Статистика ароиесса излучения. ттачало квантовой теории Жт Ограничиваясь двумя членами ряда ввиду малости —, иа. ач ат ходим 1+ — — 1 ат СО о ят Интеграл, входящий в это выражение, нетрудно преобразовать, для чего умножим и разделим его на йяйчТл. Тогда ке и» 2тйс~ тч сеаз (5,143) о т. е. средняя энергия уже ие зависит от частоты и выражается обычным образом. Мы указалн, что этот первоначальный вывод формулы Планка страдает рядом недостатков.
В выводе остается неотчетливым образ колеблющихся элементов. При рассуждениях непоследовательно соединялись противоречивые понятия осцилляторов и стоячих волн в полости. Поэтому мы еще вернемся к выводу формулы (5,142) в связи с современной квантовой статистикой и дадим безупречный способ рассуждений, основанный на представлениях о световых квантах. Кроме того, далее обратим внимание на так называемую нулевую энергию осциллятора. Мы видим теперь, что первая формула Планка (5,138) отличается от формулы Рэлея — Джинса (5,135) выражением для средней энергии осциллятора.
Вместо классического значения ее е=йТ теперь в выражение для энергии в 1 см' с частотой от ч до ч+с(т входит средняя квантованная энергия осциллятора (5;142). В отличие от формулы Рэлея — Джинса, соотношение (5,138) приводит к опытным законам излучения абсолютно черного тела. Покажем, что из квантовой формулы (5,!38) следует закон Стефана — Больцмана. Для этого, как и ранее, найдем интегральный лучистый поток на 1 сма отверстия абсолютно черного тела. Имеем из (5,138): 298 Г л а в а т'. Основные вопросы статистической термодинамики «ч где обозначено х= —. Интеграл в этой формуле можно вы- 'нТ ' числить (см.
математическое приложение, стр. 413) и тогда: о Поэтому формула (5,143) принимает вид; Р= о ° Те, (5,144) если константа о выражается как 2не ° Лн а4 „= с и !с(ч~= .'е.с(Л. Тогда получим: ее(УЛ = 2нас ~Л Ле '1е мт 1) Входящая сюда функция длины волны должна иметь максимум при некоторой Л„, поэтому исследуем на экстремум эту функцию.
Удобнее искать минимум обратной функции: т(Л) Лв( лвт 1) Находим производную и приравниваем ее нулю. ы ес — =Л4,5е лат — 5 — — е'"т =О. йЛ '1 Л'нТ Для ЛФО имеем: (5 — Л йТ) е " — 5 =0. Мы вывели таким образом закон Стефана — Вольцмана из формулы Планка. В полном согласии с опытом интегральный поток пропорционален .
четвертой степени абсолютной температуры, как видно из (5,144), причем константа в законе излучения выражается через известные постоянные й, с н Ь. Для вывода закона Вина из формулы Планка преобразуем (5,138), вводя взамен частоты длину волны по формулам У НЛ Статистика процесса иэлученил. Начало квантовой теории 299 Ис л ит' Тогда последнее уравнение получит вид: Введем или 1 — — б =е-в. 1 о 5 — р = 5в-й Это уравнение является трансцендентным и решается графически.
Оно имеет корень 5=4,9651. Тогда р = — =4 9651 Ис л„ит или Ис ЛлТ = 49991 И =СОПЗ1 (5,145) С помощью анализа вторых производных можно далее показать, что Л„действительно отвечает минимуму функции )(Л) или максимуму функции распределения плотности энергии по длинам волн. Полученное соотношение (5,145) представляет собой выражение закона Вина, причем постоянная Ис 4,9651 И откуда получаем формулу Рэлея — Джинса. Таким образом, анализ формулы Планка показал, что она полностью соответствует опытным данным в широком интервале частот и температур, поскольку в этих условиях из иее получаются как частные выражения, хорошо проверенные на многочисленных измерениях законы излучения абсолютно черного тела. Отсюда следует, что формула Планка может быть названа физическим законом и может служить опытным подтверждением гипотезы о квантах энергии, которая лежит в ее основе. Приведенный выше вывод средней энергии кваитованного выражена через известные универсальные константы й, с и И; подставляя сюда значения этих констант', находим, что величина Ь соответствует опытным данным.
Наконец, легко показать, что при малых частотах и высоких температурах формула Планка переходит в формулу Рэлея— Джинса. В самом деле, мы видели, что в этих условиях при Ич ,разложении экспоненты е "г в ряд можно ограничиться двумя членами, и тогда (5,!38) принимает вид: ,уи,= з", йть, 300 Глава т', Основные вопросы статистической териодиналтики осциллятора показывает, что в статистике излучения нельзя вообще применять теорему о равномерном распределении энергии по степеням свободы. Как мы увидим далее, введение квантовых представлений в статистику оказалось весьма ценным во многих отношениях, В частности, только.с помощью квантовой теории удалось устранить ряд противоречий между выводами классической статистики и опытом. глдвд ч~ КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СОВРЕМЕННОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ В 1.
Введение Статистическая физика рассматривает самые разнообразные системы, не ограничиваясь анализом молекулярных систем; статистический метод применяется к описанию поведения электронов, атомов света и т. д. Современная статистика развивается на квантовомеханической основе. Поэтому наиболее последовательно было бы сразу начинать изучение статистической физики с квантовых представлений как основы всей статистики.
Однако в нашем изложении мы до сих пор придерживались исторического пути развития статистики, когда применялись лишь классические представления, без учета квантов. Такое расположение материала связано главным образом с тем, что основы статистики легче могут быть освоены на относительно привычных объектах, к которым можно применять метод Гиббса без дополнительных соображений. Лишь после изучения классических систем этот метод становится ясным в приложе; нии к кваитованным системам. Основным положением служит утверждение, что энергия во всех процессах распределяется в виде отдельных порций, или квантов, в том числе и в тепловых процессах, что и вызывает необходимость построения статистики на основе квантовой теории.
Впрочем, если общее количество поглощенной, или переданной, энергии очень велико и составляет весьма большое число различных квантов, то квантовый характер распределения становится малозаметным, и мы можем говорить о непрерывном распределении энергии. Для таких случаев классическая статистика является достаточно точной, что и оправдывает ее выделение в самостоятельный раздел статистической физики. Но во многих процессах без учета квантовых эффектов обойтись невозможно и классический подход оказывается непригодным. Поэтому в статистическую физику вводят раздел, условно называемый квантовой статистикой, хотя по существу вся статистика должна быть по.
строена на основе теории квант. Так же несколько условным является разделение оптики на волновую и геометрическую оптику. 302 Г Еа в а И. Квантовомеыанические основы статистической физики К развитию квантовых представлений в статистике привели главным образом три обстоятельства: а) общее развитие физики атома, потребовавшее пересмотра важнейших понятий физики; Ь) необходимость статистического рассмотрения новых квантованных систем: электронов в металлах, фотонов и пр.; с) невозможность с помошью одной классической статистики выйти из некоторых затруднений (теория теплоемкости, излучение и пр.).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
