Радушкевич Л.В. Курс статистической физики (1185139), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Далее мы, во-первых, последовательно рассмотрим основные положения квантовой теории, важные для статистики; вовторых изложим кратко статистическую термодинамику на основе теории квантов, причем специально остановимся на важнейших вопросах, решенных с помощью квантовых представлений, и на соотношении между квантовой и классической статистикой.
Мы убедимся, что во всех случаях классическая статистика является предельной по отношению к квантовой статистике. Попутно рассмотрим основы двух статистических построений — статистики Бозе в Эйнштейна и статистики Ферми — Дира ка. Отметим прежде всего некоторые положения современной квантовой теории, без которых нам нельзя обойтись в дальнейшем.
Некоторые из этих положений даются в общем курсе физики в элементарной форме; их подробное обоснование здесь рассматриваться не будет, так как оно излагается в курсе теории атома. $2. Мнкрообьвкты) нх корпуекулярныв и нелиевыв веейотвв. Опрвделвннв еоетеяння В современной статистической физике рассматриваются системы (коллективы), состоящие из частиц, обычно называемых микрочастицами, хотя более правильно было бы называть их микрообъектами. К ним относятся молекулы, атомы, фотоны, электроны, нейтроны и т.
д. Основная особенность этих микрообъектов состоит в том, что они обладают сложными корпускулярно-волновыми свойствами. В нашем сознании объединение в одном образе частицы и волны не складывается в определенную, привычную для нас физическую картину. Тем не менее это свойство микрообъектов экспериментально доказано и с ним нельзя не считаться. Так, еще в 1928 г. было установлено явление дифракции электронов, доказывающее волновые свойства электрона. С другой стороны, хорошо известное явление фотоэффекта, явление Комптона и другие факты указывают на корпускулярные свой.
б л. Микрообъектъс ик корпускуллрные и волновые свойства 303 ства света, заставляющие применять понятие фотона как «атома» света. Поэтому наиболее правильно было бы считать, что для микрообъектов у нас нет'аналога из макромира и их только условно можно называть частицами в обычном смысле слова. Отсюда следует также, что описание мгновенного состояния и движения микрообъектов с помощью обычных механических параметров, т. е. обобщенных координат и импульсов, принципиально не может быть дано с абсолютной точностью. В классической механике всегда молчаливо допускается, что в выбранный момент времени параметры состояния частицы могут быть абсолютно точно известными.
На этом были основаны все предыдущие построения статистики. Но вследствие более сложных свойств микрообъектов невозможно одновременно совершенно точно измерить параметры состояния отдельной такой микрочастицы. В измерении координаты и импульса микрообъектов неизбежно имеется неточность, которая выражается известным соотношением неточностей Гейзенберга, или при н ци по м неопределенности, открытым в !925 г.
Было показано, что при одновременном измерении координаты д и импульса р микрочастицы существуют не равные нулю погрешности Ьд и Лр этих величин, причем Ь Р' ~Ч)~ 2п ° т. е. произведение неточностей больше или в крайнем случае равно постоянной Планка Ь, деленной на 2п.
Так как обе погрешности всегда не равны нулю, то отсюда видно, что чем точнее определено положение микрообъекта в пространстве, тем менее точно известен его импульс в этот же момент, и обратно, чем точнее измеряется импульс микрообъекта, тем с меньшей точностью возможно установить его положение в пространстве. Ранее мы указывали, что произведение координаты на импульс имеет размерность «действия». Поэтому соотношение Гейзенберга можно рассматривать как выражение того свойства, что минимальное 'действие всегда равно постоянной Планка Ь, представляющей собой «квант действия». Следует подчеркнуть, что соотношение неточностей никоим образом нельзя рассматривать как положение, утверждающее границу нашего знания о состоянии микрообъекта, и нельзя считать, кяк это делают некоторые ученые, что соотношение неточностей указывает будто бы на непознаваемость микрообъектов.
На самом деле оно означает лишь, что понятия классической механики — координаты, импульсы, взятые из привычного нам макромира, оказываются не вполне пригодными для описания 304 Г л а о а П. Коантооомеканические осноеы статистической физики поведения и свойств микрообъектов. А если эти понятия по необходимости все же к ним примеяяются, то неизбежно делается некоторая ошибка в величине действия, мерой которой и является величина И. Ошибка эта в величине произведения Лр Лд имеет порядок 10 'г в единицах СОЯ (гсм9сек), так что столь незначительна, что ею в ряде случаев можно пренебречь. Допуская в пределе, что И=О, мы тем самым от квантовой механики переходим к классичесКой механике. Очевидно, для сравнительно медленных движений больших тел, обладающих большими массами, фактическая погрешность в измерении величины действия, т.
е, положения и импульса (скорости), много больше И, и поэтому законно считать И=О и пользоваться обычными представлениями механики. Когда нельзя пренебречь указанными погрешностями то, полагая ЬчьО, мы учитываем квантово-механические свойства объектов. Далее мы увидим, что соотношейие неточностей имеет принципиально важное значение при описании статистического равновесия систем микро- объектов. Волновые свойства микрообъектов' проявляются непосредственно в том, что величина импульса р связана с длиной волны, характеризующей волновую природу данной микро- частицы. Это соотношение имеет вид: а л Х= — или к=— ото Р Оно было вы де Бройлем в 1924 г. и затем неоднократно эксперимента проверялось.
Установлено, что оно с большой точностью оп вается на опыте, Так как м нное состояние микрочастицы не может быть совершенно т определено с помощью механических обобщенных координа мпульсов, то описание ее движения с применением диффере льных уравнений механики становится невозможным. Сле ем квантовой природы частиц является то, что к ним канонические ураа внения Гамильтона не приВодород менимы. В этом состоит втоснодное с рое коренное отличие статистики реальных микрообьектов от классической статистики идеализированных частиц, к которым мы ранее без оговорок применяли уравнения Гамильтона. В отличие от этих урав- нений, учитывая волновую э" 2.
Микрообвектву их корпускулкрныв и волноввш свойства 305 природу микрообъектов, для описания их состояния пользуются так называемым волновым уравнением Шредингераа, содержащим некоторую волновую функцию ф(дк, ..., г), с помощью которой описываются состояния микрочастнц. Физический смысл самой функции ф остается пока неясным, но она легко позволяет рассчитать вероятность пребывания частицы в том или ином месте пространства, а также вероятность других величин, характеризующих микрочастицы.
Если ввести интеграл нормировки для функции (ф(дк...)~т .по всему пространству: то, очевидно, что )ф(д»...)~тс()т представляет собой вероятность нахождения частицы в объеме с((т, вблизи точки дд, Заметим, что функция ф(дд...) вообще оказывается комплексной, а квадрат ее модуля ~ф(ди...)(т представляет собой плотность вероятности, которая всегда является неотрицательной и вещественной. Таким образом, ~ф(дк...)~т имеет смысл плотности вероятности распределения микрообъекта в пространстве.
Например, если е — заряд электрона, то е (чт(дк...)~т есть средняя плотность заряда в точке дд, создаваемая за счет движения электрона. Здесь вероятность есть функция непрерывная, поэтому всегда можно говорить о некоторой не равной нулю вероятности застать электрон в любой части пространства. На рисунке 37 представлено распределение вероятности пребывания электрона в атоме водорода по данным расчета с помощью уравнения Шредингера. Мы видим, что электрон в подавляющем большинстве случаев находится неподалеку от ядра атома (протона), но не исключено, что электрон может на короткое время отходить от ядра и на любые расстояния.
Приведенное распределение указывает, так сказать, на «область обитаемости» электрона. Введение волново-механических представлений дало возможность в сочетании с вероятностным описанием объяснить бесчисленное множество фактов, относящихся ко всевозможным микрообъектам, и дало толчок развитию современной теории атома. Таким образом, вероятностное описание микрочастиц является основным в физике микромира, и понятно поэтому, какую важную роль играет статистика в современной физике. Этн представления мы положим в основу дальнейших рассуждений. нвп Л В. Рактшкевва 306 Г к а в а УК Квантовомеканические основы статистической йтивики В 3. Янокрвтныв уровни, кввнтоввнив анвргни н кваитовыв чиона. Вырождвиив Современная физика на основании многочисленных экспериментальных данных, неоднократно проверенных и относящихся к самым разнообразным областям, утверждает, что стационарные, или устойчивые, состояния микрообъектов представляют собой прерывистый, или дискретный, ряд, характеризующийся квантованными значениями энергии и других величин.
Это положение, резко отличное от положений классической физики, является основой всех теорий и построений современной физической науки, и мы его должны учитывать в дальнейших рассуждениях. Понятие дискретности и смысл его легко видеть на простом примере дискретности или прерывистости натурального ряда целых чисел 1, 2, 3, 4... в отличие от непрерывно меняющейся математической величины. Анализ волнового уравнения Шредингера показывает, что для микрочастнц, заключенных в конечном объеме (в «потенциальном ящике»), волновая функция тр имеет конечное и непрерывное значение только при определенных дискретных величинах энергии Е. Если объем, который доступен для микро- частицы, не является конечным, то значение энергии ее может быть и произвольным, однако и в этом случае именно устойчивому состоянию микрочастицы отвечает опять ряд дискретных значений ее энергии.
Эти значения определяют собой так называемые энергетические уровни для данного микро- объекта. Так, из общего курса физики известно, что в теории атома водорода по Бору вводятся представления об устойчивых состояниях электрона в атоме. Когда электрон находится на и-й устойчивой «орбите», то система обладает энергией: Е Раз и ат где Ие — константа.
Здесь Е„< О, так как на электрон действует сила притяжения. Все устойчивые орбиты могут быть пронумерованы с помощью квантовых чисел и, так что имеются орбиты для п=1, 2, 3, 4... Отсюда ясно, что в устойчивых состояниях система может обладать только дискретными значениями энергии Еь Еъ Ев, ... Е„и не может иметь промежуточных величин энергии. Этот вывод подтверждается современной теорией атома, основанной на применении уравнения Шредингера, однако эта теория приводит еще к тому, что при Е>О, когда электрон, двигаясь извне, приближается к ядру и затем удаляется от него по гиперболе, его энергия меняется непрерывно; вэтом слу- ф В.
Дискретные уровни, квантование энергии и квантовые числа 307 чае дискретность не имеет места и область движения электрона неограниченно велика, а состояние его не является устойчивым. Такие случаи мы не рассматриваем, так как при бесконечно больших объемах нельзя говорить о термодинамическом равновесии и об устойчивых состояниях.
Когда же атом находится в ящике конечных размеров, то, как это следует из уравнения Шредингера, энергия может иметь только прерывистые (дискретные) значения и тогда запас энергии микрочастицы изменяется только квантами, т. е. скачкообразно. Распределение квантованных уровней энергии и соответствующих им квантовых чисел определяется решением уравнения Шредингера. Уровень с наименьшей энергией, нли наинизший уровень, называется обычно о с н о в н ы м.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
