Радушкевич Л.В. Курс статистической физики (1185139), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Вводя в (5,119) значение~ — ) тдр ч 1Ю )т др абсолютной величины ~ — ~, находим: дУ ~ 1др та(х) ехр ~ —,а„(ЬТ)' — ат ~ д1, ~ (Мт)~~. (5,119') Это выражение распадается на два множителя, один из них зависит только от ЬТ, тогда как второй зависит лишь от ЛК Следовательно, формула (5,119') может бытьпредставлена как тв(х) е '~™ е ыт 1 аи~т' ". (5120) Отсюда следует, что вероятность флюктуации какого-либо из параметров Т илн )т может быть представлена как произведение двух вероятностей, как для двух независимых событий.
Иначе: с„ а~(Т) ЛТ е '"'" ЬТ. ~ аа ()т).д)т мт 1ат ~ ~ ~„д)т 284 Г л а в а т'. Оснввнвсе вопроси статистической термодинамики с„ ,(т)=ле г ~др гв(й)= Ве гвт ! ди~т (5,121), (5,122) Отсюда следует, что флюктуации температуры и объема рас. пределены по общему закону Гаусса: а уч м(у)=б.е (5,123) Здесь постоянная ст может быть легко найдена из интеграла нормировки, если считать, что переменная у лежит от — ао до +со. Имеем: +се 1=0~ е ' Фу.
Нам теперь уже известно, что написанный здесь интеграл Пуассона имеет простое выражение (см. приложение, стр. 409); +'в ау' е г сг'у=~. — СО Поэтому — аут и(У) сгУ = )т йа е ' сгУ. Найдем теперь среднее квадратов у, пользуясь известными пра- вилами: +се +' аы у'= ) угу(у)с(у=~~„) у'е ' ау. Здесь опять встречаем знакомый нам интеграл Пуассона (стр. 410).
Значение его: ау' ау' „'е г т(у 2 ~ уге г,ту У' ~" Здесь множители в правых частях представляют собой величи- ны, пропорциональные плотностям вероятностей по общим опре- делениям (см. вводную главу), т. е. -4 И. Флюктуации термодинамических величин Таким образом, (5,124) =~/7ст.~ ф . (5,127) Последнюю формулу мы использовали ранее в главе П, рассматривая флюктуации в газовом термометре (стр. !55). 2) Введем теперь независимые постоянные р и 5. Находим для подстановки в формулу (5,118): Известно из термодинамики: Поэтому уравнение для ЬТ принимает вид: б Т = — ° 55 + ~ дТ ) ° дхР, и для Л)с имеем: Л'-(д ) ЛР+(д ) ЬЯ Подставляя эти выражения ЬТ и 5)с в исходную формулу (5,! 18), находим длР (зт ( д ) '(~Р)' нхс (ась)~1.
(5,128) Эта общая формула легко позволяет находить значение флюктуаций для любого значения у. Имеем из (5,123) и (5,124) ич те(у)=0 е (5,125) Сравнивая соотношение (5,125) с формулами (5,121) и (5,!22), находим флюктуации температуры и объема: 5„=~У'(д,Т) = Т ..~/ ' 286 Г л а в а К Основные волросы статистической термодинамики Это выражение распадается на два множителя, зависящих только от Лр или Л5. Следовательно, 1 аи 1 1 — ~~ — ) 1аря — <ам* тэ( ) в тет! вр 1в в тисе 1' дУ '1 Здесь мы учли, что ~ — )в (О. Таким образом, для флюк- '1 др) туаций энтропии и давления мы вновь получили гауссово рас- пределение вида (5,!23) и, вновь прибегая к формуле (5,124), находим величины флюктуацнй б, = ~Г(лир = )/~с,, ь,= т1етт=р~ ет ~' ~ .
Как показывают найденные четыре формулы для флюктуа- ций термодинамических величин, все флюктуации весьма малы, так как в эти выражения входит очень малый множитель TЕ Кроме того, средние квадраты флюктуаций аддитивных вели- чин, а именно, объема и энтропии, растут пропорционально размерам (объему) тела, как известно для всех флюктуаций ад- дитивных величин (см, вводную главу). Флюктуации возрастают с температурой, как показывают формулы для Ьр, бг и бг.
Заметим, что гауссово распределение для флюктуаций мо- жет быть выведено общим методом и относится к флюктуациям других термодинамических величин. В заключение анализа флюктуаций следует указать, что рас- падение выражения для тм(х) на независимые множители ука- зывает на независимость флюктуаций объема и температуры, так как лЪ' лТ=О; то же относится н к флюктуациям энтропии и давления, т. е. ЛЗ.
Лр=о. ф 14. Статнотика процеееа излучения. Формулы Рвлвя — Джннеа и Планка. Начале квантовой теории Вопрос о применении статистики к излучению абсолютно черного тела имеет общее значение, так как с ним связано обоснование необходимости перехода от классической статистики к так называемой квантовой статистике.
Именно, прп попыт- 8 74. Статистика ароцесса излучения. Начало квантовой теории 287 ках использования закона равномерного распределения энергии для вывода законов черного излучения классические представления потерпели неудачу, что исторически вызвало рождение квантовой теории. Поэтому перед рассмотрением новейшей квантовой статистики полезно подробнее остановиться на этом поворотном пункте статистической физики.
Известно, что абсолютно черным телом называется система, для которой поглощательная способностьпо отношению ковсем световым волнам равна !007о. Практически абсолютно черное тело осуществляется с помощью какого-либо твердого тела с внутренней полостью и отверстием в стенке, имеющем очень малые размеры по сравнению с размерами полости. Если температура оболочки выше температуры окружающей среды, то отверстие испускает лучи и спектр излучения является сплошным. Изменяя температуру, мы наблюдаем изменение свойств этого.излучения. Для абсолютно черного тела весьма точно соблюдаются известные законы Стефана — Больцмана и Вина в широком интервале температур примерно от температуры жидкого воздуха — 193'С до почти 3000'С. Оба закона являются не просто удачно подобранными эмпирическими формулами, но могут быть обоснованы чисто термодинамически.
Однако этот путь обоснования нельзя признать достаточно удовлетворительным, так как сама термодинамика, как мы ранее подчеркивали, нуждается в более глубоком обосновании, являясь феноменологическим построением Естественно, что вскоре после открытия н проверки указанных законов температурного излучения делались попытки более глубокого их анализа, основанного на представлениях о механизме лучеиспускания.
Во всех попытках подобного рода исходили из картины равновесия излучения в 'полости. В самом деле, закроем на время отверстие в оболочке абсолютно черного дела и будем поддерживать стенки при некоторой постоянной температуре. Тогда внутри оболочки должно установиться постоянное, непрерывно длящееся стационарное состояние излучения,. при котором стенки будут посылать световую энергию в полость. Накапливания энергии там, однако, происходить не может, так как вместе с процессом испускания будет иметь место и акт поглощения света. Спустя короткое время скорости обоих процессов должны сравняться и полость будет постоянно заполнена излучением, распределенным с постоянной плотностью О. Этот физический образ равновесного состояния излучения послужил исходным моментом в описании свойств излучения абсолютно черного тела, причем во всех первоначальных выводах применялись не вполне четкие модели атома и представления, не соз Г л а в а т'.
Освоение вонросм статистической термодинамики выдерживающие критики в настоящее время и часто лишенные последовательности. Источником излучения можно считать стенки полости, состоящие из атомов (молекул) твердого тела. Эти атомы в электромагнитной теории света рассматривались как простейшие линейные осцилляторы, посылающие лучистую энергию в полость.
Очевидно, такие осцилляторы стенок должны обладать также и способностью поглощать энергию из полости, т. е. они одновременно являются и резонаторами. Идеализированной схемой равновесия излучения в полости является картина стоячих световых волн, образующихся в полости в предельном случае, когда стенки оболочки можно считать идеально гладкими, т. е. зеркально отражающими все лучи. Учитывая, что абсолютно черное тело всегда дает сплошной спектр, мы должны принять, что осцилляторы, излучающие электромагнитное колебание, обладают всевозможными собственными частотами и соответственно всевозможными значениями энергии. Можно было бы предполагать, что средняя энергия всех линейных осцилляторов при данной температуре есть одна и та же величина. Ранее мы показали (стр.
243), что средняя' энергия осциллятора равна е='нТ, как это следует из закона равномерного распределения энергии по степеням свободы. Соответственно этим представлениям следовало бы ожидать, что и стоячие волны в полости с отражающими стенками тоже характеризуются всевозможными частотами илн длинами волн. Число таких волн, следовательно, неограниченно велико, но можно найти, какое число волн соответствует частотам в интервале от ч до я+А. Мы дадим здесь подробный вывод, исходя из схемы стоячих волн в полости с идеально отражающими стенками. Несмотря на упрощенную схему, весь вывод является достаточно общим и даваемый им результат может быть получен н более строго, Для дальнейшего он имеет принципиально важное значение, и мы будем позднее к нему возвращаться в других разделах, в частности в теории твердого тела.
Сначала для простоты возьмем две зеркальные плоские стенки, расположенные параллельно друг другу на расстоянии й Ясно, что тонкий параллельный пучок лучей, пущенный перпендикулярно от одной из стенок, будет отражаться от второй стенки и пойдет по той же прямой в обратном направлении. При интерференции обеих бегущих волн образуется стоячая волна, причем вследствие идеального отражения от поверхности всегда на обеих стенках имеются узлы. Условием стоячих волн здесь будет соотношение, указывающее, что иа длине с уклады- 4 14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
