Радушкевич Л.В. Курс статистической физики (1185139), страница 64
Текст из файла (страница 64)
(7,7) Вначале рассмотрим систему в изолирующей оболочке, т. е. энергия системы Е есть величина постоянная, и это количество энергии соответственно распределено между М частицами и равно: (7,8) Дадим теперь расчет вероятностей состояния для двух статистик. А. С т а т и с т и к а Б о з е — Э й н ш т е й н а.
В этой статистике поведние микрочастицы описывается симметричными вол. новыми функциями и частицы не подчиняются запрету Паули. Выделив область с гс ячейками, найдем число перестановок № частиц по этим ячейкам, совместимое со свойствами частиц Бозе. Задача сводится к распределению неразличимых № элеМентов среди ячеек, причем в каждой ячейке число частиц ЗЗП Глава тП. Статистик. термодинамика на основе квантовой теории ничем не ограничено. Соответственная формула может быть найдена в комбинаторике, если сформулировать задачу как проблему нахождения числа способов, которыми М! неразличимых объектов может быть размещено по ге нумерованным ячейкам независимо от числа объектов в каждой.
Можно доказать, что это число способов равно: (!не+ее — 1) ! М;!(~~ — 1) ! Дадим простейший вывод этой формулы. Обозначим все частицы кружками, а перегородки между ячейками изобразим вертикальными штрихами. Тогда какое-то распределение кружков и штрихов будет выглядеть так: С)О!ООО!ОО!ОС)ОГ ~О~ООО Очевидно, этот ряд должен начинаться с какой-то ячейки, например с первой; число перестановок среди остальных равно (з! — 1)! Всего взаимно размещаемых элементов У!+ге — 1, Полное число перестановок среди этих элементов есть (!Ут+з! — 1)! Однако сРеди них имеютсЯ такие, где неРазличимые частицы перестанавливаются между собой, таких перестановок всего )Ут! Кроме того, в общем числе перестановок есть такие, когда перестанавливаются ячейки между собой. Таких перестановок имеется (ге — 1)! Перестановки частиц и ячеек между собой не соответствуют новым состояниям.
Поэтому общее число всех перестановок (7!(!+ге — 1)! следует разделить на Жт! и (зе — 1)! Так мы получаем формулу (7,9). Величина и! означает число комплексий в области !. Полное число комплексий по всему фазовому пространству представляет собой, как известно (стр. 1!3), статистический вес ((Рт. Он может быть найден перемножением всех ш! по всем областям фазового пространства. Все ш! необходимо именно перемножить, а не сложить, так как сочетание каждой из ш! комплексий с и; комплексиями дает штш! значений и так будет для всех областей пространства. й'.= П = П '"'.+„ (7,10) !чт! (2! — 1) ! где Ц вЂ” символ произведения по всем !.
Логарифм этой вели! чины пропорционален энтропии системы. Поэтому находим: !п ()(~т — — Х !)п (те!+ 3! — 1) ! — )п Лгт! — !п(з.— !) !], (7,1 1) 4 2. Функции расаределения для квантвваннык сисгелч 337 Преобразуем это выражение с помощью формулы Стирлинга (стр. 408); Х1 — ( — ) Допустим, что в каждой области имеется большое число ячеек и распределено большое число частиц.
Тогда после замены факториалов выражениями по формуле Стирлинга и после пренебрежения единицами (гч»1) получим после сокращения: 1п (ес'г = ~ [(М;+з;) 1п(М;+г,) — М,!и%, — я; 1п з,[. (7,11') В статистической термодинамике изучается распределение при термодинамическом равновесии системы. Мы должны поэтому найти распределение всех М; по всем ячейкам, которое отвечало бы условию равновесия. Это распределение осуществляется наибольшим числом способов, и ему отвечаетмаксимальное значение энтропии системы. Следовательно, необходимо найти условие, когда !п Ют максимально.
Для этого применяем метод варьирования, который нам уже встречался ранее в аналогичных задачах классической статистики. Находим вариацию !п Кт, считая М; переменным, и приравниваем ее нулю: Ь(п%; = ~ [1п(Ж;+я;) ЬЖ,+ЬМ,— 1пЖ,Ь)!7,— ЬФ,[=0, или Ь!п Нтг —— ,)~~ [1п ~,, ' ° ЬИ ) — — О. (7,12) У нас, кроме того, должны соблюдаться условия (7,7) и (7,8), которые мы тоже должны варьировать по Мь и тогда: ЬМ=ХЬЛг,.=О, (7,13) ЬЕ =~Е,ЬИ,=О. (7,14) Этими тремя соотношениями (7,12), (7,13) и (7,14) исчерпываются все возможные вариации Мь Пользуясь методом неопределенных множителей Лагранжа и умножая уравнение (7,13) на неопределенный множитель се=!п В, а уравнение 1 (7,!4) на неопределенный множитель р= — —, где О имеет раз. сс л.
В. Раячшкеяич 338 Гнева ПС Статистик. термодинамика на основе квантовой теории мерность энергии, а  — безразмерная константа, сложим по- сле этого все три равенства (7,12), (7,!8) и (7,14): ')',(1п ~'+" +1п  — В!) 5ЛГс=О. Отсюда, так как бй!чФО, то 1и +1п  — — =О. !чг!+ Вт !чг; е (7,14') ел М,= а' 1 в — е — 1 В (7,15) Разделив йГе на гь мы найдем среднее число частиц, т!риходящихся на одну Рю ячейку, т. е.
среднее заполнение ячеек, которое можно рассматривать как функцию распределения. Из (7,15) следует, что в данном случае: лсл 1 ел вт 1 в — е — 1 В (7,16) Формулы (7,!5) и (7,16) являются основными положениями статистики Бозе — Эйнштейна. Полная энергия системы теперь может быть представлена на основании (7,8) и (7,15) как Е= ~)~~ (7,17) 1 в — е — 1 В Эта формула содержит две неопределенные константы В и 8.
Первая из них может быть найдена нз условия (7,7): м = ~~„'м,='~~ 1 в — е — 1 В (7,18) Для нахождения О представим себе нашу систему в термостате. Поведение системы в этих условиях будет мало отличи- Находим из этой формулы р а в н о в ес н ое число частиц йГ; в зт ячейках: д 2. Функции расаредеяения для квантованных систем 339 мым от того, которое мы рассматривали, если мы увеличим размеры термостата. Из термодинамики известно, что д3 1 дЕ Т' Так как Я=й 1п Ятт, то мы получим выражение для энтропии, если в формулу (7,11') подставим Л!! из соотношений (7,15) н (7,14').
Тогда 1п ! ест = ~д~ 1(Л! ! + я!) 1п (Л! ! + яс) — Лг! 1п ЛГ! — я! 1п з! 1 = ! =~(Лтс!п сл~ '+яс!п ! ( ")= !ч! е! е, 1 в Лт ( — ' — !пВ)+;1п 1 о — е — 1 В в!11 =~ [и, ( е' — Ь В) — *, 1 (1 — Вг х!) . [7,19) ! Принимая во внимание (7,7) и (7,8), находим из (7,19): е! 1 1п Ют = — — Лт! п  — ~~)~~ ас! п (! — Ве а ) .
т=в Следовательно е! ! о=й(п!Ттт= в Л'А1п — й~)~~а!1п(1 — Ве '). (720) ! Дифференцируем это выражение по полной энергии и прини. дЗ маем во внимание формулу для —. Тогда — — — откуда О = АТ. дЗ 1 я дЕ Т В' Мы нашли, что 8 в формулах (7,!5) и (7,16) статистики Бозе— Эйнштейна имеет то же значение, что в классической стати. стике. 340 Глава )т1Г Статистки. тернодина.ника на основе квантовод теории В.
С т а т и с т и к а Ф е р м и — Д и р а к а. Эта теория относится к частицам, поведение которых описывается антисимметричными волновыми функциями и которые подчиняются запрету Паули. Последнее означает, что когда квантовое состояние частицы определяется четырьмя квантовыми числами, то в одной ячейке может быть только одна частица или клетка может быть пустой.
Выведем формулу распределения для этого случая. Для системы из частиц Ферми рассмотрим 1-ю область фазового пространства с зт ячейками и будем распределять в ннх № частиц, причем, очевидно, в данном случае должно быть зт > №, иначе будет нарушаться запрет Паули. Задача, таким образом, сводится к нахождению числа способов, которыми можно распределить № неразличимых объектов в гт клетках, помещая в каждую клетку только по одному элементу нли оставляя клетку пустой.
Среди задач комбинаторики рассмотрим сначала задачу нахождения числа способов, которыми № р а з л и ч и м ы х объектов может быть размещено по г; нумерованным ячейкам так, чтобы ни в одной нз последних не было более одного объекта, причем № (го Это число способов, очевидно, равно: гт! (гт — дтт) ! В самом деле, для первого объекта мы имеем гт возможностей размещения, тогда как для второго объекта после размещения первого имеется (зт — 1) возможностей, для третьего — (вт — 2) и т.
д. Для последнего объекта остается лишь (гт — )Чт+1) возможностей. Таким образом, число размещений для всех № объектов равно: я,(в,— 1)(ят — 2)(ят--В) ... (я,— Ж,+1) гт(гт — 1)(гт — 2)... (гт — Мт+1) ... 1 г,! или, иначе, (гт — %т)1 ' (гт — от!) ! гт! твт дтт1(г! — )ч!) ! (7,21) Если теперь принять, что все № объектов неразличимы между собой, то №! различных перестановок № объектов в ячейках мы должны считать за одно размещение. Поэтому полученное число способов надо еще разделить на №! Следовательно, число комплексий в области 1 фазового пространства для частиц Ферми равно: 4 2. Функции распределения дев квантаваннесе сцстеи 341 Полное число комплексий для всего фазового пространства, или термодинамическую вероятность, найдем опять перемножением всех выражений (7,21), и тогда г Де кт,1(е! Ь!!) ! (7,22) Сравнивая (7,22) и (7,10), мы находим, что они существенно различны, и это указывает на отличие обеих статистик.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
