Радушкевич Л.В. Курс статистической физики (1185139), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Не будем пока по-прежнему различать газы из частиц Бозе и из частиц Ферми. Соответственно будем приводить сдвоенные формулы с обоими знаками при единице. Введем в формулу (7,43') для общего числа частиц новую Е переменную под знаком интеграла, положив х= —.
Тогда з 2яУ (2огат) 1' х дх лг о В гг . Сюда теперь входит определенный интеграл, который является функцией только параметра вырождения В (точнее, один из двух интегралов соответственно одному из знаков перед единицей). Положим: 1 (7,50) Р(В) 2 1 о В Тогда получим: (7,51) з лг (2 ат)', ),г Р(В) аг Если учесть, что отдельные уровни энергии могут быть л-кратно вырожденными, то это соотношение, так же как и последующие необходимо умножить на д. Поэтому з (7,52) Интегралы вида (7,51) рассматриваются в математике, и для них получены выражения в виде сходящихся рядов (математическое приложение, стр. 411).
Подставляя их в формулу (7,52), мы получим соотношение, откуда можно для данного М рассчитать В и найти степень вырождения- газа, хотя, конечно, разрешить (7,52) относительно В невозможно и приходится пользоваться косвенными методами. Полную энергию газа находим из общего выражения (7,44), Е где опять производим замену переменной, положив х=л .. 336 Г л а в а (тП. Статиетич. термодинамика на оенове «вантовой теории Тогда при д-кратном вырождении уровней имеем: з 3 й75~~ (2птнаТ) Г)(В) (7,53) где 6(В) представляет собой интеграл вида (стр.
411): з ~(В) 4 ~' х йх 3)тп .) о В (7,54) который, как видим, является функцией ния В. Этот интеграл опять-таки может форме сходящегося ряда. Разделив (7,53) на (7,52), находим одну частицу газа: з = — = — АТ вЂ”. Е 3 б(В) Ф 2 Р(В)' параметра вырождебыть представлен в среднюю энергию на (7,55) Поэтому полная энергия газа из Фв частиц может быть пред- ставлена в виде: (7,56) ОР 1 ! Е) !(В)= ) Е' 1и'(1ТВе зг)г7Е= о з = (йТ) ' )г х'! и (1 ~ Вв-м) е(х.
о Соотношения (7,55» и (7,56) показывают, что для вырожденных газов не получается той простой зависимости энергии от температуры, какую мы вывели в классической статистике. Средняя энергия одной частицы по (7,55) зависит от степени вырождения газа В, которая сама является функцией температуры и свойств газа. Поэтому и энергия на одну степень свободы не равна тзйТ, как ранее, а выражается сложной функцией температуры, плотности газа и атомного веса. Можно показать, что общее выражение для энтропии вырожденного газа сводится также к соотношению, содержащему введенный выше интеграл (т(В).
Произведем опять замену переменной в интеграле формулы (7,45). Тогда этот интеграл примет вид: У Д Квантовая статистика идеального одноатонного гага 357 Входящий сюда интеграл можно взять по частям: СО 3 гь ндггг-~е» ~ т~ Отг — ~~е о з о Можно легко убедиться, что выражение в прямых скобках равно нулю, и тогда з 7(В)=+(йт)з ф~," "" =+~ф(й7)з.а(В). о  — е» ~ 1 Совершенно аналогичным образом с помощью интегралов Р(В) и б(В) преобразуется выражение (7,46) для свободной энергии. Отсюда обычным путем можно найти давление газа, так как дчт Р= д(т ' Опуская подробности этого вывода, приведем лишь оконча- тельный результат, а именно: з р=й7', д 0(В).
«з (7,58) Вводя сюда )т' из формулы (7,52), находим после сокращения, полагая У=Уз.' Р)~= дат . Р В =Й7 Р(В 0 (В) О (В) (7,59) Мы получили уравнение состояния вырожденного идеального газа. Оно отличается от обычного множителем, который является функцией параметра вырождения В. Произведение Подставляя это выражение в формулу (7,45), находим общее соотношение для энтропии вырожденного газа (если ввести статистический вес й): з $ = — — ай !п В т дИ/ „, ° 0 (В). (7,57) 388 Г л а в а тей Статистик, термодинамика но основе квантовой теории рР не пропорционально абсолютной температуре, как для «классического газа», а является сложной функцией последней, так как В зависит от Т.
Кроме того, в В входит плотность газа и масса частиц. Когда вырождение исчезающе мало, то поправочный множитель обращается в единицу и мы получаем прежнее уравнение Клапейрона †Менделее. Замечательно, что, несмотря на особенности вырожденного газа, отражаемые наличием параметра вырождения в приведенных формулах, основное уравнение кинетической теории газов оправдывается и для случая вырожденного газа, независимо от степени вырождения.
В этом легко убедиться, разделив (7,59) на (7,56). Мы получаем тогда: 2— рУ Е (7,60) т. е., как и ранее (стр. 48), произведение давления на объем газа равно двум третям от полной энергии. Следовательно, поступательное движение частиц носит одинаковый характер как для классического газа, молекулы которого мы представляли в виде малых шариков, так и для квантованного газа из микро- частиц любой природы. В общем анализе свойств вырожденных газов мы не касались природы микрочастиц. Сходство основных статистических формул для газов из частиц Бозе и из частиц Ферми допускает до известной черты совместное рассмотрение.
Однако это не значит, что между свойствами газов той или другой прлроды нет вообще никакого различия. Напротив, можно показать, что особенность природы микрочастнц при достаточно. сильных вырождениях заметно сказывается на поведении газа в разных условиях. Поэтому рассмотрим теперь отдельно свойства газов Бозе и газов Ферми. а) Газы из частиц Бозе Соответственно исходным положениям статистики Бове— Эйнштейна мы должны для газов из частиц Бозе взять знак минус перед единицей во всех выведенных формулах. Обозначив вновь В=в а, мы видим, что в данном случае необходимо рассмотреть значения интегралов: 2 у х йх 0 4 3. Квантовая статистика идеального аднаатамнага газа ЗИ з ьь ~(~)— а и ввести их в основные формулы (7,52), (7,53) и (7,57), Наличие знака минус перед единицей весьма существенно отражается на поведении вырожденного газа. В самом деле, отсюда следует, что для частиц Бозе величина а всегда положительна, так как число частиц и полная энергия газа могут быть по смыслу только положительными величинами.
Число частиц Бозе с энергией от Е; до Ее+ ЬЕг по формуле (7,47) равно: з 2нттд (2т) Ес~ 'Ляг г= аг аь— в — 1 гг При а>0 эта величина всегда положительна, между тем как если взять а<0, то при малых Е; были бы возможны значения Мь которые являлись бы отрицательными, что лишено физического смысла. Отсюда видно, что сс меняется в пределах от 0 до + аа. Соответственно имеем: слабое вырождение: а-«со (В О); сильное вырождение: а †«О (В в 1).
Очень слабо вырожденные газы Бозе следуют с достаточной точностью классическим законам идеальных газов. В широком интервале температур и при не очень значительных плотностях вырождение в соответствии с формулой (7,49) для всех газов Бозе ничтожно мало. В области 5 — 1О'К небольшие отступления от поведения классического идеального газа, предсказываемые теорией вырождения, как правило, затушеваны отступлениями от идеальности за счет Ван-дер-Ваальсовых поправок.
Энергия для случая достаточно сильного вырождения газа Бозе может быть вычислена при расчетах интегралов Р(В) и 6(В). Ввиду сложности этих расчетов, не имеющих принципиального значения, мы. их приводим в математическом прило- Ззо Г л а в а ГП. Статистик. термодинамика на основе квантовой теории женин (стр.
412). В результате можно показать, что при достаточно малом сс (сильное вырождение) средняя энергия частицы может быть найдена из соотношения: з = — сто! — 0,17681 откуда видно, что отступления от классического соотношения 3 е = — йТ тем больше, чем больше плотность газа, меньше мас- 2 са его атома и ниже температура, Примером вырожденного газа Бозе является жидкий гелий П при низких температурах. Свойства гелия наиболее благоприятны для изучения явления вырождения, хотя, казалось бы, водород, как более легкий, должен в большей степени обнаруживать вырождение. Однако прн низких температурах водород' состоит из молекул Н„ тогда как гелий — из атомов Не, т.
е. к нему применимы выводы для простейшего одноатомного газа. Изотоп гелия Нее, состоящий из четырех нуклонов и двух электронов, следует статистике Бозе. Его температура кипения весьма низка и составляет 4,2' К, тогда как водород кипит при 20,3' К. Расчеты с применением статистики Бозе показывают, что при температуре около 3' К идеальный газ из атомов гелия с плотностью, близкой к плотности жидкого гелия, должен быть почти полностью вырожденным (а= О). Работы Кеезома, Капицы, Ландау и других исследователей показали, что при температуре 2,2'К гелий испытывает фазовое превращение и переходит в жидкий гелий П, свойства которого являются аномальными.- В твердое состояние гелий переходит только при давлениях свыше 25 атм. Многие свойства жидкого гелия П, например его сверхтекучесть, совпадают с теми, которые предсказывает теория вырождения газов из частиц Бозе.
Хотя величины отступлений от идеальности в поведении жидкого гелия, найденные из теории вырождения газов одного порядка с отступлениями, обусловленными поправками Ван-дер-Ваальса, все же большинство исследователей считает, что наблюдаемые отступления вызываются как действием молекулярных сил, так и вырождением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
