Galitskii-1992 (1185113), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Показать, что для эффективного радиуса взаимодействия гс, см. (ХШ. 1о), справедливо выражение гс = 2 ~ ~ [ — — ' + 1) — у,', (г) ~ йг, с где хс(г) — радиальная волновая функция (хс = гт(с) состояния с ( = 0 и Е= О, нормированная условием Хо(г) = ( — г/аз+ 1) при г — ь.
сю (ао — длина рассеяния). Найти гс для непроницаемой сферы радиуса Р, а также для б-ямы, У(г) = — яб(г — К), и прямоугольной ямы радиуса т( в момент возникновения в иих связанных состояний, когда ас — †. 13.44. Показать, что эффективный радиус взаимодействия г~ в состоянии с (Ф О, см.
(Х111.15), в момент появления в потенциале связанного состояния ") равен гз = — 2 [(21 — 1)11) Сз где С~ — нормировочный коэффициент в волновой функции с Е = О, при этом Х,(г) = С,г ' при г- со и ~ Х,'(г)юг=1. с Найти г~ для б-ямы. и) Виртуальный характер уровня и знак ач(1)( О следуют из факта отсутствия реального связанного состояния. С учетом эффективного радиуса г,(1) следует е.„ = 61 кэВ. 'з) Этот случай наиболее интересен, так как в отсутствие в потенциале мелкого уровня слагаемое с эффективным радиусом в (Х111.15) выступает как малая поправка, 164 13.45.
Найти фазовый сдвиг Ьо(й) и сечение рассеяния медленных частиц: а) иепроиицаемой сферой радиуса Й; б) б-ямой, (/(г) = — аб(г — )т); в) прямоугольной ямой радиуса )т и глубины (/о. Воспользоваться разложением эффективиого радиуса. 13.46. Рассмотреть рассеяние медленных частиц в парциальиой волне с моментом 1 ~ О в потенциале (/(г)= — яб(» — /т).
Специально обсудить случай резонансного рассеяния в условиях существования в потенциале квазистациоиариого состояния с малой энергией Ел << Узз/тйз, найти его ширину Рл. 13.47. На примере модельной задачи: потенциальная яма глубины (1е и радиуса Л, окруженяая б-барьером 0(г) = сзб(г — г() (рис. 28), обсудить особенности резонансного рассеяния медлеииых частиц в з-состояиии, связанные с наличием малопроии- Рис.
28 цаемого барьера 'т). Указание. Воспользоваться разложением эффективного радиуса, обсудить влияние малопроиицаемого барьера иа значение эффективного радиуса взаимодействия го. 13.48. Найти парциальиую амплитуду з-рассеяиия в потенциале (/(г) = себ(г — )с).
В случае малой проницаемости б-барьера определить положения Ел,„ и ширины 1'л, „нижних квазидискретиых з-уровней (с Ел — Ьз/тттз). Сравнить сечения рассеяния иа б- и непроницаемой сферах. Каково значение /ьа(Е) разности этих сечений при энергии частиц, близкой к энергии квазидискретиого уровияр 13.49. Параметры потенциала (/о(г) выбраны так, что в ием имеется связанное состояние с энергией Е = 0 и моментом 1 (длииа рассеяния а1з1 = оо) ") Для физических приложений особенно интересен случай, когда такой барьер связан с кулоновским отталкиванием заря.
жеииых частиц. Однако ввиду медленного убывания кулоиавского потенциала этот случай требует специального рассмотрения, см. (1, $138). ,165 Найти длину рассеяния а~ в этой парцнальной волне прн малом изменении потенциала на 5(/(г). Используя полученный результат, обсудить вопрос о различии зависимостей энергии уровня от 5(/(г) в случаях 1= О н 1Ф О; сравнить с 4.27 н 4.28.
9 4. Рассеяние быстрых частиц. Прнблнженне эйконала 13.50. Получить выражение (ХН1.18) для амплитуды рассеяния быстрых частиц суммированием ряда разложения ее по степеням потенциала (кратностн взанмодейстння), см. 13.10. 13.51. Показать, что полное сечение рассеяния быстрых частиц, й)с » 1, в потенциале (/(г) радиуса )1 может быть вычислено по формуле =4 )(1-- ( —;„. (пауз+**) *и ° з независимо от соотношения между энергией частиц и характерной величиной потенциала, т. е. справедливость формулы не предполагает выполнения условия Е » ~ (/(г) ~ применимости приближения эйконала. Использовать полученный результат для вычисления сечения рассеяния частиц потенциальным барьером (нлн ямой): У= Уз прн г()1 н (/=О прн » К. 13.52.
Найти полное сечение рассеяния частиц в потенциале 1/(г) = я/г' с и ) 2 н сс > 0 прн энергии Е- со. Сравнить с 13.2. 13.53. Рассмотреть «потенцнал» вида (/ = = д(Е) е-ггз, экспоненцнально спадающий на больших расстояниях н с константой связи "), возрастающей степенным образом с увеличением энергии: д(Е) = дз(Е/Ез)". Показать справедливость следующего ограничения: о(Е) ( оз1п'(Е/Ео) на возможный рост сечения рассеяния прн Е-+. со. м) Отметим, что спин-орбитальное взаимодействие, ст = = з 11(г), эффективно растет, з т/Е, с увеличением Е, сравнить с 13.59.
Обсуждаемое ограничение на рост сечения в теории сильных взаимодействий элементарных частиц известно как теорема Фруассара. 166 13.54. В приближении эйконала найти амплитуду и дифференциальное сечение рассеяния частиц в кулоновском потенциале (/ = сс/г в противоположном борновскому предельном случае (ск(/йв » 1, сравнить с!3.1. Указание, При вычислении амплитуды считать кулоновский потенциал «обрезанным» на некотором большом, но конечном, расстоянии )т (т. е. положить (/ = О для г ) )с). 13.55.
Выразить в приближении эйконала амплитуду рассеяния частиц в поле двух силовых центров, находящихся на расстоянии а друг от друга, т. е. в потенциале (/(г) = (/о()г — а/2()+ (/о()г+ а/2!), чеРез амплитУдУ )о РассеЯниЯ на оДном центРе (Гс(г). Какова связь полного сечения рассеяния с одноцентровым аор Применить полученный результат к вычислению полного сечения рассеяния на слабо связанной системе из двух центров (подобной дейтрону), когда ее характерный размер много больше радиуса взаимодействия налетающей частицы с отдельным центром. 13.56.
Обобщить приближение эйконала на случай обменного взаимодействия, когда С',с Ч" (г) —= = (/(г)Ч" ( — г). Какова связь дифференциальных и полных сечений рассеяния для обменного и обычного потенциалов? Сравнить с рассеянием в борновском приближении, рассмотренным в 13.3. 13.57. В случае рассеяния быстрых частиц, И»1, идеально отражающей (непроницаемой) сферой радиуса )с найти амплитуду и дифференциальное сечение рассеяния под малыми углами, когда ИсО (1, а также полное сечение столкновения. Воспользоваться квазиклассическим выражением (ХП1. 13) для фазового сдвига.
13.58. То же, что и в предыдущей задаче, но в случае не очень малых углов рассеяния О » (й)т) Сравнить с результатом классической механики. $5. Рассеяние частиц со спином 13.59. Оператор взаимодействия частицы со спином з = 1/2 с внешним полем имеет вид") 0 = У~ (г) + У1 (г) а! .
и) Классический аналог спин-орбитального взаимодействия сг(г) йТ рассмотрен в 13.60. Если для частицы со спином з = 167 Рассмотреть рассеяние в борковском приближеиии. Какова энергетическая зависимость полного сечеиия рассеяния для быстрых частиц? Сравнить с рассеяиием бесспииовых частиц. Найти зависящую от спина часть амплитуды рассеяния электрона в кулоиовском поле ядра, (/о = = †Л/», учитывая, что спин-орбитальное взаимодействие для него описывается выражением (/ = = (Узз/4тзсз») д(/о/д». 13.60. Найти в бориовском приближеиии амплитуду и дифференциальное сечение рассеяния быстрых нейтронов кулоиовским полем.
Указание. Сначала установить вид взаимодействия движущегося магнитного диполя с электрическим полем в классической электродииамике, перейдя в систему покоя диполя, 13.61. Какие ограничения накладывает условие эрмитовости гамильтоииаиа иа взаимодействие (/= =(/с(»)+ (/, (»)!й частицы со спицам з = 1/2 с внешним полем? Какова в первом бориовском приближении поляризация рассеянных частиц, если первоначально оии были ие поляризованы? Показать также, что если до столкновения частицы были поляризованы, то в результате рассеяния происходит лишь поворот вектора поляризации.
13.62. Найти поляризацию, возникающую при рассеянии быстрых (так что Лез/Ьп « 1) иеполяризоваииых электронов н кулоиовском поле ядра. Какова поляризация при рассеянии позитронов? Указание. Спин-орбитальное взаимодействие указано в 13.59. При вычислении амплитуды второго приближения теории возмущений рассмотреть сначала экранированный кулоиовский потенциал (/з(») = хез = — Е-ггл И В ОКОНЧатЕЛЬНОМ рЕЗуЛЬтатЕ ПЕрЕйтк к пределу /? — ьоо (сравнить с 13.54).
= 1/2 записать магнитный момент в виде рз = еа/2гпс+ 1г', где е, т — заряд и масса частицы, а р' — ее аномальный магнитный момент, то правильное квантовомеханическое обобщение классического результата из 13.60 получается при подстановке вместо М оператора вида язо с ро еа/4лгс + П', см. !3,32, а также 129). 13.63. Взаимодействие частицы со спнном з = 1/2 с внешним полем имеет вид О = Уз(г) + (71 (г) 1а ° Найти фазовые сдвиги б~~: а) в борновском прибликении, б) в квазикласснческом приближении. Получить также выражение для амплитуды рассеяния в приближении эйконала, исходя из разложений (ХШ.25) по парциальным волнам. 13.64. Для столкновения частицы со спином з = = 1/2 с бесспиновой частицей найти связь между амплитудами рассеяния в спиральном представлении (см, 5.20) и инвариантными функциями Л и В в (ХП!.
22) . 13.65. При столкновении двух бесспиновых частиц происходит реакция с образованием также двух частиц, одна из которых имеет спин з = 1, а другая— спин я = О. Внутренннс четности всех частиц — положительные. Используя для описания спиновых состояний частицы с з = 1 векторное представление (см. 5.26), показать, что спиновая структура амплитуды рассматриваемой реакции описывается выражением (1 () ! 1) = а' (ррр,] 1 (Е, О), где а — сливовая функция, рв и р~ — импульсы относительного движения до и после столкновения. Выполнить разложение 1(Е, О) по парцнальным волнам. Указать также спиновую структуру амплитуды в случае, когда частица со спнном з = 1 имеет отрицательную внутреннюю четность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
