Galitskii-1992 (1185113), страница 27
Текст из файла (страница 27)
(ХП1, 21). При столкновении частиц с отличными от нуля спинами и с зависящим от спина взаимодействием амплитуда рассеяния является уже матрицей / — оператором в пространстве спиновых состояний. Ее матричные элементы 1! /11, определяют амплитуду рассеяния из начального спинового состояния, описываемого спиновой функцией 11ь в конечное состояние, описываемое функцией уп При рассеянии частицы со спи. ном а = 1/2 на бесспиновой частице и при сохраняю. щем чстность взаимодействии т) != А(Ф, О)+)В(й, О) эо, и =[йсй]/)[)ге)г! ).
(ХШ. 22) Дифференциальное сечение рассеяния, просуммиро- а) для справедливости этого соотношения достаточно выполнения лишь одного условия: М Ль 1, см. 13.51, т) Обращаем внимание на выделение перед В множителя ! по сравнению с формулой (!404) иа [Ц. 153. Р = 2! гп (АВ") и/( ! А ~з + ~ В !'). (ХП1. 24) Приведем также разложение амплитуды (Х111. 22) по парциальным волнам: А= —,„~ 1(1+!) (ехр(2йс+) — 1) + с=о + 1 (ехр (2йс ) — 1) Рс (соз О), В= ~.~ ~(ехр(2йс )— с-с — ехр (2йс )) з)п ОР, (соз 0), (Х1П.25) здесь бс — фазовые сдвиги (в радиальных волновых функциях) для состояний с определенными значениями орбитального момента 1 и полного момента 1' = 1 ~ 1/2.
Амплитуды процессов столкновения обладают определенными аналитинескихси и унитарными свойствами. В частности для амплитуды рассеяния в потенциале (с(г) справедливо условие унитарности') / ((с, )г ) — /' (й, )с) = — ~ / (1с', )с ) /' (й', й) сИ' (ХШ. 26) (при )г = ко оно воспроизводит оптическую теорему). о) Оно является слеяствием унитарности Б-матрнньс. Такой же вия имеет условие унитарности и лля рассеяния составных частик, но лишь при таких значениях энергии, при которых невозможны неупругие процессы 1«упруаая» унитарность). 154 ванное по различным спиновым состояниям рассеянной частицы Ыа/Ыьа =) А )а+ ! В )'+ 2 1сп (АВ') чРо, (ХШ.
23) где Р,= 2х',зх, — вектор поляризации частиц в начальном (до столкновения) состоянии. Поляризациониое состояние рассеянных частиц зависит как от взаимодействия в системе, так и от начальной поляризации Р,. Если до столкновения частицы были не поляризованы, Ро = О, то после рассеяния вектор по- ляризации Отражением аналитических свойств амплитуд являются диспереионные соотношения для них. Наиболее простыми аналитическими свойствами обладает амплитуда рассеяния на угол О = 0 в центральном потенциале, рассматриваемая как функция энергии а) в комплексной плоскости Е.
Она удовлетворяет (на физическом листе) дисперсионному соотношению вида 1(Е, О) =1" (0)+ Х Е вЂ” Е + и ~ Е' — Е АЕ'. (ХШ. 27) Здесь 1в(0) — борновская амплитуда, см. (Х1П. б); суммирование ведется по всем уровням дискретного спектра, существующим в потенциале, при этом вычет в соответствующем полюсе Е„= — ( — 1) " (21„+ 1) Е'А'„/2пт (ХП1. 28) определяется нормировочным коэффициентом в асимптотике на больших расстояниях радиальной функции связанного состояния, г)с„А„ехр( — к„г), с моментом 1„см. [1). 5 1. Борновское приближение 13.1.
Найти в борновском приближении амплитуду рассеяния и полное сечение рассеяния частиц в указанных ниже полях, (Исследовать предельные случаи медленных и быстрых частиц. Указать условия применимости результатов.) а) с((г)= — е 'и; 6) У(г)=ай(г — Я); е) Ц (г) Ц е — сщ. е) Ц (г) ( Уо г()1 д) 11(г)=) ' е) У(г)= (уе-'чн', (. О, г>В 13.2. Показать, что при больших энергиях частицы, М » 1„полное сечение рассеяния в потенциале ') Она имеет следующие особые точки: Е = О и Е = сов точки ветвления и полюсы Е, на вещественной полуоси Е ( О, совпадающие с положением дискретных уровней частицы. 4/(«) в.
борновском приближении описывается выра. жением ") О О 2 .д -,„" ))'! (иь.ег] гь (импульс частицы до рассеяния направлен вдоль оси .я; р — двумерный радиус-вектор в перпендикулярной ей плоскости). Применить полученный результат к полю (/(«) = = (/оехр( — «з//?з) и к прямоугольной потенциальной яме (барьеру) глубиной (/е и радиусом /?; сравнить с !3,!. !3.3. Получить выражение для амплитуды рассеяния частиц в борновском приближении в случае потенциала, имеющего обменный характер "), так что (/,е„Ч«(г) = (/(«) Ч'( — г). Как амплитуда рассеяния в этом случае связана с амплитудой рассеяния на обычном потенциале (/(«)? Каково угловое распределение при рассеянии быстрых частиц? !3.4.
Найти дифференциальное и полное сечения упругого рассеяния быстрых электронов на атоме водорода, находящемся в основном состоянии, пренебрегая поляризацией атома, см. также !3.77. !3.5. То же, что и в предыдущей задаче, для атома гелия. Волновую функцию атома выбрать на основании вариационного расчета, выполненного в !!.6.
!3.6. Найти зависимость от Л сечения упругого рассеяния быстрых электронов нейтральным атомом с Л » 1; воспользоваться моделью Томаса — Ферми. !3,7, Выразить в борновском приближении амплитуду рассеяния иа двух одинаковых силовых центрах, находящихся на расстоянии а друг от друга, так что (/(г) = (/о(«) + (/е(1г — а(), через амплитуду рассеяния /ов(Ч) на одном центре (/о(«). Используя полученное соотношение, обсудить связь между дифференциальными сечениями рассеяния быстрого электрона на атоме и на двухатомной м) В связи с данной задачей см. также 13.14, 13.51, 13.52. и) Применительно к задаче двух тел г = г, — г, и такой ,потенциал описывает взаимодействие, в результате которого происходит перестановка (обмен) частип.
Такое взаимодействие естественным образом возникает в задачах ядерной физики. молекуле (из одинаковых атомов; при этом усреднить полученный результат по различным ориентациям оси молекулы, считая их равновероятнымн). Найти соотношения между сечениями рассеяния на двух и на одном центрах в случаях: а) йа « 1 (при этом величина л)т может быть произвольной, )с — радиус действия сил отдельного центра); б) й)с — 1 и а » )с' (т. е. расстояние между центрами много больше радиуса действия сил отдельного центра).
13.8. Обобщить результат предыдущей задачи на случай системы из произвольного числа Ф одинаковых центров, расположенных в точках ае и = 1, 2,...,М. Обсудить характерные особенности углового распределения рассеянных частиц при упорядоченном расположении большого числа (й1 » 1) центров вдоль прямой линии с одинаковым расстоянием Ь между ближайшими соседями. 13.9. В борновском приближении найти амплитуду рассеяния для столкновения двух протязкенных частиц, взаимодействующих друг с другом электростатическим образом. Частицы считаются протяженными в том смысле, что они характеризуются некоторым распределением заряда р, а(г), предполагающимся сферически симметричным относительно центра масс соответствующей частицы 'з) и не изменяющимся в процессе столкновения.
Выразить амплитуду рассеяния через формфакторы Рьз(д) зарядовых плотностей рьз(г). 13.10. Получить выражение члена п-го порядка ряда теории возмущений для амплитуды рассеяния частицы в потенциале У(г). Указание. Предварительно получить согласно (ХП1. 5, 4) интегральное уравнение для амплитуды рассеяния (уравнение Липпмана — Швингеро), 13.11. В борновском приближении амплитуда рассеяния вперед (на угол О = 0) является веществен- 'з) Неточечность распределения заряда укааывает на составной характер сталкнвакззцнхся частиц (сравнить, например, с 1ЗА).
Так как, однако, изменением нх внутренних состояний в процессе столкновении пренебрегается, то задача сводится к обычной задаче рассеяния двух тел. В связи с данной задачей см. также 1З.ЗО. 157 ной величиной и поэтому не удовлетворяет оптической теореме (ХП!.11). Почему это обстоятельство не противоречит успешному описанию дифференциального и полного сечений рассеяния в рамках борновского приближения в условиях его применимости? Написать выражение для амплитуды рассеяния во втором порядке теории возмущений.
Найти 11п !1з1(Е,О = 0) и объяснить полученный результат. !3.12. Найти во втором порядке теории возмущений амплитуду рассеяния на потенциале Юкавы У(г) = — е-')л. Сравнить 1"~ и !<т~ для различных Г значений энергии и угла рассеяния. 13.13. Найти во втором порядке теории возмущений амплитуду рассеяния в потенциале у(г) = усе-гчл' при больших передаваемых импульсах, д)? » 1. Сравнить вещественную и мнимую части )1а) друг с другом и с бориовской амплитудой.
13.14. Показать, что амплитуда рассеяния второго приближения теории возмущений при больших энергиях, й)? » 1, и передаваемых импульсах ") д)? (1 описывается выражением з 1 ' - ',„, * ~ ( [ ~ э О Ч "*] *г ( — ~т, г1 ег ()? — радиус потенциала). Применить полученный результат к потенциалу у(г) = усе-'чк' и сравнить с 13.13. 13.15. Из решения уравнения Липпмана — Швингера (см.
!3.10) найти амплитуду рассеяния частицы в случае сепарабельного потенциала, ядро которого имеет вид !1(г, г') = ?1!(г)т'(г'). Каково угловое распределение и полное сечение рассеяния? 13.16. Сравнить при Е = О значения точной и борновской амплитуд рассеяния в потенциале У(г) в случаях: ") Эта область переданных импульсов вносит доминирующий вклад в полное сечение рассеяния. При этом ) Ч ) ж и, где Чл — перпендикулярная первоначальному импульсу йе !направленному вдоль оси л) составляющая Ч.
Заиетим, что из выражения для ра~ согласно оптической теореме следует результат борновского приближения для сечения рассеяния, сравнить с 13.11. 158 а) потенциала отталкивания 1/(г)) О; б) потенциала притяжения, в котором, однако. нет связанных состояний (т. е. потенциальная яма достаточно «мелкая»). Показать, что борновское приближение в случае а) дает завышенное, а в случае б), наоборот, заниженное значение сечения рассеяния. 13.17.
В борновском приближении получить выражение для амплитуды рассеяния заряженной частицы магнитным полем Ж(г). Убедиться в калибро. вочной инвариантности полученного результата "). 9 2. Фазовая теория рассеяния 13.18. Получить выражение для фазовых сдвигов непосредственно из разложения по парциальным волнам амплитуды рассеяния в центральном потенциале в борновском приближении. Указание, Воспользоваться формулой (Х1П. 3) и теоремой сложения для функций Бесселя. 13.19. Найти фазовые сдвиги в поле (/(г) = а/га, а > О. Выполнить суммирование ряда (ХП1. 9) разложения амплитуды по парциальным волнам в случаях; а) тес/й' « 1 при произвольном угле рассеяния; б) та/йа ) 1 при достаточно малом угле рассеяния; в) тя/Ьа » 1 при рассеянии частиц назад (О=я). Найти в указанных случаях дифференциальное сечение рассеяния и сравнить его с результатами расчетов в борновском приближении и согласно классической механике.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
