Galitskii-1992 (1185113), страница 26
Текст из файла (страница 26)
То же, что и в предыдущей задаче, для кулоновского взаимодействия в пИ-системс. 12,34. Каковы возможные значения изотопического спина двухпионной системы в состояниях с определенным значением Ь орбитального момента относительного движения? 12.35. Для системы, состоящей из двух и'-мезонов, найти вероятности ш(Т) различных значений суммарного изотопического спина системы и среднее значение Т'. 12.36. Найти вероятности различных значений суммарного изотопического спина пион-нуклонной системы и среднее значение Т' в следующих зарядовых состояниях: пер, пэп, п~р, пап, п-р, и — и. 12.37.
Нейтральная частица 1" с изотопическим спином Т = О распадается на два пиона: 14- 2п. Возможные каналы распада: (~ — +я~я — и 1' — ~-2пч. Найти соотношение между вероятностями распада по этим каналам. 12.38. Показать, что изоспнновая часть волновой функции системы из трех пионов в состоянии с суммарным изотопическпм спином системы Т(Зп) = О имеет определенную симметрвю по отношению к перестановке изоспиновых переменных любых двух пионов, и выяснить характер этой симметрии, На основании полученного результата показать, что нейтральная частица м' с изотопическим спином Т = О не может распадаться на три и'-мезона, т. е. распад оР— +-Зпв запрещен.
12.39. Частица Л, имеющая изотопнческий спин Т = 3/2 и зарядовые состояния Л~-~, Л-~, Лч, Л вЂ”, отвечающие соответственно значениям +3/2, +1/2, — 1/2, — 3/2 проекции Т, изоспина, распадается на пион и нуклон: Л вЂ” ~пХ. Указать возможные каналы распада для различных зарядовых состояний частицы Л и найти соотношения между вероятностями распада по этим каналам. 14Г 12.40. То же, что и в предыдущей задаче, для частицы )Ч', имеющей изоспин Т=1/2, зарядовые состояния )Ч'+ (Та — 1/2), !Ч'а (Та = — 1/2) и рас- падающейся на пион и нуклон: )Ч' — >п)Ч. 12.41.
Показать, что Нп(Р+Р +д~) — 2 лп(в Ьр >а.~ яа) где до — дифференциальные сечения соответствую- щих реакций, взятые при одних и тех же относитель- ных энергиях, углах разлета и взаимных ориентациях спинов. 12.42. Показать, что аа (р+ и — > д+ п + и+) ла(р+а — >в+ р+па) =2, где смысл па такой жс, что и в предыдущей задаче. 12.43. Предполагая, что рассеяние пионов нукло- нами (в некотором энергетическом интервале) про- исходит главным образом через промежуточное со- стояние п)Ч-системы с полным изотопическим спииом Т = 3/2 (так что при этом взаимодействие в состоя- нии с Т = 1/2 пренебрежимо мало), найти при оди- наковых относительных энергиях, углах разлета и ориентациях спинов соотношения между дифферен- циальными сечениями следующих трех реакций: и++ р — >и" +р (!), в +р->к +и (!!), и +р — и +р (П1).
12.44. Основываясь на зарядовой симметрии нуклон-нуклонных и пион-нуклонных взаимодействий, найти соотношение между дифференциальными сечениями процессов и+р->р+р+и, и+р>и+и+а>. Глава !3 СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ Исследование рассеяния частиц с импульсом ра= = Ькв потенциалом 0(г) связано с решением уравнения Шредингера ~ — — Л + У (г)~ Чг,+, (г) = ЕЧ'+ (г), (Х1П. 1) )48 имеющим следующую асимптотнку на больших расстояниях '): Чг+ (г) = е'в " + ( ' ') е'а", к = йог/г, (Х111. 2) г-ь« г й — волновой вектор рассеянной частицы (й=йо —— =«/2тЕЯ. При этом амплитуда рассеяния 1(к,)со) определяет дифференциальное сечение рассеяния да/аь1 = ) 1(к, 11о) ~ э. Воспользовавшись функцией Грина свободной частицы о, е,э, — ~ ~х~п. з~ 21 Йь ) уравнение (ХП1.
1) вместе с граничным условием (ХП1.2) можно записать в виде интегрального уравнения Г еое~ -'1 Чгве (г) = е'"" — „, ) ", (/ (г') Ч'ач (г') с(г'. (ХШ. 4) Отсюда, в частности, следует выражение для амплитуды рассеяния непосредственно через волновую функцию в области действия потенциала 1 ()с, 1со) = — „„, ~ е 'аг(г' (г) Ч'„(г) с5', (Х1П. 5) удобное для различных приближенных вычислений. Так, при Чг,', = — е'"" из (ХП1. 5) следует приближение Борна для амплитуды рассеяния 1~ = — — пх б(Ч), (г'(Ч) = ~ е '«г(l (г) Л'. (ХН1.
6) Здесь Ч = )с — )со опРеделЯет изменение импУльса частицы ЬЧ = Р— Ро пРи РассеЯнии, пРи этом д = =2Усз|п(0/2), а 0 — угол рассеяния. Это выражение представляет первый член разложения амплитуды по степеням потенциала (кратности) взаимодействия. Условием его применимости является выполнение ') При этом предполагается, что потенциал убывает быстрее, чем гав!/г; в противном случае как падающая, так и рассеянная волны искажаются на больших расстояниях (сравнить с рассеянием на кулоновском потенциале). 149 хотя бы одного из неравенств: Уо е.
Рсзссссстз нли (уо чй ссиссс, (ХП1. 7) где Уо и )с' — характерная величина потенциала и его радиус. При рассеянии в центральном потенциале амплитуда рассеяния зависит лишь от энергии Е и полярного угла 0 (нет азимутальной асимметрии), а в борновском приближении — лишь от величины Ьс) передаваемого импульса. При этом (ХП1.
6) можно преобразовать к виду )~((() = — — „, )У(г) — ~ г с(г. (ХП1.8) с В случае центрального потенциала для амплитуды рассеяния справедливо разложение по парс(иадьньсм волнам )()с, О)= 2 (21+1)срс(Е)Рс(соз0), (Х1П. 9) с;о срс = (вса ' — 1)сс2с(с = 1(сс (с(й' бс — с), где 4азовьсе сдвиги бс(й) связаны с асимптотикой на больших расстояниях радиальной волновой функции гйзс — Сз(п(вг — сс(/2+ 6,), отвечающей моменту частицы. При этом полное сечение рассеяния Ю о=~ос, с=о ос — — —,(21+ 1) з!пзбс —— с Сз = — ', (21+1)(с(дзбс+1) '. (ХП1.10) Из сопоставления (ХП1.10) и (ХП1.9) следует соот- ношение — оитичесссая теорема з): 1сп)(Е, 0=0)= —,„о(Е) (Х111.11) Ибо з) Это соотношение носит общий характер.
Оно справедливо и для рассеяния составных частиц, когда возможны иеупругие процессы. При этом яод о(Е) следует понимать полное сечение столкновения, а под 1(Е,О) амплитуду упругого рассеяния на угол О = О (без изменения внутренних состояний сталкивающихся частиц). Приведем приближенные формулы для фазовых сдвигов.
В борновском приближении (при этом ],)в [ « 1) 61 (й) = — — „, ~ У(г) У~ь|а(йг)1дг. (Х1П. 12) о В квазиклассическом приближении (го — точка поворота) 6,= ~ ~,~/62 — — ',, У(г) — "',"' — й~дг+ о + 1/2п (1 + 1/2) Ь о (Х1П 1 3) причем в случае ( Е/(г) ( « Е это выражение упрощается: пз0 (г) иг = — ~ „,„/„, (...,, г =(+/)/. Г,' (ХШ. 14) При рассеянии медленных частиц, я/с « 1, в случае достаточно быстрого убывания потенциала (см. 13.28 — 30) справедливо разложение эффективного радиуса /з"+' с1п 6, = — 1/а, + г112'/2 + ..., (ХП!.
15) где а1 и г1 называют длиной рассеяния') и эффентивныл1 радиусом взаимодействия в состоянии с орбитальным моментом 1; эти параметры согласно (ХП1. 9, 10) определяют низкоэнергетическое рассеяние в соответствующей парциальной волне. Если в потенциале нет мелкого реального или виртуального (при ! = О) и квазистационарного (при 1Ф О) уровня, то член с эффективным радиусом выступает как поправка. В этом случае 6, = — а1/з ги -1-1 ]аз(</с~~+' и о1 <4п(21+!)(Ис)иЯ', так что доми- ') Подчеркнем, что эти параметры имеют размерность длины лишь для 1 = О.
В общем случае их размерность: [а1] = 6 21.1-1 [гг] = Ь, где 6 — размерность длины. 1 — 21 161 нирующий вклад в сечение вносит рассеяние в э-со. стоянии. Прн наличии в потенциале мелкого уровня с энергией )Е1(« гзэ/лтЯа н моментом 1 рассеяние в соответствующей парциальной волне имеет резкую энергетическую зависимость, а величина о~(Е) значительно превышает нерезонансное зна)ение. В случае существования мелкого з-уровня имеем (ас)»Д и о(Е) = аг-о(Е) = — ', (Х1П 16) где ~ Е, ~ = е = ггтх,-'/2гп, а хо определяется соотношениемч) хо=1/а +г,хв/2. При ас>О также хо>0, и ео определяет энергию связи реального уровня дискретного спектра; при ао <: 0 уровень — виртуальный.
Для резонансного рассеяния с моментом 1 чь 0 характер энергетической зависимости и величина ш(Е) существенно зависят от природы уровня (реальный он илн квазистацнонарный). При аг ( 0 уровень квазнстационарный. Записав Е~ = Ея — 1Га/2, где Ея и Гя — положение уровня и его ширина, из уравнения с1ибг(Е1) = 1 находим ь) Е, = — Ь'Ц2т = Уьз/тазг, и Г, =з (2йз/т)г,~) )з",+', В этом случае сечение имсет резкую энергетическую зависимость в области энергий, близких к Ея, в которой (21 + !) х йз (Š— Ер) -1- Гя/4 При рассеянии быстрых частиц, когда выполнены условия йГт » 1 н (У(г) ~ << Е, для амплитуды в наиболее существенной области малых углов рассеяния ') С учетом (Х1П. 15) оно следует из условия с12 б (Ег) = 1, определяющего положения полюсов парпиальной амплитуды, х= — 1тУ2щЕ)аз.
В случае 1= О имеем, вообще говоря, га-Я и слагаемое с эффективным радиусом выступает как поправка; Прн ЭТОМ ХО ПО ее вал гйщоо И ГОХО ь1. ') В условиях существования мелкого уровня с 1 чь О эффективный радиус г~ ( О, так что, как и следует, Еа, Га > О; см. 13.44 152 О ((И1) ' справедливо выражение /(йс, ц )= — „, ~ [о(р) — 11е 'а"-'г(~р (ХП!.18р (приближение зйконала).
Здесь г)х — составляющая г) в напРавлении, пеРпендикУлЯРном импУльсУ Й)го падающих частиц (при этом д„= о = йО, д, = ййе/2), а 5 (р) = е"а э1, 6 (р) = — — ~ (/ (1П г) дг. (ХШ. 19) 1 Воспользовавшись оптической теоремой, получаем со- гласно (ХП1. 18) полное сечение рассеяния') о (Е) = 2 ~ (1 — соз 26 (о)) сРр. (ХП1. 20) В случае центрального потенциала выражение (ХП1. 19) для б(р) совпадает с квазиклассическим (ХП1.14) при ! = йр » 1, а (ХП1.18) можно записать также в виде /(й, О) =!/г ~ (1 — еегапа)У~(йрО) рар.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
