Galitskii-1992 (1185113), страница 21
Текст из файла (страница 21)
То же, что и в предыдущей задаче, но для атома с тремя эквивалентными ир-электронами. Показать, что энергетические расстояния между термами удовлетворяют соотношению Е (~Р] — Е (Ч)) 2 Е (Ч)) — Е (зз) 3 ' 11.19. Рассмотреть статистическую модель основного состояния нейтрального атома с зарядом ядра х. » 1 в пренебрежении взаимодействием электронов друг с другом. В рамках этой модели найти: 1) электронную плотность п(г) н гь для отдельного электрона, 122 2) распределение электронов по импульсам Е(р), а также р и р', 3) характерную величину орбитального момента электрона, 4) энергию полной ионизации атома Еяолжяоя = = — Ео.
Обратить внимание на зависимость от Е рассчитанных величин и сравнить с результатами модели Томаса — Ферми. В пренебрежении электрон-электронным взаимодействием получить точное выражение для энергии основного состояния атома Ео и при Е » 1 сравнить его с результатом статистической модели.
11.20. Определить зависимость от л числа электронов распределения Томаса — Ферми, находящихся в з-состоянии. 11.21. В модели Томаса — Ферми выразить через электронную плотность п(г) кинетическую энергию электронов, энергию их взаимодействия друг с другом и с ядром, а также полную энергию Е[п(г)] атома. Показать, что функция по(г), минимизирующая функционал Е(л(г)), является решением уравнения Томаса — Ферми (Х!.2) с ф=(1/2)(Злзло(г))згз, и используя это экстремальное свойство функционала, доказать в рамках модели Томаса — Ферми: а) соотношение К „= — 7(у„между энергиями взаимодействия электронов друг с другом У„и с ядром Увял, б) теорему вириала.
Используя пробную функцию вида ') хз2312 п„„(г) = а„ехр( — Л 1lг~я~'), ~ па„,агзьг =ал, ') Подчеркнем, что в рассматриваемой задаче речь идет о безусловном минимуме функционала Е(л(г)] без дополнительного условия о нормировке л(г), при этом точная функция п,(г) оказывается автоматически нормированной на число 2 электронов. Приближенная же пробная функция не обязана удовлетворять такому условию. Отметим интересное свойство функционала энергии. В условиях данной задачи Е[л(г)) для нейтрального атома принимает минимальное значение.
Если же ввести функционал Е(ф(г)), см. 11.22, то для нейтрального атома он, наоборот, принимает максимальное значение. Таким образом, результаты 1!.21, !1.22 дают ограничения как сверху, так и снизу для энергии атома в модели Томаса — Ферми. 123 где а, Х вЂ” вариационные параметры, найти энергию Е основного состояния нейтрального атома с зарядом ядра 2 вариационным методом; сравнить с точным результатом модели Томаса в ферми.
11.22. В рамках статистической модели нейтрального атома записать его энергию Е [~р(г)] через потенциал ~р(г) в таком виде, чтобы из условия экстремальности функционала Е(~р(г)] следовало уравнение Томаса — Ферми (Х1. 2), Используя пробную функцию <р(г)= — — 2(г), т,(т)=(1+айцзг) ', где а — вариационный параметр, найти энергию основного состояния атома варнацнонным методом, сравнить с предыдущей задачей и с точным результатом модели Томаса — Ферми. $3. Основные представления теории молекул 11.23. Произвести классификацию возможных термов молекулярного иона водорода Н~ .
Указать возможные значения орбитального момента электрона Ь по отношению к центру симметрии для различных термов иона. 11.24. Состояние системы нз двух электронов описывается волновой функцией Ч" = Ф (гь гх) Хча, где 21„а — спиновая функция, а ~р(го гз) имеет вид а) ф = 1 (го г,); б) ф = (гане+ ГхпО)1 (гь гз)' в) ф = ( (г, гз] яр) 1 (гь г,); Е) ф= (Г~по+ гзпэ)(1Г~ГД па)) (гь гз). Произвести принятую в теории двухатомных молекул классификацию указанных состояний, рассматривая постоянный вектор по как аналог радиуса-вектора относительного положения ядер. 11.25.
Для двухатомной молекулы оценить по порядку величины отношения следующих величин: а) интервалов между электронными, колебательными и вращательными уровнями; б) межъядерного расстояния и амплитуды колебаний ядер„ 124 в) характерных периодов и скоростей электронных и ядерных движений. 11.26. Считая известными следующие характеристики молекулы водорода Нз.
1) энергию диссоциации основного состояния молекулы на два невозбужденных атома водорода ?о = 4,46 эВ; 2) частоту колебаний оз, молекулы, дозе = 0,64 эВ; 3) ротационную постоянную В, = 7,6 !О-з эВ, найти соответствующие величины для молекул НР н Ра, в которых одно илн оба ядра-протоны заменены на дейтрон. Сравнить величины эффекта изотопического смещения уровней атома и молекулы водорода.
11.27. Каковы возможные вращательные состояния молекул водорода Нз, дейтерия Р, н НР, находящихся в основном, Хл- состоянии, в зависимости от значения суммарного ядерного спина молекул (спин дейтрона равен 1)? Как зависит от значения орбитального момента молекулы знак') терма? 11.28. Найти электронные термы Е(!к) отрицательного молекулярного иона (АВ)- в рамках модели, в которой взаимодействие внешнего электрона с атомами А н В аппроксимируется потенциалами нулевого радиуса, см.
4.10. Обратить внимание на: ! ) возможность существования устойчивого иона (АВ) — в случае, когда стабильные ионы А- и В- не существуют; 2) закон изменения при л? — оо разности энергий четного и нечетного термов (в случае одинаковых атомов А = В). 11.29. Найти основной терм Ео(К) молекулярного иона водорода Нз+ вариационным методом, аппрокснмируя волновую функцию терма функцией вида з(таа,о (г) = т/а~/пЯ~ ехр ( — пгЯ), где г — расстояние электрона от центра отрезка, соединяющего ядра-протоны, а — вариационный параметр.
а) Напомним, что знак терма — положительный илн отрицательный — характеризует поведение волновой функции молекулы при одновременной инверсии координат всех электронов и ядер и определяет по своему физическому смыслу четкость состояния молекулы, !25 Рассчитать минимальную энергию терма Ео, равновесное расстояние между ядрами )со, энергию нулевых колебаний ядер Е„,о и сравнить их с экспериментальными значениями: Ео ж — 0,60 а. е., з!7о— = 2,0 а. е., Е„„, о ж 0,0044 а.
е. Можно ли на основании результата расчета сделать вывод о существовании стабильного иона Низ~? 11.30. Оценить характерное расстояние между ядрами в р-мезомолекулярном ионе водорода'), а также значения величин агв и Вв для иона в адиабатическом приближении, воспользовавшись результатами из предыдущей задачи для обычного иона Н,'. й 4. Атомы и молекулы во внешних полях. Взаимодействие атомных систем Атомные системы во внешнем электрическом поле, 11.31. Рассчитать поляризуемость основного состояния атома водорода вариационным методом, воспользовавшись пробными функциями а) Ч'(г) = СЧ'е(г) (1+ айаг) = = Сп нзе ' (1 + аге' г соз О), б) Ч' (г) = Сн-из [е-" + ауз)зЕ'осе-тесов 0[, где а, У вЂ” ваРиационные паРаметРы, Чго=е-г/У~л— волновая функция основного состояния невозмущен.
ного атома водорода, М'о — напряженность внешнего электрического поля. Сравнить с точным значением йо — — 9/2 (использованы атомные единицы). 11.32. Используя известное значение ро = 9/2 а. е. поляризуемости основного состояния атома водорода, получить приближенное значение поляризуемости основного, 1'5-состояния двухэлектронного атома илн иона, а) пренебрегая взаимодействием между электронами, е) Из-за малости размера в мезомолекулярном ионе существенно возрастает проницаемость кулоновского барьера, разделяющего ядра. Поэтому в случае, когда ядрами иона являются тяжелые изотопы водорода (д или 1), мюон выступает как катализатор реакций идерного синтеза (например, П- па+17,6 Мзн); см.
в связи с этим 11.59, !!.74, а также обзор по р-катализу: Зельдович Я. Б., Герштейн С. С.//УФН. — 1960.— Т 71.— С. 581. 126 б) учитывая его результативно как взаимное час.тичное экранирование заряда ядра, выбрав эффективный заряд равным Е,е = 2 — 6/16, см. 11.6. Сравнить полученные результаты с зкспериментальнымн данными, приведенными в решении задачи. 11.33. Рассмотреть эффект Штарка для возбужденных состояний атома водорода с главным квантовым числом и = 2 в первом порядке теории возмущений.
При решении задачи воспользоваться собственными функциями невозмущенного гамильтониана Ч"„, в сферических координатах. Указать правильные функции нулевого приближения и условия применимости полученных результатов. 11.34. Рассчитать вариационным способом энергетический сдвиг в однородном электрическом поле и поляризуемость связанного состояния частицы в потенциале нулевого радиуса действия, используя пробную функцию вида ") Ч'„оа = С (Чге(Г) + Л (ЖоГ) е-тг), Ч'с = У'хс~2лэ- "г/», где Л, у — вариационные параметры, Ч'с — волновая функция невозмущенного состояния.
Сравнить с точным значением, см, следующую задачу. 11.36. Найти точное значение поляризуемости связанного состояния частицы в потенциале нулевого радиуса, см. 4.10. Применить полученный результат к иону Н-, сравнить с 11.36. 11.36. Найти поляризуемость слабосвязанного состояния заряженной частицы с моментом 1= 0 в центральном потенциале 1)э(г) радиуса г„так что нога (< 1, где х, =,~/ — 2Е1о'1(йе, Ее1е1 — энергия невозмущенного состояния. Применить полученный результат к иону Н-. Указание.
Выразить поляризуемость через х, и значение С„е так называемого асимптогического коэффициента, определяющего асимптотику невозмущенной волновой функции Ч"о = С„о т/х,/2ле-"ег/г на больших расстояниях (прп гэ — г-0 имеем С„,— 1 и Ч"о переходит в волновую функцию связанного состояния в потенциале нулевого радиуса, см. 4.10). ") Обращаем внимание на то, что Чгпнм(г), как и Ч"а(г), при г-~.о удовлетворяет граничному условию, определяющему потенциал нулевого радиуса, см. 4.10, Отметим, что достаточно надежные вариационные расчеты свойств иона Н- (двухэлектронной системы) приводят к следующим результатам: и, = 0,235 а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
