Galitskii-1992 (1185113), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Обсудить случаи бозонных и фермионных операторов. Показать, что применительно к линейному осциллятору собственные функции оператора уничтожения й = (тех+ ?р)/~/2тйэ описывают когерентные состояния, см 6.21. 10.16. Является ли переход от операторов а, йе к новым операторам й' = й + я, й'з. = йз. + и» (ив комплексное число) унитарным преобразованием? Каков при этом вид унитарного оператора? Рассмотреть случаи как фермионных, так и бозонных операторов й 0 п'- ровестип анализ состояния вакуума «иовых» частиц ~0') в базисе состояний 1п) исходных частиц и найти распределение па числу последних.
10.17. То же, что и в предыдущей задаче, для преобразования вида а'= ай+ бй+, й'+ = паз-+(8й (а, 6 — вещественные числа). 10.18. Произвольное одночастичное состояние 11) можно представить в виде (1)= ~ С й'(0)„где й' 1 является оператором рождения частицы в состоянии Ч'1, (~, — совокупность квантовых чисел полного набора). Какой квантовомеханический смысл имеют коэффициенты С1,? Рассмотреть, в частности, одночастичное состояние бесспиновой частицы вида ( 1) = ~ ф (г) Ч'+ (г) Ж'! О).
112 Нормировать его на ! и вычислить среднее значение физической величины ! с помощью вторично квантованного оператора (Х. 3). 1О.!9. Операторы а+, й и а~", а являются операторами рождения и уничтожения частицы в состояниЯх, опРеделЯемых квантовыми числами )а и да двух различных полных наборов. Указать соотношения между этими операторами. !0.20. Двухчастичное состояние системы тождественных бозонов (или фермионов) описывается вектором состояния ) 2)=й)'б") О). Нормировать его на единицу. Указать вид нормированных волновых функций в координатном представлении.
Рассмотреть случаи как одинаковых, так и различных квантовых чисел )ьт. 10.21. То же, что н в предыдущей задаче, для трех- частичного состояния ) 3) = й а+а+ ) О). ь Г. ь 10.22. Для системы, состоящей из одинаковых частиц, найти в представлении чисел заполнения вид оператора плотности числа частиц 0(г) (в точке г пространства) и числа частиц Ат(о) в некотором объеме о. 10.23.
Доказать коммутационные соотношения (Р, Ч (4)) = И вЂ ,' Ч Я), [Р, Ч ' (3)~ = И вЂ ,' Ч ' (3), где Р, Ч" (й) — операторы импульса и поля (Ч"-операторы) в представлении чисел заполнения для системы тождественных бозоиов нли фермионов. 10.24. Исследовать стационарные состояния (энергетический спектр и волновые функции) поперечного движения заряженной бесспиновой частицы в однородном магнитном поле, введя соответствующим образом выбранные операторы рождения и уничтожения'). Воспользоваться выражением А=[Жг)12 для векторного потенциала.
з) Аналогично тому, как зто делается для линейного осдиллятора с выбором й = (лзюл+ 1)))/з/2алзы, приводящим гамильтониан к виду Й= аа(а+а+ 112). Для рассматриваемой задачи необходимо ввести две пары операторов рождения и уничтожения; прн соответствующем нх выборе гамильтониан зависит только от одной из них. 113 10.25. Энергетический спектр Е„м, = йот~ (л~ + 1/2)+ + йоэ (а + 1/2) двумерного (плоского) осциллятора, 1? =ттт(отела+от'уг)~2, в случае кратных частот аьг содержит вырожденные уровни. Для частных случаев а) от~ = отг и б) то~ — — 2отг связать это свойство спектра с симметрией гамильтониана.
Указать явный вид операторов симметрии. 10.26. Рассмотреть так называемый суиерсиммегричнььй осциллятор, характеризуемый гамильтон ианом Й =— Йв + Йг = йы (Ь"'ьЬ" + ?т+?а); здесь Ь" 1тос ' ху и 1(1 ") — операторы уничтожения (рождения) бозона и фермиона, соответственно; Йв = йв (ЬэЬ + 1/2) н Ни = йот(1"?' — 1/2), Спектр такого гамильтониана Ел = йоттт', Л' = па+ лн, а собственные векторы— (ть„пг).
Характерные особенности спектра: Ел = О, уровни с Ем ) О двукратно вырождены, основной уровень Е, = О невырожденный. Указать вид операторов симметрии гамильтоннана и показать, что гамильтониан может быть выражен через антикоммутатор этих операторов; объяснить свойства спектра. Указание. Симметрия, проявляющаяся и преобразованиях, переводящих бозоны и фермионы друг в друга (и соответствующая их равноправному рассмотрению), называется суперсимметрией. Оиа обладает рядом привлекательных особенностей и с нею связывают, в частности, надежду на создание единой теории элементарных частиц (см.
обзор, указанный в связи с задачей 7.9). В данной и следующей за ней задачах рассмотрены характерные черты суперсимметрии и ее проявления в простейших квантовомеханических системах. 10.27. Введем операторы 4= А'), ф'= А(', Й= ®~+4'1;?, где 1, 1~ обладают свойствами фермионных операторов уничтожения и рождения, а т1, А — некоторые коммутирующие с ними операторы. Убедиться, что рассматриваемая система ') обладает суперсимметрией (см. предыдущую задачу). 4) При этом й — ее тамильтониан, а пространство векторов состояний системы определяется тем пространством, нв котором определены операторы А, ?, а тем самым и Я, Яэ, Й, 114 Показать, что при подходящем выборе «координатных» операторов А, А+ и спиновых )"., ~+ рассмат.
риваемый суперсимметричный гамильтониан характеризует одномерное движение частицы со спинам з = 1/2. Каковы при этом следствия суперсимметриир Указание. Выбрать 1' = (1, ) и А = ф т/2т + + ЛГ (х). 3 3. Системы из большого числа Ж» 1 частиц 10.28. В основном состоянии бозе-газа из Х не- взаимодействующих частиц со спином э=О, находящегося в объеме У, найти среднюю плотность числа частиц, среднее число частиц в некотором объеме о и флуктуацию этого числа частиц. Задачу предлагается решить усреднением соответствующих операторов в представлении чисел заполнения. 10.29.
В условиях предыдущей задачи рассмотреть пространственную корреляцию флуктуаций плотности числа частиц. Для однородной системы она характеризуется корреляционной функцией ч(г) (г = = г~ — г»), равной т(г)=(и,и,— и')/й, и,, и(г, ), где и — средняя плотность числа частиц, Сравнить с соответствующим результатом для системы из классических частиц. 10.30. В основном состоянии идеального ферми- газа из Ж частиц в объеме г' найти среднюю плотность числа частиц и среднее число частиц в некотором объеме о. Задачу предлагается решить усреднением соответствующих операторов в представлении чисел заполнения.
10.31. В условиях предыдущей задачи рассмотреть корреляцию плотностей числа частиц с определенными значениями проекции спина иа ось г в различных точках пространства: найти и(гь з,1) п(г,, з„) и сравнить с произведением и(гьз,1) и(гмз„). Рассмотреть случаи различных и одинаковых значений зы и зг2. Найти корреляционную функцию плотности (см. 10.29) . 10,32. Рассматривая взаимодействие между частицами как возмущение, найти в первом порядке теории возмущений энергию основного состояния бозе- газа, содержащего Аг частиц со спином з = 0 в объеме )г (взаимодействие частиц друг с другом описывается короткодействующим парным потенциалом отталкивания У(г) ) О, г = г, — га). 10.33.
То же, что и в предыдущей задаче, для ферми-газа частиц со спнном з = 1/2. Предполагается, что потенциал парного взаимодействия частиц не зависит от спина и удовлетворяет условию й»1го <(1 где 1«о — радиус потенциала, Ьйг — граничный импульс. 10.34.
Идеальный фермн-газ нейтральных частиц со спином з = 1/2, имеющих спнновый магнитный момент по (так что 1« = реп), находится во внешнем однородном магнитном поле. Для основного состояния рассматриваемой системы найти: !) числа заполнения одночастичных состояний; 2) магнитную восприимчивость газа (для слабого поля). Взаимодействие магнитных моментов друг с другом пренебрежимо мало. 10.35. Выяснить характер экранировки электронами проводимости электростатического поля точечного заряда д, помещенного внутрь проводника, Воспользоваться статистическими соображениями'), рассматривая электроны проводимости как ферми-газ (на фоне равномерного распределения положительного заряда, обеспечивающего электронейтральность проводника) при температуре Т = О.
Искажение электронной плотности вблизи заряда считать малым. 10.36. Найти распределение заряда вблизи поверхности заряженного (с «поверхностной» плотностью заряда и) проводника. Воспользоваться соображениями, высказанными в предыдущей задаче.
з) Аналогичными используемым в методе Томаса — Ферми, см, главу 11, ф 2, а также [Ц, й 70. 116 Глава 11 АТОМЫ И МОЛЕКУЛЫ Большинство расчетов атомных систем основано на предположении, что отдельные электроны (а не только вся система в целом) находятся в определенных квантовых состояниях. При этом волновая функция системы записывается в виде антисимметричной комбинации произведений волновых функций таких одноэлектронных состояний. Наиболее точные расчеты в этом приближении связаны с численным решением уравнений Хартри — Фока, полученных на основе метода самосогласованного поля для одно- электронных состояний. Для систем с большим числом электронов простая реализация идеи самосогласованного поля лежит в основе метода Томаса — Ферми. В этом методе (средняя) электронная плотность н(г ) в основном состоянии нейтрального атома (или положительного атомного иона) на основе статистических соображений связана с электростатическим потенциалом системы гр(г) соотношением ') (и) (2(,, ))зм 1 (Х1.
1) Для нейтрального атома грс — — 0 и из электростатического уравнения Пуассона следует уравнение Томаса — Ферми (г Ф 0) Лгр = 4гтп = грега в т/2 Зи (Х1. 2) (самосогласованное уравнение для потенциала). Вводя более удобные величины х и т,(х) согласно т=хб2 н~, ~р(г)= — т,(х)= — ", (Х1.3) где 6 =(Зп/8 ~/2) гз = 0,885, 2 — число электронов (заряд ядра), приводим уравнение (Х1.2) к виду ~/х)1м (х) = ~зги (х) (Х1. 4) с граничными условиями К(0) = 1 и )г(оо) =О. Функция К(х) является универсальной в методе Томаса— ') Здесь (и часто ие оговаривая в дальнейшем) используем атомные единицы (а.е.), е = й = лг, = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
