Galitskii-1992 (1185113), страница 17
Текст из файла (страница 17)
и. р., см. 4.10, а также 4,31). Получить правило квантования з-уровней и обсудить вопрос о сдвиге уровней в потенциале (/(г) под влиянием п. н. р. Обратить внимание на возможность перестройки спектра, т, е. больших сдвигов, сравнимых с расстоянием между иевозмущеиными уровнями.
9.4. В квазикласснческом приближении исследовать энергетический спектр частицы в симметричной потенциальной яме (/о(х), разделенной 6-барьером аб(х), так что У = (/о(х)+ а6(х), Рассмотреть предельные случаи а) слабо отражающего, б) малопроницаемого барьеров. 9.6. Для частицы в потенциале притяжения, имеющем на малых расстояниях кулоновский внд 1/(г)— — — а/г, получить в квазиклассическом приближении волновые функции и. правило квантования з-уровней с энергией ~Е~ << таз/йз.
Применить полученный результат к кулоновскому потенциалу (/ = — а/г и к потенциалу Хюльтена (/ = — (1,/(еоа — 1); сравнить с точным выражением для спектра, см, 4.8. 9.6. Для центрального потенциала приведенного на рис. 24 вида (ограниченного при г-+-О) найти в квазиклассическом приближении радиальные функции стационарных состояний частицы с моментом ') 1 1 в области классического движения. Используя полученный результат, обсудить модификацию правила квантования (!Х.5) и найти энергетические спектры: а) сферического осциллятора !/ = птшзгз/2, б) одномерного движения в потенциале: с/= (/о(йз(пх/а) при )х!( а/2 и (/= со для )х)) а/2.
Сравнить с результатом квантования по формуле (!Х. 5) и с точным выражением для спектра. 9.7. В предыдущей задаче для состояний частицы с моментом ! в центральном потенциале (/(г), огра- ') Именно этот случай н представляет самостоятельный ннтерес: прн 1»1 центробежный барьер Лз)(1+ 1)/2тгз уже является нвазнкласснческнм н можно воспользоваться условиями сшивания (1Х. 4), см, также следующую задачу. 101 ниченном при г-эб, было получено правило квантования т) ь и гпг+ /в+ lв((+ lв Ъ ((" + )))1 Показать, что с квазнклассической точностью оно эк- вивалентно квантованию с поправкой Лангера: ь Г ~ ~~2 ~Е, — 2, — У( )~г(г=п(п,+ — ) 1 Г г' а (1+1)2)т 1 а Показать также, что оба эти соотношения с той же точностью эквивалентны более простому условию квантования — ~ р (г) дг == †„ ~ ~г'2пт ~Е„~г — У (г)1 г(г = 1 Г о о (и,+ — + — ) (в котором радиальный импульс р(г) вообще нс содержит центробежного потенциала, а от величины момента ( зависит лишь значение квазиклассической поправки к и,! ) .
Рассчитать согласно этим правилам квантования энергетические спектры: а) сферического осциллятора (l = птювг'/2, б) частицы в бесконечно глубокой сферической яме радиуса )с (при этом учесть изменение условий «сшивання» для правой точки поворота г = )х'). Сравнить с точным спектром. 9.8. Для одномерного потенциала притяжения, имеющего при )х)- оо вид Усох ', найти в квази- классическом приближении условие появления новых состояний дискретного спектра частицы при ') Подчеркнем, что все три условия квантоввння предполагают обычное, согласно (1Х. 3), сшнввнне квэзикласснческнх решений в правой точке поворота. Квантование по Лвнгеру спрвведлнво и для потенпяэлов, имеющих при г-~-0 внд 1Г (г) евах т с 0 ~ т < 2.
Обобщение нн этот случвй последнего, наиболее эффективного условия квантования, приведено в решении. 102 углублении ямы. Применить полученный результат к потенциалу из 2.40 и сравнить с точным. 9.9, В квазиклассическом приближении найти условие появления новых связанных состояний частицы с моментом 1 в центральном потенциале притяжения, имеющем вид (? = — пэг-" с чз ) 2 на больших расстояниях и (? — а,г —" с О (т, ( 2 при г — О, по мере углубления потенциальной ямы. Проиллюстрировать результат на конкретных потенциалах. Указание.
Рассматривая случай ( — 1, учесть, что прн этом в основной области классического движения центробежным потенциалом можно пренебречь, см. 9.7. На малых и больших расстояниях, где нарушается квазиклассичность, воспользоваться точным решением уравнения Шредингера. 9,10. Исходя из правила квантования Бора — Зоммерфельда, получить выражение для смещения энергетических уровней при малом изменении потенциала на б(/(х) и установить его связь с результатом первого порядка теории возмущений. Какова интерпретация полученного выражения в рамках классической теории? Для иллюстрации рассмотреть сдвиги уровней линейного осциллятора за счет ангармоничности б(/ = = рх' и сравнить с точным результатом первого порядка теории возмущений. 9.11. Для частицы в симметричной потенциальной яме (/(х) получить в квазиклассическом приближении выражение для смешения уровней под влиянием слабого однородного электрического поля и найти поляризуемость стационарных состояний.
Какова интерпретация полученного результата в рамках классической теории? Найти поляризуемости для линейного осциллятора и частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме. 9.12. Используя правило квантования Бора — Зоммерфельда, получить квазиклассические выражения для поправок первого и второго приближения к сдвигу уровня под влиянием возмущения Р(х) потенциала. Найти сдвиги уровней линейного осциллятора за счет ангармоничности 1~ = хх' и сравнить их с точным результатом второго порядка теории возмущений.
9,13. Найти следующую по й квазиклассическую поправку к правилу квантования Бора — Зоммер- 103 фельда. Показать, что при учете ее энергия уровня оказывается равной где черта означает усреднение с классической вероятностью, йн = 2г)х/Т(Е)и(х), при энергии Е= Ев' определяемой правилом Бора — Зоммерфельда. Для осциллятора с аигармоничностью вида = 5х" и и' = саха найти следующие квазиклассические поправки к результатам задач 9.10 и 9.12.
9.14. Для потенциала притяжения, имеющего при г-+О вид (l = — а/г' с т > 2, возникает «падение на центр> (см. [1), 9 35). При этом на малых расстояниях оба независимых решения радиального уравнения Шредингера ведут себя одинаковым образом (сравнить с тсг ос г' и сог-'-' для регулярного потенциала с ч(2), и на первый взгляд не возникает квантования энергетического спектра, так как только одно условие убывания волновой функции в классически запрещенной области при г оо может быть всегда удовлетворено.
Используя «обрезание> потенциала со стороны малых г в виде непроницаемой сферы радиуса ге, показать, что квантование спектра возникает, ио в пределе га†Πдля однозначного определения этих уровней необходимо фиксировать') положение одного из них (для каждого значения 1). Получить правило квантования спектра и выяснить соответствующее ему дополнительное условие, накладываемое на волновую функцию при г — О. Найти также энергетический спектр в потенциале (/ = †/гя в условиях «падения на центр».
й 2. Квазиклассические волновые функции, вероятности и средние 9,15. Получить выражение для квазиклассической волновой функции в импульсном представлении в области характерных значений импульса частицы. а) Здесь проявляется то обстоятельство, что гамильтониаи является эрмитовмм, но не самосонряженным оператором, см. 1.29.
Лля его самосопряженного расширения необходимо введение дополнительного условия, что и эквивалентно фиксированию положения одного на уровней. 104 Найти распределение по импульсам частицы в стационарном состоянии дискретного спектра. Дать классическую интерпретацию полученного результата. 9.16. В стационарном состоянии дискретного спектра найти вероятность нахождения частицы в классически запрещенной области. Применить полученный результат к линейному осциллятору.
9.17. Каково в квазиклассическом приближении среднее значение физической величины Р(х), являющейся функцией только координаты частицы, в и-м стационарном состоянии дискретного спектра? В качестве иллюстрации найти средние х' и л' для линейного осциллятора и сравнить с точными значениями. 9.18. В квазиклассическом приближении найти выражение для среднего значения физической величины Р(р), являющейся функцией только импульса частицы, в п-м стационарном состоянии. Вычислить средине р' н р' для линейного осциллятора и сравнить с точным результатом. 9.19.
Какова оценка произведения неопределенностей Лх Лр в стационарных квазнкласснческих состояниях дискретного спектра? Сравнить полученную оценку с точным значением ~/(Лх)о (Лр)о для линейного осциллятора н частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме. 9.20. В квазиклассическом приближении найти матричные элементы Р „ оператора вида Е = Р(х) в случае )т — и) — 1, т.
е. между близкими по энергии стационарными состояниями дискретного спектра. Установить соотношение между нами н фурье-компонентами Р, функции Р(х(1)) в классической механике: т Г(х(1)) = ~ Р,е""' Р = — ~ Г(х(1))ег ы 'г(1, 3 о где Т(Е) = 2п/оз — период движения в рассматриваемом поле классической частицы с энергией Е = =(Е +Е.)/2. Используя полученный результат, вычислить матричные элементы х „и (ха), для осциллятора и сравнить с точными значениями. 9.21. Обобщить результат предыдущей задачи на случай оператора вида Р = Р(1)).
Применить его для 105 вычисления матричных элементов операторов )1 и ))а для осциллятора. 9.22. Частица находится в и-м стационарном состоянии в потенциале Б(х). Внезапно (при 1 = О) потенциальная энергия изменяется и становится равной Б(х) + тт(х). Каковы средняя энергия частицы и ее флуктуация при 1 = О? Считая и » 1 и изменение потенциала достаточно большим'), так что ~)т'„, (х) ~((з — а) >> йот„где Тл = = 2п/оз„— период движения классической частицы в исходном состоянии, найти вероятности перехода ее в новые стационарные состояния.
В каком случае может происходить «ионизация» системы? Дать интерпретацию полученных результатов в рамках классической механики. Для иллюстрации рассмотреть линейный осциллятор, Б = тоззхз(2, на который внезапно накладывается однородное поле, так что )т = — Рсх, % 3. Прохождение через потенциальные барьеры 9.23. Используя квазиклассическое приближение, найти проницаемости следующих потенциальных барьеров: а) треугольный барьер из 2.36; б) Б(х) = = (?ос(т-з(х/а); в) барьер из 2.35. Указать условия применимости полученных результатов и сравнить с точными значениями для В(Е).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
