Galitskii-1992 (1185113), страница 20
Текст из файла (страница 20)
1!7 Ферми. Числовые расчеты дают )('(О)= — 1,588, при этом энергия полной ионизации атома в модели Томаса — Ферми равна Ео — — — (ЗХ'(О) /7Ь) 2772 = 0 76927/з 2092отуз эВ, см. 11.21. В этой главе представлена серия задач, связанных с исследованием свойств во внешних электрическом и магнитном полях частицы, слабо связанной (т. е. с малой энергией связи) центральным короткодействующим потенциалом.
Такая одночастичиая системаз) используется в атомной физике для моделирования отрицательных атомных ионов, в которых внешний слабосвязанный электрон рассматривается как движущийся в короткодействующем потенциале, создаваемом нейтральным атомом.
ф 1. Стационарные состояния атомов с одним и двумя электронами 11.1. Найти поп~авку к уровням энергии водородоподобного атома ) за счет так называемой релятивистской зависимости массы частицы 4) от скорости в первом порядке теории возмущений. 11.2. Рассмотреть сверхгонкуе структуру з-уровней водородоподобного атома, связанную с взаимодействием магнитных моментов электрона и ядра. Ядро имеет спин 7 и магнитный момент р,, так что для него )ь=)ьз)р (и рассматривается как точечная частица).
Оценить сверхтонкое расщепление и сравнить его с интервалом тонкой структуры (из преды- ') Многие свойства состояний частицы с малой энергией Е ~ 6 /тгэ, где гз — радиус короткодействуюшего потенциала, 2 2 определяются лишь двумя параметрами: энергией связи и так называемым асимятотическим коэффициентол~ С т (см. 11.36, нт 1!.37), Онн, в свою очередь, связаны с параметрами ннзкоэнергетическото рассеяния: длиной рассеяния а2 и эффективным радиусом гь см. (Х111. !5).
') Водородоподобным (и аналогично гелиеподобным) атомом нлн ионом мы называем систему, состоящую из ядра с произвольным зарядом Уе и одного (двух) электронов. 4) Для бесспиновой частицы получаемый результат определяет тонкую структуру уровней водородоподобного атома. В случае зсе электрона, как это следует нэ уравненкя Днрака [29), кроме такой поправки имеется еще одно слагаемое в гамильтониане, описывающее так называемое спин-орбитальное взаимодейстзие, вклад которого в смещение уровней имеет такой тке порядок величины, как и рассчитанная в данной задаче поправка.
113 душей задачи); магнитный момент ядра порядка ей/гпрс, гпр — масса протона. В случае атома водорода сравнить полученный результат с экспериментальным значением сверхтонкого расщепления основного уровня сзннрз — = ЛЕнрз/2лЬ ж 1420 МГцз), магнитный момент протона равен р„= — 1,396ей/тпрс.
!1.3. Вычислить в первом порядке теории возмущений сдвиги в-уровней водородоподобных атомов, обусловленные неточечностью ядра. Распределение заряда в ядре считать сферически симметричным. Оценить значение поправки, рассматривая ядро как равномерно заряженный шар радиуса )?=1,2Х Х!0 1зЛиз см, А = 2Л, А — массовое число ядра; сравнить с результатами двух предыдущих задач. Насколько существенна неточечность ядра для р-мезоатома? Взамодействие мюона, как и электрона, с ядром имеет чисто электростатический характер. 11.4. Рассмотреть сдвиги кулоновских па-уровней пионных, и вообще адронных') атомов, вызванные короткодействующнм сильным (ядерным) взаимодействием пиона с ядром.
Показать, что сдвиг уровня описывается формулой теории возмущений по длине рассеяния /хЕ„, = — ) Ч"~',~(0) 1'а„ где Ч'~ ~(0) — значение невозмущенной кулоновской волновой функции, а ае — так называемая длина рассеяния пиона на ядерном потенциале (сравнить с 4,29; обобщение на случай 1Ф 0 см. в 13.36). Указание. Влияние короткодействующего потенциала (/з(г) радиуса гз на уровни Е~„'1 << йз/гпгзв в дальнодействующем потенциале (?с радиуса гс » гл можно учесть как изменение граничного условия: вместо ограниченности волновой функции на малых расстояниях теперь Ч'„со(1 — а,/г) при г « гы Соот- з) Энергия, соответствующая частоте е = 1 лтгп, равна ее яв 4,136 16-1 эв.
') Адроннь~е атомы — связанные кулоновским взаимодействием системы нз двух адронов; например, пион-протонный (и-р) или протон-антипротонный (рр) атомы и др. Кулоновские уровни такой системы Е~~~= —,т(ье) /2а л, где т = т1т,/ /(т~+та) — приведенная масса системы, 4 = — я~ха > О, ес а— заряды адронов; радиус Бора такой системы ое = аг/атея. !1й ветственно сдвиг уровня определяется лишь длиной рассеяния а, на потенциале Уз и не зависит от его конкретного вида. 11.5. Рассчитать в первом порядке теории возмущений энергию основного состояния двухэлектронного атома (илн иона), рассматривая взаимодействие между электронами как возмущение.
Получить значение потенциала ионизации системы и сравнить его с экспериментальными данными для атома гелия и ионов лития, бериллия, углерода и кислорода: 1(Не) = 24,6 эВ; )().1+) = 75,6 эВ; 7(Ве~-') =154 эВ; /(С4э) =392 эВ; 7(Оа~) = 739 эВ, 11.6. Найти энергию и потенциал ионизации основного состояния двухэлектронного атома (иона) вариационным методом. В качестве пробной функции взять произведение водородных функций с некоторым эффективным зарядом Л,ф, играющим роль вариационного параметра. Сравнить с результатом из 11.5.
Можно ли сделать вывод о существовании устойчивого иона водорода Н ? 11.7. Показать, что рассмотренная в предыдущей задаче пробная функция с эффективным зарядом Л,ф — — Л вЂ” 5/!6 является наилучшей из всех пробных функций вида Ч',ч,ж — = ф(~~+ гэ)/4л, т. е. зависящих только от переменной и = г~ + гэ. 11.8. Найти среднюю энергию двухэлектронного иона с зарядом ядра Я в состоянии с волновой функцией Ч'(гь гэ) = С[ехр( — аг, — РгД+ ехр( — (1г~ — аг,)).
Выбрав значения параметров а = 1, (4 = 0,25, доказать существование стабильного иона водорода Н вЂ”. 11.9. Оценить значения энергий и потенциалов ионизации возбужденных состояний гелиеподобных атомов в приближении, в котором взаимодействие между электронами эффективно у ~итывается как экраннрование заряда ядра электроном, находящимся в основном, 1з-состоянии (при рассмотрении движения возбужденного электрона). Сравнить полученный результат с экспериментальными данными, приведенными в решении. 1!.10.
Найти энергию и потенциал ионизации 2'о-состояния гелиеподобного атома вариационным методом. В качестве пробной функции взять должным образом симметризоваиное произведение водородных 120 функций 1з- и 2з-состояний с некоторым эффективным зарядом ядра Л,а, играющим роль вариационного параметра.
В случае атома гелия и иона лития 1.!+ сравнить полученные результаты с экспериментальными данными (в атомных единицах): 1 (2з5) 0 176 и 7„+(2з5) 0 610 11.11. Рассчитать сверхтонкое расщепление для триплетного 2'5-состояния атома гелия с ядром 'Не; спин ядра У = 1/2, магнитный момент р = = — 1,064ей/гп„с. При вычислениях воспользоваться приближенным видом волновой функции 2'5-состояния, отвечающим пренебрежению взаимодействием электронов друг с другом. Сравнить полученный результат с экспериментальным значением величины сверхтонкого расщепления Лтнгз — = ЛЕнгз/2пй = = 6740 МГц. 11.12.
Показать, что у гелиеподобных атомов все устойчивые возбужденные состояния, стабильные относительно распада на соответствующий водородоподобный атом и свободный электрон, имеют электронную конфигурацию 1зи(, т. е. один из электронов обязательно находится в основном, 1з-состоянии (неустойчивые относительно ионнзации состояния атомных систем с двумя или более возбужденными электронами называют автоионизационными, см, 11.72). 11.13. Оценить значения потенциалов ионизации основного '5- (электронная конфигурация (1з)з2з) и первого возбужденного 'Р-состояний (электронная конфигурация (1з)'2р) литиеподобного атома, считая, что взаимодействие электронов, находящихся в основном состоянии, с возбужденным сводится эффективно к экранировке на 2 заряда ядра (для возбужденного электрона).
В случае атома лития сравнить полученные значения с экспериментальными: 1(э5) = 5,39 эВ и I(эР) = 3,54 эВ. 2 2. Многоэлектрониые атомы, Статистическая модель атома 11.14. Найти возможные термы атома со следующей электронной конфигурацией (сверх заполненных оболочек): а) пр, б) (пр)', в) (ир)~, г) (пр)', д) (пр)э, е) (ар)в Каковы их четности? Пользуясь правилами Гунда, указать нормальный терм. 11.15.
Указать атомные те~мы, возможные для электронной конфигурации (п1) . 11.16. Состояниям атома, имеющим электронную конфигурацию пзп'1 сверх заполненных оболочек, отвечают два терма: 'Л и Ч, (7. — суммарный орбитальный момент, 7. = )). Рассматривая взаимодействие между электронами как возмущение, показать, что энергия триплетного терма ниже энергии синглетного. Вид радиальных функций пз- и пЧ-электронов не конкретизировать. 11.17. Атом содержит сверх заполненных оболочек два эквивалентных пр-электрона.
Рассматривая взаимодействие между электронами как возмущение, найти расположение термов '5, 'О, ьР атома в порядке возрастания энергии. Убедиться в том, что значения квантовых чисел 5 и 7. нормального терма подтверждают правило Гунда. Показать, что энергии термов удовлетворяют соотношению е ('2) — е ('о) з Е ('0) — Е (~Р) 2 (в рассматриваемом приближении оно относится также к атомам с электронной конфигурацией (пр)4). Явный вид радиальной волновой функции пр-электрона не конкретизировать. Указание. При составлении правильных функций нулевого приближения, отвечающих определенному значению Е орбитального момента, удобно использовать тензорный формализм (см. задачи 2 4 главы 3). 11.18.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
