Galitskii-1992 (1185113), страница 18
Текст из файла (страница 18)
9.24. Найти предэкспоненциальный множитель в квазиклассическом выражении для коэффициента прозрачности барьера вида, приведенного па рис.25,а, и при указанной там энергии частицы. Применить полученный результат к барьеру из 2.35 и сравнить с точным, см. также 9.23,в). 9.25. То же, что и в предыдущей задаче, но для потенциального барьера вида, приведенного на рис. 25,б).
Применить полученный результат к прямоугольному барьеру из 2.3!. 9.26. В квазиклассическом приближении найти для медленных частиц, Е- О, проницаемость потенциального барьера, имеющего при х-+~ос степенное з) Физически зто условие означает, что в исходном состоянии представлен достаточно широкий спектр состояний «конечного» гамильтониана Юр 106 убывание (7- "У, з(а/~ х9" е с и, ) 2. Обобщить полученный результат на случай барьеров с экспоненциальным убыванием иа больших расстояниях. Указание.
Воспользоваться результатом 2.39. з а Ъ х Рис. 25 9.27. В квазиклассическом приближении найти коэффициент иадбарьерного отражения частиц в случае потенциала, имеющего скачок в точке х = 0 (см,, например, рис, 20). Сравнить с результатом теории возмущений из 8.30. 9.28. Используя квазнклассическое приближение, найти сдвиг и ширину основного уровня в б-яме, еу = — ееб(х), возникающие при наложении слабого Угу Рие.
26 Рис. 27 однородного поля и' = — Еех. Сравнить полученные результаты с 6.36 и 8.12. 9.29. Получить в квазиклассическом приближении выражения для определения энергии Ее и ширины Г„квазистационарных состояний в одномерном потенциале вида, приведенного на рис. 26. Каково их обобщение на случай, когда и слева от ямы барьер имеет конечную проницаемость (рис. 27)? 107 Применить полученные результаты для вычисления сдвига и ширины уровней линейного осциллятора, возникающих под влиянием слабой ангармоничности з 9.30. Оценить проницаемость центробежного барьера и время жизни квазистационарного состояния частицы (связанное с шириной уровня соотношением т = Ь/Г) в короткодействующем потенциале Уз(г) радиуса гз) энергия состояния Е « Ьх/пгг,'.
9.31. Обобщить результат предыдущей задачи на случай, когда вне ямы на частицу действует кулоновский потенциал притяжения") Сгс = — Геа/г, причем гз « ав = Ьх/тЬез) для простоты считать 1Е) « « Ге'/ав. Глава 10 ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ. ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ Волновая функция системы, включающей тождественные частицы, обладает определенной симметрией относительно перестановки таких частиц, так что Чг(..., ~..
. ~ь, ...) = ~ Ч (..., ~„ ..., ~., здесь $ = (г, о.) — совокупность переменных (пространственных и спиновых) соответствующих частиц Прн этом волновая функция симметрична при перестановке частиц с целым спином — базанов н анти- симметрична для частиц с полуцелым спином — фермионов. Соответственно в случае, когда отдельные частицы системы находятся в определенных квантовых состояниях, волновая функция системы в целом получается в результате симметризации произведения волновых функций одночастичных состояний для системы бозонов и антисимметризации — для фермионон. При этом состояние системы определяется лишь указанием занятых одночастнчных состояний (для различимых частиц важен и способ распределения их по таким состояниям!).
") Такая задача возникает в теории адронных атомов (см. 11.4), Прн этом речь идет о проницаемости барьера, разделяюпгего области ядерного притяжения на расстояниях г(га н кулоновского — при г йв аз Случай кулоиовского отталкйвания рассмотрен в [1, $50). Исследование многочастичных систем, автоматически обеспечивающее квантовомеханический учет их тождественности, удобно проводить на основе представления чисел заполнения.
Используемые при этом операторы й,', йт — операторы рождения и уничтожения частиц (в соответствующих квантовых состояниях, характеризуемых индексом 1) в случае бозонов удовлетворяют соотношению коммутации [йп йД=(й,"., йод=О, (йз, йД вЂ” й,й+ — йа»й,=бт„ (Х, 1) а в случае фермионов — антикоммутационным соотношениям (йо й )=(й», йод=О, (йз, йД=й,йз +й"йз=б,а (Х.
2) (так что для фермионных операторов а';. =- (й,+.)' = О). Операторы й,=а, а, являются операторами числа частиц в соответствующих квантовых состояниях. Для нормированных на единицу состояний с определенными значениями чисел заполнения имеем ') й, ~ ., „по ...) = ч~п,, ~..., пз — 1, ...); й+~..., пз„...) = „(п,,. .+1~..., па+1,...) (для фермионов и; = 0 или 1, для бозонов и, = О, 1,2,...). Для системы тождественных частиц (как бозонов, так и фермионов) оператор аддитивной физической величины, йо) = ~ 1~,'), в представлении чисел заполз нения следующим образом выражается через Ч'Д)- операторы ') (Х. 3) '] Лля фермиоиныз систем здесь «опущен» фазовый множитель, см.
[Ц, з 65. ») Операторы Ф (з), Ф+ (5) являются важным частным случаем операторов йь й~, соответствующим выбору (= т, о. Лрутоа часто используемый выбор й,, йт соответствует (=р, о. Обобщение формул (Х.З), (Х.4) на случнВ:лроизвольного а -оператора (вместо Ф(1)) состоит в использовании в них ьпредставлеиия для операторов ~~П, ))Ю. 109 здесь г — уже обычный одночастичный оператор в Фпи координатном представлении, операторы же Ч', Ч"+— операторы в пространстве функций чисел заполнения и зависят от $ как от параметра. Для двухчастичной физической величины, Р" = — ~., Я, оператор в представлении чисел заполнеа(Ь ния имеет вид р(М 1 ~ ~ ф+(дтр" (р)н'-'Чг(рЧ~(~),(~~$' (Х 4) ф 1.
Симметрия волновых функций 10.1. Для системы из двух одинаковых частиц со спином а найти число различных спинавых состояний, симметричных и антисимметричных по отношению к перестановке спинавых переменных обеих частиц. 10.2. Показать, что если и тождественных частиц со спином з находится в различных орбитальных состояниях <р~(г), ~ра(г), ..., ~р„(г), то общее число независимых состояний системы с учетом спиновых степеней свободы равно 6 = (2з+ 1)" независимо от того, какой статистике подчиняются частицы. Каково число состояний в случае различимых частиц? 10.3.
Пусть ф~,(з) являются нормированными на1 волновыми функциями одночастичных состояний (),— совокупность квантовых чисел полного набора). Написать нормированные волновые функции состояний системы из трех тождественных: а) бозонов и б) фермионов, находящихся в состояниях с квантовыми числами )ь )м )м 10.4. Три тождественных бозона со спином з = 1 находятся в одинаковых орбитальных состояниях, описываемых волновой функцией ~р(г). Написать нормированные спиновые функции возможных состояний системы.
Каково число таких независимых состояний? Каковы возможные значения суммарного спина частиц? 10.5. Какие ограничения на квантовые числа (спин Ух и внутреннюю четность Рх) нейтральной частицы Аа следуют из факта существования распадов этой 110 частицы на два па-мезона: А — ~2ла (для пиона У„= Р = 0 ), сравнить с 5,302 10.6. Установлено, что в реакции и- + г)-+ и + п захват медленного и†-мезона (его спин з = 0) происходит из основного состояния мезодейтерия с сохранением четности.
Учитывая, что внутренние четности протона и нейтрона одинаковы и квантовые числа дейтрона Уз=!~, найти отсюда внутреннюю четность пиона. 10.7. Три тождественных бозона со спином з = О, слабо взаимодействующие друг с другом, находятся в стационарных состояниях с одинаковыми квантовыми числами л, и й причем 1 = — 1, в некотором центральном поле. Показать, что суммарный момент системы нс может првнимать значения 1. = О, 10.8. Какие значения может принимать суммарный спин 5 двух тождественных бозонов со спином з в состоянии с относительным орбитальным моментом ~ (Ь вЂ” момент в с. ц.
и.), т. с, какие состояния "~'1. системы возможны? Рассмотреть, в частности, случай а=О. 10.9. То же, что и в предыдущей задаче, но для тождественных фермионов. 10.10. Система состоит из двух одинаковых бесспиновых бозонов, находящихся в состояниях, описываемых нормированными на 1, взаимно ортогональными волновыми функциями Фь,(г).
Какова вероятность нахождения обеих частиц в одном и том же малом объеме пЛ Сравнить ее со случаем различимых частиц. 10.11. Два одинаковых бесспяновых бозона находятся в состояниях, описываемых нормированными на 1 волновыми функциями ф,,(г). Найти (среднюю) плотность частиц в такой системе и сравнить ее со случаем различимых частиц. 9 2. Основы формализма вторичного квантования (представление чисел заполнения) 10.12.
Найти коммутационное соотношение для операторов, представляющих эрмитову и аитиэрмитову части базониого оператора уничтожения а (или рождения ае). 10.13. Построить из операторов координаты х и импульса р частицы оператопы й и аь, обладающие 111 свойствами бозонных операторов уничтожения и рождения. Какова волновая функция Ч'»(х) «вакуумного» состояния? 10.14. Можно ли для преобразования вида а' = й.», й'з' = й рассматривать а', й'з как операторы уничтожения н рождения некоторых новых частиц? Провести анализ состояний (п') (т. е.
состояний с определенным значением п новых частиц) в базисе состояний исходных частиц. Указать вид унитарного оператора С, осуществляющего рассматриваемое преобразование. 10.15. Найти собственные функции и собственные значения операторов рождения и уничтожения, В рассматриваемых состояниях найти распределение по числу частиц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
