Galitskii-1992 (1185113), страница 15
Текст из файла (страница 15)
21 разрывы в нескольких точках. Применить его к потенциалу из 8.29,б) и к прямоугольному барьеру из 2.31; сравнить с асимптотикой прн Е-+ со точного выражения для Е(Е), см. также 9.27. 8.31. То же, что и в предыдущей задаче, но в случае, когда потенциал имеет излом в точке х = 0 (рис. 21) или изломы в нескольких точках х„. Применить полученный результат к параболическому баРьеРУ вида (7(х) = (7с(1 — х'/а') пРи )х) ( и и (7(х) = 0 при )х) ) а. 8.32.
Как известно, энергетический спектр частицы в периодическом потенциале имеет зонную структуру. Для такого одномерного потенциала ((/(х+ а) = (7(х)), рассматриваемого как возмущение, найти спектр Е,(г7); здесь и — номер зоны, бае†квазиимпульс (при этом — и/а ( в ~ и/а) . Указать связь импульса Ьй свободной частицы с квазиимпульсом Ьд и правильные собственные функции нулевого приближения Члс> (х). Найти величину щели между 90 соседними энергетическими зонами. Рассмотреть приложения полученных результатов к потенциалу из 2.53.
$4. Нестационарная теория возмущений. Переходы в непрерывном спектре 8.33, Заряженный линейный осциллятор подвергается воздействию однородного электрического поля, изменяющегося во времени по закону; н) 3'(~) =д'оехр( — Р/т') б) а«' (~) = 3' (1 + ~ /т') в) а (~) =доехр( — Р/т') сова«,4. Считая, что до включения поля (при г- — со) осциллятор находился в и-м квантовом состоянии, найти в первом порядке теории возмущений вероятности возбуждения различных его состояний при ~ †«- + оо.
Для случая п = О сравнить полученный результат с точным, см. 5.25. 8.34. На плоский ротатор, имеющий дипольный момент д, накладывается однородное, переменное во времени электрическое поле $(г) =д'(г) пм До включения поля ротатор имел определенное значение энергии н проекции момента пь Вычислить в первом порядке теории возмущений вероятности различных значений проекции момента и энергии ротатора при г — «-+со, Рассмотреть конкретные виды д'(~), указанные в предыдущей задаче. 8.35. То же, что и в предыдущей задаче, но для сферического ротатора.
До включения электрического поля ротатор находился в состоянии с квантовыми числами ), 1, = т; поле направлено вдоль оси г. 8.36. В условиях задачи 8.34 рассмотреть переходы ротатора в случае, когда вектор электрического поля вращается в плоскости вращения ротатора с угловой скоростью си так что д' =3'(1)соз ь«0г, д'„= = 3'(~)э1п ь«»~. Обратить внимание на возможность существенного возрастания вероятности перехода даже в случае «плавной» зависимости д'(() вида а) и б) из 8.33. 8.37.
Получить выражения для волновой функции и амплитуды перехода системы из начального (при 1-+ †) п-го состояния дискретного спектра в ко- печное (при Г-»+се) й-е во втором порядке нестационарной теории возмущений. Предполагается, что возмущение при т-» ~ее отсутствует. 8.38, В условиях задачи 8.33 найти во втором порядке теории возмушений вероятности переходов осциллятора, запрещенных в первом порядкез). Сравнить их с Фч'1(п-~й). 8.39. Если воспользоваться выражением (Ч(П.8), то для вероятности Ф',=)а„„(+оп) )з остаться системе в первоначальном п-м состоянии получится )зт„) 1, что противоречит сохранению нормировки волновой функции. Объяснить возникающий парадокс и получить закон сохранения нормировки волновой функции с учетом переходов в первом порядке теории возмущений.
8.40. На систему, иаходяшуюся при à — ~- — еп в лмм квантовом состоянии, относящемся к двукратно вырожденному уровню Е1 гамильтониана Йз, наклаО1 дывается зависящее от времени возмущение Р(1). Найти волновую функцию системы в «нулевом» приближении в произвольный момент времеии4). Считать, что диагональные матричные элементы для вырожденных состояний удовлетворяют услови1о 1гя,в,.— — Чя,,= О (это имеет место, например, в случае, когда состояния ~пьз? обладают определенной, причем противоположной четностью, а возмушение пропорционально дипольному моменту системы). Как теперь надо модифицировать формулу (Ч)П. 8), определяющую амплитуды переходов с изменением энергии состояния? 8.41. Для периодического во времени возмущения, Ч(д, г+ Т) = тг(4,1), действуюшего на систему, найти волновые функции квазиэнергетнческих состояний') (КЭС) в нулевом приближении н спектр квазиэнергии в первом порядке теории возмушений.
Энергетический спектр невозмушенного гамильтониана считать дискретным, невырожденным и не содержаШим уровней, отвечающих резонансному переходу: Е' ' — Ег»1 Ф ~ йгв с гв = 2я/Т (в связи с этим см. 8.43). ') То есть таких переходов, для которых пчп(п-ьй) = О. ° ) Сравнить с задачей пб изменении волновой функции системы под влиянием резонансного возмущения, см. (1], й 40.
') См. подстрочное примечание на с. 75. 8.42. В условиях предыдущей задачи найти поправку второго приближения к квазиэиергии в случае, когда У,(1) мм О. Специально обсудить временную зависимость возмущения вида У = У" (д) соз ог1 к рассмотреть при этом предельные случаи от- 0 и оз — ~-оо. Получить выражение для динамической подядизуемосги уровня в электрическом поле линейно поляризованной монохроматической волны, У = = — сй($з совЫ, и найти ее для осциллятора.
Указание. Для системы в электрическом поле линейно поляризованной волны динамическая поляризуемость р„(ю) связана с поправкой второго приближения к квазиэнсргии соотношением а) а 4 (а( ) е' 1 8.43. Рассмотреть квазиэнергетические состояния, возникающие при наложении на двухуровневую систему с энергиями Е, з периодического резонансного га1 возмущения вида У = Уесозю1, причем ~ ю — юе1(( юз, где йюе =Ее — Е)". Оператор Уе от времени не зависит, его диагональные матричные элементы равны нулю, а (Уе)гз — — Уе, Уа= У„при этом Ус « Ьогю Обсудить вопрос о квазиэнергетических гармониках КЭС и сравнить с задачей 6.4!.
8.44. Для системы с двумя каналами, рассмотренной в задаче 6.39, в случае слабой связи каналов ()1 « а) найти по теории возмущений ширину квазистацнонарного состояния в канале с возбужденной составной частицей. При решении задачи а) пренебречь взаимодействием в конечном состоянии, б) учесть его и сравнить полученные результаты друг с другом и с точным. 8.45. Найти в первом порядке теории возмущений вероятность «ионнзации» в единицу времени из основного состояния частицы в одномерной 6-яме (см.2.7) под действием однородного, периодического во времени поля, так что У(х, 1) = — хре соз юей Решить задачу как в пренебрежении взаимодействием в конечном состоянии, так и при учете его. Сравнить со а) Появление здесь дополнительного, по сравнению со статическим случаем, множителя !/2 связано со средним значением созе аз 1/2, сравнить с 8.56.
98 случаем туннельной ионизации в статическом однородном поле, рассмотренным в 6.36 и 9.28. 8.46. Частица находится в одномерном потенциале (/(х), причем (У(х)-~0 при х-+.~со. Рассматривая его как возмущение, найти коэффициент отражения с помощью теории возмущений для переходов в непрерывном спектре. Указать условия применимости полученного результата и сравнить его с 8.29. 9 5. Внезапные воздействия 8.47. Система, описываемая гамильтонианом Нм находится в п-м стационарном состоянии дискретного спектра, При 1 = 0 гамильтониан системы внезапно изменяется и становится равным (при 1 ~ 0) Н~ = = Йр+7р, где 7р, как и Нм от времени не зависят. Найти вероятности различных стационарных состояний системы при ~ = О. Каково среднее значение энергии, приобретаемой системой? Показать, что в случае малого возмущения Рр установленные результаты могут быть получены также в рамках нестационарной теории возмущений.
8.48. Система подвергается импульсному воздействию Р= )»Ррб(1), так что ее гамильтониан имеет вид Й = Йр+ Фрб(1). При ~ (0 система находилась в и-м состоянии дискретного спектра. Найти вероятности различных квантовых состояний при ~ = О. В случае Вр = — хРр дать наглядную интерпретацию полученного результата. Сравнить его для малого возмущения Р с результатом нестационарной теории возмущений. 8.49.
Частица находится в основном состоянии в бесконечно глубокой потенциальной яме шириной а (О ( х « а). В некоторый момент времени правая стенка ямы за короткий интервал времени т смещается в точку б ) а. Найти вероятности возбуждения различных квантовых состояний частицы после остановки стенки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
